EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

Transkript

1 KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 innkl. forside) TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling tillatt som overgangsordning) INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag. Ved innlevering skilles hvit og gul besvarelse og legges i hvert sitt omslag. Oppgavetekst, kladd og blå kopi beholder kandidaten. Husk kandidatnummer på alle ark.

2 Eksamen i Matematikk 6. desember 24 Hvert bokstavpunkt teller likt ved bedømmelsen, oppgaver uten bokstavpunkter teller som et bokstavpunkt. Oppgave a) Finn grensen lim x e x sinx). Deriver funksjonen f gitt ved fx) = arctan/x). Svaret skal forenkles så mye som mulig spesielt ikke inneholde brudden brøk). Oppgave 2 Følgende figur viser en periode av grafen til en periodisk funksjon plottet i Maple: x -2 Angi en Maplekommando som frambringer dette plottet. Bruke enkleste form av kommandoen. Det vil si uten opsjoner selv om noen opsjoner er brukt i figuren slik den framkommer her. Oppgave 3 Regn ut det ubestemte integralet cos2πt) dt. Regn ut det bestemte integralet x 2 x 3 +dx.

3 Eksamen i Matematikk 6. desember 24 2 Oppgave 4 Kurven gitt ved likningen y = +x)2 x) og x aksen avgrenser et område i xy planet. Regn ut arealet av dette området. Oppgave 5 En partikkel befinner seg ved tidspunktet t i et punkt i xy planet med koordinater gitt av vektorfunksjonen rt) = [ t 2 +3t,t 2 t ] Finn hastighetsvektoren vt), og avgjør ved hvilket tidspunkt denne er parallell med x aksen. Finn den minste og største banefarten vt) denne partikkelen har i tidsrommet t. Oppgave 6 Regn ut følgende produkt av komplekse tall: 3 4j) 7 + j), der j er den imaginære enheten. Svaret skal skrives både på normalform og på polarform. Trigonometrisk- eller eksponentialform godtas også i svaret som polarform). Oppgave 7 La funksjonen f være definert for x > ved funksjonsuttrykket fx) =x lnx) x>). Avgjør for hvilke verdier av x funksjonen er voksende. b) Pådetområdet f er voksende har den en omvendt voksende funksjon y = f x) som er definert implisitt ved y lny) =x Lineariser funksjonen y rundt det punktet x = a der y = f a) =, og bruk resultatet til å finne en tilnærmingsverdi for f 2). Oppgave 8 En ballong blåses opp, og vi antar den hele tiden har kulefasong. Ved et tidspunkt t er ballongens radius cm og luften blåses da inn med en hastighet på cm 3 /s. Hvor fort øker ballongens radius ved tidspunktet t? Lykke til.

4 Løsning, eksamen i Matematikk 6. desember 24 Oppgave a) lim x e x ) sinx) = L Hopital = lim x e x cosx) = e cos) = = Kjerneregelen med kjerne u =/x = x,ogu = x 2 = /x 2 : Oppgave 2 f x) = +u 2 u = +/x) 2 ) x 2 = x 2 + En sinusfunksjon R sinωx + φ) gjør nytten. Siden maks/min er ±2 err =2. Siden perioden er p =6erω 6=2π ω = π/3. Nullpunktet er flyttet /6 periode, som gir at φ =2π/6 =π/3. Siden forskyvinga er mot høyre, erφ<, dvs. φ = π/3. Dermed kan grafen plottes med kommandoen > plot2*sinpi*x/3-pi/3), x=..6); Oppgave 3 Substitusjon med u =2πt gir du/dt =2π du =2πdt: cos2πt) dt = 2π cosu) du = 2π sinu)+c = 2π sin2πt)+c Substitusjon med u = x 3 +girdu/dx =3x 2 3 du = x2 dx. Øvre grense er u =2 3 + = 9 og nedre grense u = 3 +. x 2 x 3 +dx = 3 9 u /2 du = [ ] u3/2 = 2 [ ] 9 u u 9 = ) = 52 9 Oppgave 4 Kurven skjærer x aksen der y =,dvs.for+x)2 x) = x = ogx = 2. Mellom disse punktene er kurven over x aksen, så arealet er Oppgave 5 + x)2 x) dx = ) 3 2+x x 2 dx = [ 2x + 2 x2 3 x3 ] 2 = ) = = 9 2 Hastighetsvektoren finnes ved komponentvis) derivasjon: vt) =[2t +3, 2t ]. Denne er paralllell med x aksen når y koordinaten er, dvs for 2t = t =/2.

5 Løsning, eksamen i Matematikk 6. desember 24 2 Banefartene er normen til hasitgheten: vt) = 2t +3) 2 +2t ) 2 = 8t 2 +8t + Siden kvadratroten er en voksende funksjon er det nok å finne maks og min av radikanden det inni rottegnet). Mulige maks/min er der den deriverte er, endepunkter og der den deriverte eventuelt ikke eksisterer. Derivasjon gir 6t + 8 som eksisterer over alt, og som er for t = /2. Mulige maksimums og minimumsverdier er dermed v ) = 8 8+= endepunkt) v) = 8+8+= 26 endepunkt) v /2) = 8/4 8/2+= 8 derivert lik ) Vi ser av radikandene) at største fart er 26 og minste fart er 8=2 2. Oppgave 6 3 4j) 7 + j) =3 7 4) ) ) 7)j =25 25j Modulen absoluttverdien) til dette tallet er =25 2. Argumentet θ finner vi lett fra en tegning av tallet vektoren) i det komplekse tallplan: I θ = π/4 25 R 25j Dermed er 25 25j = polar 25 2, π ) 4 som også kanskrives25 2cos π/4) + j sin π/4)) eller 25 2e jπ/4. Oppgave 7 Funksjonen deriveres ved produktregelen for derivasjon: f x) = lnx)+x x =lnx)+ Den er voksende der f x), og finner først hvor f x) =; lnx)+= lnx) = e lnx) = e x = e Siden lnx), og dermed f x), er voksende er f x) forx e.

6 Løsning, eksamen i Matematikk 6. desember 24 3 Innsetting av y =girx = ln) = siden ln) = ). Punktet vi skal linearisere rundt har altså koordinater, ). Finner så den deriverte av y ved implisitt derivasjon. Kjerneregelen måbrukessideny er en funksjon av x, ellers er derivasjonen som i a oppgaven: lny) + ) y = y = y= = lny)+ Lineariserer ved formelen P x) =ya)+y a)x a), med a =: P x) =+ x ) P x) = x + ln) + = Vi har at P x) f x) forx a = Hva som menes med x i denne sammenheng er ikke pensum i Matematikk, men skal oppgaveteksten gi mening må deregåutfraat2 i denne situasjonen.) Dermed er f 2) P 2) = 2+=.2 Kommentar: Maplekommandoen > fsolvey*lny)=2,y) gir verdien Oppgave 8 Volum V av en kule uttrykt ved radien r er V r) = 4 3 πr3. Opplysningen i oppgaveteksten betyr at ved tidspunktet t er dv/dt = og rt ) =, mens det spørres etter dr/dt. Vi deriverer den sammensatte funksjonen V rt)) = 4 3 πrt)3 ved kjerneregelen: dv dt = dv dr dr dt dv dt =4πr2 dr dt Ved innsetting av r =ogdv/dt = får vi en likning til å finne dr/dt: = 4π 2 dr dt dr dt = 4π = 4π Det vil si at radien øker med 4π cm/s.8cm/s