OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47. Oppgaver til seminaret 24/11

Transkript

1 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 På settet: S.1, S.2, S.3, S.4, S.5 Oppgaver til seminaret 24/11 Oppgaver til gruppene uke 48 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn Avsn , 7 Avsn , 29 På settet G.1, G.2, G.3, G.4 G.5, G.6, G.7 G.8, G.9 G.10 G.11 Det er ikke noe seminar fredag 1/12, men orakeltjenesten vil gå som normalt. Det vil også bli tilbudt utvidet orakeltjeneste i perioden 4/12-12/12; mer informasjon vil bli gitt på folk.uib.no/st00895/mat111-h17/orakel2.html eller i timeplanen på MITTUIB Obligatoriske oppgaver Ingen nye oppgaver, men husk at også stoffet fra denne uken er eksamensaktuelt! 1

2 2 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 OPPGAVE S.1 (Eksamen UiB-V08 Oppg. 7) OPPGAVE S.2 (Eksamen UiO) Du skal bruke trapesformelen til å beregne en tilnærmet verdi for integralet 1/2 0 e x2 dx. Hvor mange delintervaller må du bruke for å være sikker på at feilen er mindre enn 10 10? Er den tilnærmede verdien for stor eller for liten i forhold til den virkelige verdien? OPPGAVE S.3 (Eksamen UiB-V07 Oppg. 3)

3 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 3 OPPGAVE S.4 (Eksamen UiB-V13-Oppg. 9) OPPGAVE S.5 (Eksamen NTH) (a) Hva blir volumet av figuren som fremkommer når y = x 2, 0 y h roteres om y-aksen? (b) Figuren i (a) er en tank som fylles med vann med konstant hastighet 2 m 3 /s. Hvor raskt øker vannhøyden når den er 1 m?

4 4 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-H10-Oppg. 7) OPPGAVE G.2 (Eksamen UiB-V15-Oppg. 6)

5 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 5 OPPGAVE G.3 (Eksamen NTNU) Grunntallet e til den naturlige logaritmen kan defineres som løsningen x av ligningen x dt 1 = 1 t. ( ) Forklar hvorfor trapesmetoden med n = 1 gir en for stor verdi for integralet i ( ). Bruk dette til å utlede ulikheten Hvilken nedre skranke gir dette for e? e 2 2e 1 > 0. OPPGAVE G.4 (Eksamen UiB-V09-Oppg. 3)

6 6 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 OPPGAVE G.5 (Eksamen UiB-H03-Oppg. 4) OPPGAVE G.6 (Eksamen UiB) Et legeme er laget av en kule med radius R slik: først dreier en ut en sylinder med radius b og med akse gjennom kulesenteret. Langs sylinderaksen borer en så et hull med radius a. Dette blir et rørliknende legeme med veggtykkelse b a, der endene på rørstubben er en del av kuleoverflaten (se figuren). Regn ut volumet av legemet uttrykt ved a, b og R

7 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 7 OPPGAVE G.7 (Eksamen UiB-V14-Oppg. 7)

8 8 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 OPPGAVE G.8 (Eksamen UiB-H07-Oppg. 6)

9 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 9 OPPGAVE G.9 (Eksamen NTNU) For alle c > 0 lar vi B c være området i xy-planet begrenset av kurvene ln(x) x = 1, e π/c, y = sin(c ln(x)) og y = 0. x Bestem c > 0 slik at volumet som fremkommer når området B c roteres om x-aksen er π2. 2 OPPGAVE G.10 (Eksamen NTNU) (a) Finn det ubestemte integralet 2 u(2 + u) du. (b) Finn alle løsninger av differensialligningen (2 + e x ) dy + 2y = 0. dx Finn en løsning y(x) som oppfyller lim x y(x) = 1. OPPGAVE G.11 (Eksamen NTNU) Du får til denne oppgaven oppgitt at buelengden s til en kurve i planet gitt ved ligningen y = f(x) fra x = a til x = b er gitt ved s = b a 1 + (f (x)) 2 dx. Du bor 3 km fra havet, og fra huset ditt i origo (se figuren under) går det en vei langs kurven 25y 2 = 4x 5, x [0, 3] ned til stranden som ligger på linjen x = 3. En dag bestemmer du deg for å sykle eller gå ned til stranden for å bade. Når du sykler må du sykle på veien, men du kan når som helst parkere sykkelen og gå det siste stykket i en rett linje vinkelrett mot strandkanten (det spiller ingen rolle hvor på stranden du bader). (a) På hvilket punkt (x, y) på veien vil du parkere sykkelen og begynne å gå dersom du ønsker å komme frem på kortest mulig tid når du vet at du sykler 3 ganger raskere enn du går? Husk å bevise at din løsning faktisk gir den korteste reisetiden. (Vi antar at både gang- og syklehastigheten er konstant.) (b) La funksjonen f være gitt ved f(x) = 1 + x 3. For 0 < x < 2 er f (x) < 3/2 (du behøver ikke å vise det). Bruk trapesmetoden for å finne tallet I = x3 dx

10 10 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 med en feil mindre eller lik 1/16. Kan du ut ifra denne tilnærmingen konkludere med at det tar mindre enn 21 minutter å dra ned til stranden på raskest mulig måte når ganghastigheten er v = 6 km/t? Fasit/hint på neste side

11 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE Fasit/hint til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden Oppgave S.5. (a) πh2. (b) 2 m/s. 2 π Oppgave G.3. For stor verdi siden grafen til 1/t er konveks (= concave up ). Trapesmetoden med n = 1 gir den tilnærmede verdien T 1 = (e 2 1)/2e, som er større enn e (1/t) dt = 1, som gir ulikheten. Faktoriseringen 1 e2 2e 1 = [e (1 + 2)][e (1 2)] gir e > ] Oppgave G.6. [(R 4π 2 a 2 ) 3/2 (R 2 b 2 ) 3/2. 3 Oppgave G.9. c = 2 Oppgave G.10. (a) ln u + C. (b) y(x) = C + 2Ce x, y(x) = 1 + 2e x. Oppgave G.11. Se Oppgave 6 i media/tma4100/eksamen/lf tma k.pdf LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen