Løsning, Trippelintegraler

Transkript

1 Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8 et jeg har gjort er gjentatte ganger å sette konstanter utenfor integrasjonen. Først går x og utenfor integrasjonen, og deretter x videre utenfor -integrasjonen. et innerste integralet blir da et tall 6) som kan settes utenfor alt, og deretter blir integrasjonen et tall ) som kan settes utenfor x integralet. enne teknikken virker fordi integranden er separabel variablene står i hver sin faktor) og grensene er faste. x x) d d dx x / ] x d dx x x ) / d dx x x + x 5 )/ d dx x x + x 5 )/ ] dx x x + x 5 dx x / x /+x 6 /6 ] Er du i stand til å innse at dette må være riktig pga smmetri? Området er smmetrisk om -planet, og funksjonen om aksen, og dette gjør at det positive bidraget for x ) akkurat oppveier det negative for x ) Oppgave a) - - x et er lettere å se figuren tredimensjonalt om du sjekker Maplefila op_u7fig.mw og snur litt rundt på den. oppen er gitt av og bunnen av. en vertikale krumme flaten x avgrenser, sammen med. Yttergrensene i x retningen bli x x ± : V x d d dx x ddx / ] x dx

2 Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler b) x ) x ) / dx 8 x / dx 8x x 5 / ] 8/5 et er lettere å se figuren tredimensjonalt om du sjekker Maplefila op_u7fig.mw og snur litt rundt på den. Vi kan ikke ha både og som grenser i integralet direkte som de står hvis vi f.eks integrerer med hensn på innerst, kan ikke inngå i grensen i integralet utenfor). ette ordner vi opp i med åbeskrive dette som,. Vi får fra dette et rør parallellt med x aksen, og tverrsnitt som dette området. et skal så kuttes av det skrå planetx + +,ogdetvertikale-planet. ette planet skjærer gjennom øvre kant av røret i planet, i punktet,, ) som dere kan sjekke oppfller alle likningene) og nedre kant i punktet,, ). V dx d d dd / ] d ] / / / + /+ d / / / 5/ /5 /+ 5 / + / / / /5 /+/ + / / Oppgave a) er gitt ved θ π, r, r b) V M x π π π r rddrdθ π r r d dr dθ π r r dr dθ π 8r r 5 / dr dθ r] r π π r / ] dr dθ r r / ] dθ π r dr dθ r r 6 / ] dθ π ermed er M x /V 6π/ 8/ 8π x og -koordinatene til centroiden tngdepunktet) er pga. smmetri om aksen. c ) Siden kulellikningen er x + + a,er ± a x ± a r. Kula kan dermed i slinderkoordinater beskrives som θ π, r a, a r a r dθ 8π / dθ 6π/ og volumet er: V π a a r a r rddrdθ π a a r rdrdθ

3 Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Med substitusjonen u a r, som gir du rdr,øvregrenseu a a og nedre grense u a a får vi: π π ] π V u / du dθ u / / dθ a / dθ a a πa d ) I slinderkoordinater erstatter vi x + med r, mens vi beholder, ogfår kulelikningen r + ved åbruke istedenfor får vi kuleflaten og det som er inni). Vi bruker kule flaten som øvre og nedre avgrensing for, så vi løser ut mhp. og får r r r Slinderen gir naturlig avgrensing for r og θ. Vi setter inn x + r og x r cosθ) i likningen og får likningen r r cosθ) som gir sirkelen r cosθ) som også stemmer for r ).Vedåla θ variere fra π/ tilπ/ vilcosθ) gåfratilgjennompositiveverdier,ogvifår lukket sirkelen vi skal ha hvilket som helst annet område med bredde π gjør ntten. Har intervallet bredden π går vi to ganger rundt sirkelen, og vil få etområde som er dobbelt så stort som det skal være.). ette gir følgende beskrivelse for området vi skal finne volumet av: { r cosθ),rsinθ),) π/ r π/) r cosθ)) r r } ette gir V V dv π/ π/ cosθ) π/ π/ cosθ) r r ) rdθdr r rddrdθ som vi regner ut til π/ π/ r ) cosθ) /] dθ via substitusjonen u r, du rdr Vi har cos θ)) / / sin θ) ) /. Vi må være litt forsiktige med fortegnene når vi forenkler dette, det blir 8 sinθ). allverditegnet kan unngåes om vi isteden integrerer fra til π/ herersinθ) ), og observerer at om vi dobbler dette får vi hele volumet kan sees fra figur, eller fra smmetrien i integranden): π/ V 6 sin θ)+ 6 π/ dθ π/ dθ cos θ)) sinθ) dθ I siste integral substituerer vi med u cosθ), du sinθ), nedre grense u cos)ogiøvre grense u cosπ/) : V 6π + u ) du 6π Volumet av hele kulen er π.5 og av slinderen π.6, så svaret ser rimelig ut i forhold til disse. et er litt morsomt at den delen av halvkulen som står igjen får volum 6/, et uttrkk uten π) Oppgave a) Ved å sette inn x r cosθ) i likningen x får vi r cosθ) som omfomes til r / cosθ). b) Planet x er punktene med slinderkoordinater som oppfller r / cosθ), og avgrensinga på r er r / cosθ). Alle punktene i området har en retning i en horisontal vinkel θ med x planet som oppfller θ π/. Avgrensinga på er. c) x + dv π/ dθ d cosθ) π/ / cosθ) π/ r rdrdθd cosθ) cos dθ d θ) π/ π/ / cosθ) r] dθ d cosθ) sin dθ d θ)

4 Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Substituerer med u sinθ), som gir du cosθ) dθ som står ferdg i uttrkket. Øvre grense blir u sinπ/) / og nedre grense u sin): elbrøsoppspalting: / du d u / du d u) + u) u) + u) A u + B +u A + u)+b u) u) + u) u) + u) Siden tellerene skal være like for alle u kan vi sette inn u ogfår A+)+B ) A / og tilsvarende gir u ata + )) + B )) B / så integralet blir / u + ) du d +u Ved substitusjonen v u, meddv du får vi / u) ln u), mens substitusjonen v +u gir / + u) ln+u). Siden ln) blir nedre grense : ln u)+ln+u)] / d ln /) + ln + ) /) d Kan videre slå sammen ln ene, og senere pnte uttrkket ved å multiplisere med + / i teller og nevner: ln + ) / d / ln Setter konstantene utenfor samtidig som vi regner sammen litt: + ) /+/ /+ ) ln dln / / + /) /) + / ) / ] ln ) d + ) 9/ /) ln + ) ln + ) ) ln + + ) ) ln7+ ) Oppgave 5 a) ρ b) ρ c) φ π/, θ π/, d) Ved å kombinere svaret i b og c oppgaven finner vi integrasjonsgrensene i kulekoordinater: π/ π/ x + + dv ρ sinφ)] dφ dθ π/ π/ π/ π/ ρ ρ sinφ) dρ dφ dθ sinφ) dφ dθ π/ e) Vi har at x + ρ sin φ), og i integrasjonområdet er sinφ) så π/ π/ x + dv ρ sinφ)ρ sinφ) dρ dφ dθ π/ π/ ρ /sin φ)] dφ dθ Finner sin φ) dφ f.eks. fra formelsamling: 55 π/ π/ π/ φ sinφ)]π/ dθ 55 π π/ π/ cosφ)] π/ dθ π/ π/ 55 sin φ) dφ dθ π/ dθ 55 π sinφ) dρ dφ dθ π/ θ π/ ρ sin φ) dρ dφ dθ

5 Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler 5 Oppgave 6 Vi plasserer halvkulen med sentrum i origo, og snittet som deler kulen i to i x planet. a blir aksen en smmetriakse, så x ȳ Halvkulen kan da i kulekoordinater beskrives som θ π, φ π/ og ρ a Vi finner først momentet om x-planet, M x dv Vi setter inn ρ cos φ, dv ρ sin φdρdφdθ og grensene i kulekoordinater og får: M x π π/ a π π/ ρ cos φ sin φdρdφdθ ] a ρ cos φ sin φ dφ dθ a π π/ cos φ sin φdφdθ Neste integral løses ved substitusjonen u sinφ, du cosφdφ, nedre grense u sinogøvregrense u sinπ/) : M x a π ududθ a Volumet av en halvkule er kjent som πa /, så vifår π u /] a dθ 8 / M x /V πa πa a 8 ermed blir centroiden tngdepunktet ),, a/8) π dθ πa Oppgave 7 Siden uttrkket for ρ og for φ) i grensene ikke inneholder θ er fasongen uavhengig av denne. ette betr at legemet er et omdreiningslegeme om aksen. For å finne ut hvilket flatestkke som roteres om aksen kan man forsøke å skissere dette i det positive x planet θ ).Vifår da et lukket flatestkke om φ går fra tilπ sin φ går fra til gjennpom positive verdier). Nærmere undersøkelser vil vise at dette er en sirkel med sentrum i a,, ), og med aksen som tangent. Når dette roterer får vi en torus smultring) der hullet i midten er degenerert til et punkt. π π a sin φ ρ sin φdρdφdθ π π a sin φ) /sinφdθdφ 6a π π sin φdφ Har bttet om rekkefølgen siste integrasjon, for å utsette den problematiske integrasjonen til slutt. enne kan løses ved hjelp av formel 7 og formel 6) på side 9 i Haugans formelsamling eller ved hjelp av f.eks Maple): sin φdφ sin φ cos φ + sin φdφ sin φ cos φ + φ/ sinφ)/) + C Ved insetting av øvre grense φ π eller nedre grense φ i dette faller alle ledd som inneholder sinus, og vi står igjen med π/8, så V 6a π π 8 π a ette volumet kunne vi regnet ut me lettere fra Pappus første teorem h i lææreboka).

6 6 Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Oppgave 8 a) Skråplanets likning er: x + +,ogdetskjærerx-planet,, ) langs linja x +. ette gir: x x + )dv x + )d)da x,, ) x x x + ) d d dx. x,, ) b) Skråplanets likning i slinderkoordinater er: r cos θ + r sin θ +,dvs. rcos θ r sin θ, og det skjærer x-planet langs linja r cos θ + r sin θ,dvs.r cos θ+sin θ. ette gir: π/ /cos θ+sin θ) r cos θ r sin θ x + )dv r cos θ + r sin θ)rddrdθ. c) Skråplanets likning i kulekoordinater er: ρ sin φ cos θ+ρ sin φ sin θ+ρ cos φ,dvs.ρ som gir: x + )dv π/ π/ /sin φ cos θ+sin φ sin θ+cos φ) ρ sin φ cos θ + ρ sin φ sin θ)ρ sin φdρdφdθ. sin φ cos θ+sin φ sin θ+cos φ, d ) Vi beregner integralet i kartesiske koordinater: x + )dv x x x + ) d d dx x x x + )] x d dx x x x + ) d dx x x + ) x ) d dx x x x + ] x dx x x) x x) x x) + x) x) ) dx x x x + x x +x x + x + x + x x + x ) dx 6 x + x ) dx 6 x 6 x + ] x Oppgave 9 a) Firkanten er avgrenset av deler av linjene x-aksen), x, x og x, som vist på figuren. Ved oppstilling i kartesiske koordinater må dobbeltintegralet skrives som en sum av to deler, slik: da x + x x x d dx + + x x d dx, + eller slik: da x + x dx d + + x dx d. +

7 Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler 7 x b ) c ) Likningen for linja x i polarkoordinater er: θ π/, linja x blir til: r /cos θ +sinθ), og x blir til: r /cos θ +sinθ), slik at oppstillingen blir: da x + π/ /cos θ+sin θ) Vi gjør utregningen i polarkoordinater: da π/ x + /cos θ+sin θ) /cos θ+sin θ) /cos θ+sin θ) r rdrdθ dr dθ r π/ /cos θ+sin θ) π/ /cos θ+sin θ) dr dθ. r ] /cos θ+sin θ) lnr) dθ /cos θ+sin θ) π/ π/ π/ ln cos θ +sinθ ) ln )) dθ cos θ +sinθ ln) lncos θ +sinθ)) ln) lncos θ +sinθ))) dθ ln) ln)) dθ π/ ln π/ ) dθ ln) dθ π ln). Oppgave Planet har likningen ρ / cos φ i kulekoordinater, og det skjærer kula ρ vedφ π,såvifår: dv x + + π π/ π π/ π / cos φ cos φ )sinφdφdθ π ρ sin φ ρ dρ dφ dθ π dθ cosφ +lncosφ) π π/ π/ ] π/ / cos φ sinφ sin φ cos φ ) dφ +ln ) + ln)) π ln)). sin φdρdφdθ