Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 12 (15).
|
|
- Carl Christophersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 7 ( 5) Vi skal btte integrasjonsrekkefølgen i integralet dd Når vi btter integrasjons- rekkefølgen må integrasjonsområdet beskrives på ntt Dobbelintegralet er gitt ved iterert integrasjon og vi finner først ulikhetene for integrasjonsområdet Disse er integrasjons- grensene i variabelen som det integreres over i hvert enkelt integral Integrasjonsområdet er beskrevet som enkelt og er Vi bestemmer først randa til området Denne er gitt ved finne som funksjon av De to første likningene gir, Vi trenger å, gir at og Kvadrering av den siste gir, Dobbelulikheten Samlet gir dette Området er avgrenset av en parabel og en rett linje En figur viser at Det er mulig å resonnere seg fram til dette også, men det er vesentlig enklere med figur etter btte av integrasjonsrekkefølge blir da som enkelt område Vi får 6 dd dd [ ] d d [ ] Oppgave 5 ( 5 ) Problemet med integralet sin dd er at vi ikke kjenner noen antiderivert til sin d I stedet er det slik at integralet definerer en n funksjon, på samme måte som d definerer sin logaritmefunksjonen ln Funksjonen d er ikke viktig nok til å ha eget navn Dermed kan ikke integrasjonen utføres Vi merker oss at integrasjonsområdet beskrevet som enkelt gjør at integralet er uløselig Dette er den tterste versjon av at integrasjonen avhenger av integrasjonsrekkefølgen Vi skal btte integrasjonsrekkefølge og må beskrive integrasjonsområdet på ntt Fra integralet finner vi den enkle beskrivelsen av området:
2 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Btte av integrasjonsrekkefølgen krever at vi bestemmer området som enkelt Vi finner som den ene randkurven Videre har vi at Siden må den andre være Dermed er, noe som enkelt finnes fra en figur Dermed er sin sin sin dd d d [ ] d sin d [ cos ] cos + cos, hvor vi har benttet at sin er konstant når det integreres i Merk at integralet var løselig kun fordi området var så spesielt at vi fikk forkortet i nevneren Andre former på området, f eks et kvadrat, umuliggjør forkortingen og integralet forblir uløselig uansett integrasjonsrekkefølge Oppgave 5 ( 5 ) Ovenfra er legemet avgrenset av paraboloiden Øvre + Nedenfra er legemet avgrenset av planet Nedre I planet er projeksjonen av legemet avgrenset av linjene, og + Vi bestemmer avgrensingen langs aksen ved å bestemme skjæringspunktet til linjene: Dermed har vi beskrevet projeksjonen av legemet som Den øverste ulikheten framkommer ved å bestemme hvem av linjene som gir størst verdi i Volumet av legemet er v ( D ) da da Øvre Nedre + + dd [ + ] d ( ) + ( ) ( + ) d ( ) d [ ( ) ] Kommentar: Volumet av et legeme er alltid gitt ved vd ( ) dv Dette gjelder uavhengig av koordinatsstem Her integreres den konstante funksjonen f(,, ), og denne har samme verdi i alle koordinatsstemer Beskrivelsen av legemet er Trippelintegralet gir D + D + + v( D) d d d [ ] d d + d d,
3 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) som er dobbelintegralet over av Øvre dobbelintegral Nedre, i overensstemmelse med volumformelen fra Oppgave ( 5 ) Vi nøer oss med å beregne integralet cos sin fra sin cos tan tan () Integrasjon gir d d Skjæringspunktet til kurvene bestemmes cos cos [ ] sin sin d d d d cos sin [sin + cos ] sin + cos (sin + cos ) + Oppgave 7 ( 57 ) Gjennomsnittet av en funksjon i to variable er f f(, ) da a ( ) Gjennomsnittshøden 8 er h h(, ) da dd [ ] d d a ( ) [ ] + Oppgave ( 5 ) Fra integrasjonsgrensene i integralet + dd følger at området er Vi har at området være i kvadrant Området er dermed kvartsirkelen + r blir integralet + Siden både og er positive må r Med θ + d d r r dr dθ [ r ] dθ [ θ ] 8
4 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 8 ( 58 ) Arealet av et område er a ( ) da, som gjelder uavhengig av koordinatsstem Siden randa til området er beskrevet i polare koordinater beskriver vi området direkte i polare koordinater Kurvene skjærer hverandre når + cosθ θ cos () ± Dette gir r + cosθ Arealet blir θ + cosθ + cosθ a ( ) rdrdθ [ r ] dθ ( + cos θ ) dθ cosθ + cos θdθ cos θ + ( + cos θ) dθ [sin θ + ( θ + sin θ) ] {sin + ( + sin ) sin( ) ( + sin( )} ( + ) + Oppgave ( 58 ) Integralet d d ( + + ) er et generalisert integral siden integrasjonsområdet er ubegrenset Integrasjonsområdet er, som vi kjenner igjen som hele kvadrant I r polare koordinater blir området Med + r og dd da rdrdθ blir θ integralet ( ) dd rdrdθ + + ( + r ) Vi ser på r integralet for seg Vi hadde opprinnelig to generaliserte integraler, men etter du variabelskiftet er det kun ett igjen Vi substituerer u + r dr De ne grensene blir r u + og r u Integralet blir du rdr r u du [ u ] ( + r ) u r u du (lim B + ) B r Egentlig skal integralet beregnes som en grenseverdi grensen ikke er ubestemt og har verdi så brukes samme innsettingsnotasjon som for bestemte integral, selv om dette strengt tatt ikke er riktig Vi får ( + + ) d d dθ [ θ ] Siden
5 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 57 ( 57 ) cos( u + v + w) du dv dw [sin( u + v + w) ] dv dw sin( + v+ w) sin( + v+ w) dvdw [ cos( + v+ w) + cos( v+ w) ] dw cos( + + w) + cos( + w) + cos( + + w) cos( + w) dw cos( + w) cos wdw [sin( + w) sin w] (sin( + ) sin sin( + ) + sin ) Vi har kun integrert i en variabel av gangen og satt inn grenseverdiene for denne Det er intet poeng å forsøke å forenkle uttrkket ved å bruke addisjonsformlene for sinus og cosinus Videre har vi brukt at perioden er Oppgave 55 ( 55 ) I oktant er alle tre variablene positive Planet + Dermed er avgrensingen vertikalt Vi trenger projeksjonen av legemet i planet Slinderen gir avgrensingen Vi trenger avgrensingen langs aksen Fra planet har vi med at Fra slinderen har vi at ± med samme resultat som for planet siden legemet er i oktant Dermed er Vi har funnet følgende beskrivelse av legemet: D Vi ser at integrasjonsrekkefølgen avviker noe fra standard, dette for å slippe å løse som funksjon av som gir en kvadratrot Volumet blir v( D) dv d d d D [ ] ( )[ ] ( )( ) d d d d d d d [8 + ]
6 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 67 ( 57 ) Massen til et område i planet med tetthet δ δ (, ) er m δ (, ) da M M Massesentret, som er legemets balansepunkt i et homogent tngdefelt, er C,, m m med momentene M δ (, ) da og M δ (, ) da Treghetsmomentene om aksene er I δ (, ) da, I δ (, ) da og I + da Vi ser at ( ) δ (, ) I I + I Groradiene, som er avstanden fra rotasjonsaksen til en ekvivalent punktmasse, I dvs at punktmassen har samme treghetsmoment om aksen som hele legemet, er, m I I og Merk at treghetsmomentene og dermed groradiene vanligvis er m m forskjellige for de forskjellige aksene Vi skal beregne c, I og Vi må først beregne massen til den tnne platen Området er gitt som Med tettheten δ (, ) 7+ blir massen ved innsetting av uttrkket for tettheten [ ] [ ] 5 m + d d + d + d + Massesentrets koordinat er M C δ (, ) da m m δ (, ) M da (7 + ) d d [ + ] d + d [ + ] 5 5 Massesentrets koordinat er C 5 Treghetsmomentet om aksen er I δ (, ) da (7 + ) d d [ + ] d + d [ + 5 ] 5 Groradien blir da I 8 m 6
7 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 76 ( 566 ) Vi skal stille opp f (, r θ, ) dv som et iterert integral over det gitte området, som er en D slinder Vi bør av den grunn velge slinderkoordinater Vi har at 5 Siden uttrkket inneholder koordinaten må vi bruke rcos θ, rsinθ for å skrive om uttrkket Slinderkoordinater kan kun inneholde r, θ, som variable Omskrivingen blir 5 rcosθ Projeksjonen er gitt ved r cosθ Siden sirkelen går gjennom origo blir likningen for vinklene r cosθ θ ± Dette kan også ses direkte av figuren, når vi 5 rcosθ merker oss av aksen peker ut av papirplanet Dermed er D r cosθ θ Integralet på iterert form blir D cosθ 5 r cosθ (,, ) (,, ) f r θ dv f r θ r d dr dθ Vi skal som spesialtilfelle beregne volumet av slinderen Da er f(, r θ, ) som gir cosθ 5 r cosθ cosθ 5 cos vd ( ) r [ ] drdθ r(5 rcos θ) drdθ [ r r cos θ ] dθ 5 5 cos 9 cos cos 9 cos θ θ dθ θ dθ θ dθ Vi må beregne integralene for seg cos θ dθ ( + cos θ) dθ [ θ + sin θ ] og cos θ dθ cos θ ( sin θ) dθ cos θ (cosθsin θ) dθ sin ( θ) dθ ( cos θ) dθ 8[ θ sin θ ] Volumet blir vd ( ) θ Oppgave 78 ( 568 ) Her er det naturig å bruke kulekoordinater siden deler av overflaten til legemet er en kuleflate Igjen må vi beskrive området i rommet Legemet er mellom kjegleflaten ϕ og planet Dette gir ϕ, siden vinkelen ϕ langs den positive aksen Dermed er ρ θ D ϕ 7
8 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Volumet er ( ) sin D vd dv ρ ϕdρdϕdθ [ sin ] d d [ cos ] d ( cos + cos )[ ] ρ ϕ ϕ θ ϕ θ θ Dette gir en oppdeling av halvkulen i to deler med samme volum Delevinkelen fra toppen er 6 Oppgave 766 ( 5666 ) Gjennomsnittet er f v( D) f(,, ) dv D ρ cosϕ ρ sin ϕdρdϕdθ [ ρ ] cosϕsinϕdϕdθ 6 sin ϕdϕdθ 6 [ cos ϕ] dθ ( cos + cos )[ θ ] 8 Merk at siden ρ cosϕ så har vi beregnet gjennomsnittshøden til halvkuleflaten over planet For en generell halvkule er den h, noe som innses direkte fra beregningene 8 Oppgave 89 ( 579 ) Vi skal beregne integralet + dahvor integrasjonsområdet er avgrenset av, 9,, hvor de to første kurvene er hperbler og de to siste er rette 9 linjer Løst for blir hperblene, Vi skal skifte til ne variable u, v med u v, uv Her kjenner vi de gamle koordinatene som funksjon av de ne, så vi slipper å løse likningene for de gamle uttrkt ved de ne Vi finner først den ne integranden + + uv v + u u + v; u >, v > uv u u v v Vi må finne det ne integrasjonsområdet G Vi vet at koordinatskiftet tar randa til G på randa til og vice versa Vi skifter derfor variable i likningene for randkurvene til området u Innsatt i den første hperbelen gir dette v uv u u ± Siden u > er den tilsvarende randkurven for området G u Den andre hperbelen gir u v uv u 9 u ± Siden u > blir tilhørende randkurve for G u Den første u rette linjen gir uv v v ± og med v > er den tilsvarende randkurven v 8
9 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) for G v Den andre linja gir den siste randkurven for det ne området G: u uv v v v± som med v > er, v Det ne integrasjonsområdet v blir G og dette gir de ne integrasjonsgrensene u G uv Vi må beregne Variabelskifteformelen er f ( da, ) f ( uv (, ), uv (, )) Juv (, ) da jacobideterminanten til variabelskiftet/koordinattransformasjonen Juv u v ( u) ( u ) u v v u v u v v v u u (, ) ( ) ( uv) ( uv) v v v u v v u u v Innsatt i integralet blir dette u u (, ) ( ) [ ln ] G v uv v f da u + v da + u dv du u v + uv du 5 u ln + udu [ u ln + u ] 8ln + 9 ln ln + 8 Oppgave 8 ( 57 ) Integralet + ( ) ( ) e d d skal løses ved å bentte koordinattransformasjonen, + u+ v v Området er beskrevet som enkelt og integrasjonsgrensene er gitt Integrasjonsområdet er Vi må bestemme det ne området G ved å bentte at koordinattransformasjonen overfører på G og omvendt Vi har ( + ) Vi setter transformasjonslikningene inn i likningene for randa til området Likningene overføres da til de ne koordinatene, og siden rendene er i en til en korrespondanse, så er dette likningene for randa til det ne området, G Vi setter inn i likningene etter tur: u+ v v u, ( + ) + u+ v v+ u, u u v og v Vi har funnet G v v 9
10 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Med dette er de ne integrasjonsgrensene avklart og det ne området er v G u Vi trenger å bestemme integranden i de ne koordinatene Vi må først omforme ( u+ v) v u Integranden i de ne koordinatene blir ( ) ( u) u ( ) e v ( u) e v ue Til slutt trenger vi jacobideterminanten til koordinattransformasjonen (, ) Juv (, ) Innsatt blir integralet i ne ( uv, ) koordinater + ( u+ v) ( u+ v) u v u v ( v) ( v) u v u v ( ) ( ) e d d u u u ( ) [ ] 8 v u e dv du v ue du ue du dw dw dw Det siste integralet løser vi ved substitusjon i en variabel Lar w u du u 8u De ne integrasjonsgrensene blir: Nedre grense: u w u og Øvre grense: u w u Dermed er integralet 6 vue 6 6 u dvdu ue u du ue w dw e w dw e 6 e e 6 8u 8 8 ( u ) Oppgave 8 ( 57 ) Vi skal beregne trippelintegralet + dv over området avgrenset av D,, ved å bentte variabelskiftet/koordinattransformasjonen u, v, w Her kjenner vi de ne koordinatene uvw,, som funksjoner av de gamle koordinatene,, Dette gjør at vi må løse likningene for å finne de gamle koordinatene som funksjoner av de ne Med G som området beskrevet i de ne koordinatene gir variabelskifteformelen for trippelintegral f (,, ) dv guvw (,, ) Juvw (,, ) dv D G uvw, hvor den ne integranden bestemmes ved å sette inn for de gamle koordinatene i f (,, ) Vi starter med å finne integrasjonsområdet G I stedet for å bestemme randa til D så setter vi inn de ne variablene direkte i ulikhetene Dette gir w ( u, v, ) ( u, v, w ) Fra ulikhetene har vi det ne
11 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) u integrasjonsområdet G v w Her var opplsningene slik at det ikke lønte seg å gå via randa til D, selv om også dette hadde ført fram Vi trenger de gamle koordinatene som funksjoner av de ne Fra uttrkkene har vi v v direkte at u, w Det gjenstår å bestemme Vi har Transformasjonen er u v u Jcobideterminanten er w ù u u u v w u v w (,, ) ( v) u ( v) u ( v) u v ( uvw,, ) u v w u v w u u ( w) ( w) ( w) u v w u v w Juvw (,, ), u u siden determinanten er øvre triangulær Ìntegranden bestemmes ved direkte innsetting f (,, ) + u + u w uv+ vw guvw (,, ) Trippelintegralet blir v v u u D u w + dv ( uv + vw) dwdv du v( + ) dwdv du w 9 [( u ] ( u) [ ( u)] u v w + dv du v + dv du v + du + du [u+ ln u] ( + ln ( + ln)) + ln u Løsninger til oppgaver fra fellesliste over manglende oppgaver i gammel og n utgave Oppgave 55 (Gammel) Vi må finne en beskrivelse av legemet Fra opplsningene om har vi Det gjenstår å bestemme projeksjonen i planet Vi har at og ønsker å beholde denne for å slippe kvadratroten som følger hvis vi løser for Paraboloiden skjærer planet i ± Legemet er i første oktant og dermed er, minusløsningen er utelukket Videre er kurven mindre enn siden den går gjennom origo Da gjenstår avgrensingen langs aksen Vi har at kurvene skjærer hverandre
12 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) når ± Første oktant gir Legemet blir D Vi skal beregne C, I og Til dette trenger vi massen m dv [ ] ( ) [ ] k d d d k d d k d d k d k + d k[ + ] k( + ) k Massesentrets komponent er M C m D M δ (,, ) dv k d d d D k k 5 k [ ] dd ( ) dd (6 8 + ) dd k [8 6 ] d k 8 k 6 d [ 5 8 ] ( + ) k k Massesentrets koordinat er C M k 8 m k Merk at både massen og momentet avhenger av proporsjonalitetsfaktoren k, mens massesentret er uavhengig av proporsjonalitetsfaktoren, k Massesentret avhenger kun av hvordan massen er fordelt i legemet Dette er rimelig siden to legemer med samme massefordeling har massesentret på samme sted selv om det ene legemet har dobbelt så stor masse som det andre, dvs har dobbel så stor k ( ) (,, ) D ( ) ( )[ ] Treghetsmomentet om aksen er I + δ dv + k d d d k + d d 5 k ( + )( ) d d k ( ) + ( ) d d [ ( 6 ) ( ) ] 6 k + d k d
13 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) k[ ] k( ) k Groradien er I k 5 m k Igjen er treghetsmomentet avhengig av proporsjonalitetsfaktoren, k, mens groradien ikke avhenger av k Groradien er avhengig av massefordelingen og ikke av skaleringsfaktoren For å gi et inntrkk av integrasjonsrekkefølgens betdning er oppgavene nedenfor løst på begge måtene Vi får forskjellige uttrkk avhengig av integrasjonsrekkefølgen og vi kan ende opp med generaliserte integraler selv om den opprinnelige integranden er definert på hele integrasjonsområdet Oppgave 7 ( N ) Vi skal løse integralet dd + ) Ved integrasjon i variabelen er variabelen konstant Vi løser først integralet du du du ved substitusjonsmetoden u + som gir d u ( + ) Ne integrasjonsgrenser blir Nedre: u + og Øvre: u + + Dette gir Dermed er du du d [ln u ] ln( + ) ln ln( + ) + u u dd ln( + ) d + Integralet løses som vanlig ved delvis integrasjon hvor vi deriverer bort logaritmen ln( + d ) ln( + d )
14 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Setter U U d og V ln( + ) V + Delvis integrasjon gir ln( + d ) [ ln( + ) ] d + ln ln du ln [ ln( + )] ln ( ln ( ln)) ln, + + Hvor vi har brukt at, som også kan finnes ved polnomdivisjon Omskrivingen er nødvendig siden telleren ikke har lavere grad enn nevneren ) Integralet kan også beregnes ved å btte rekkefølgen: dd dd + + Nå har telleren samme grad som nevneren og vi må polnomdividere I polnomdivisjonen i variabelen betraktes som konstant Divisjonen gir: :( ) + ln( ) Innsatt får vi + dd + dd [ ] d ln( + ) d + + Det siste integralet løses ved delvis integrasjon og delbrøkoppspalting I ln( + ) d lar vi U U d og V ln( + ) V + Innsatt i formelen for delvis integrasjon finner vi ln( + ) d ln( + ) d ln( + ) + d + ( + ) Vi bentter delbrøkoppspalting på det siste integralet og finner A B + A( + ) + B Valget gir A og valget gir B ( + ) + Dermed er ( + ) Det siste integralet blir ( ) d d ln( ) ln( + )
15 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Totalt gir integrasjonen ( ) ln( + ) d ln ln( + ) + ln( ) ln( + ) ln( + ) + ln( + ) Siden integranden ikke er definert i er ln( +) d et generalisert integral Verdien bestemmes som en grense: ln( + ) d lim ln( + ) d A + A A + A A + A ( ) lim [ ln( + ) + ln( + ) ] lim ln( + ) + ln( + ) ( ln( + A) + ln( + A)) ln ln lim A ln( A) ln ln lim A ln( A) A + A Den siste grensen er et ubestemt uttrkk av tpen ln( + A) + A lim lim, A + A A + og bestemmes fra L Hopitals regel som med resultat dd lim ln( + ) d ln A + + A Det er enklere å løse integralet ved først å integrere i variabelen, siden en slipper hele problematikken med generalisert integral Integranden i dobbelintegralet er definert på hele området, men integrasjon først i variabelen gjør at integranden ikke er definert i Vi ser at uttrkkene kan endre karakter ved å btte integrasjonsrekkefølge Oppgave 6 ( N ) ) Integralet blir etter at vi har beskrevet integrasjonsområdet som enkelt: sin( + ) da sin( + ) dd Vi bruker delvis integrasjon i variabelen U U og V sin( + ) V sin( + ) d cos( + ) Innsatt gir dette sin( + ) d [ cos( + ) ] ( cos( + )) d cos( + ) + [sin( + ) ] cos( + ) + sin( + ) sin 5
16 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Vi kan bruke trigonometriske formler til å forenkle uttrkket til cos sin, men det er ikke nødvendig sin( + ) dd cos( + ) + sin( + ) sin d [ sin( + ) cos( + ) + cos ] sin( + ) cos( + ) + cos ( sin( + ) cos( + ) + cos( ) ) Integralet blir etter at vi har beskrevet integrasjonsområdet som enkelt: sin( + ) da sin( + ) dd [ cos( + ) ] d cos + cos( + ) d (cos( + ) cos ) d Igjen kan uttrkket forenkles, nå til cos, men heller ikke dette er nødvendig Delvis integrasjon gir U U og V cos( + ) cos V cos( + ) cosd sin( + ) sin (cos( + ) cos ) d [ (sin( + ) sin ) ] (sin( + ) sin ) d [ cos( + ) + cos ] cos cos cos( ) + cos Oppgave ( N ) ) Integrasjonsområdet beskrives som enkelt og integralet blir da dd + + Vi ser først på d + Variabelskiftet ( substitusjonen ) u d du du du + gir u ( + ) 6
17 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Ne grenser Nedre: u + og Øvre: u + + Dermed + + du du + d [ln u ] + u u ln( + ) (ln( ) ln) + Integralet blir ln( + ) ln( + ) + dd d d Dette er et generalisert integral selv om dobbelintegralet ikke er det Følgelig får vi en grenseberegning i tillegg til innsettingene Vi bruker delvis integrasjon for å kvitte oss med logaritmedelen: U U d og V ln( + ) V + Innsatt dd + d + d + + ln( ) [ ln( ) ] ln( + ) + ln( + ) + lim + d ln lim [tan ] ln ln + + tan tan ) Området beskrevet som enkelt gir integralet da dd + + Vi ser først på d + Variabelskiftet ( substitusjonen ) u gir du du du d u ( ) Ne grenser Nedre: u og Øvre: u Dermed er du du d [tan u ] tan tan tan + u + u + 7
18 Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Innsatt tan tan + dd d d Vi kvitter oss med invers tangens ved hjelp av delvis integrasjon: U U d og V tan V + Vi får tan d [ tan ] d + ln tan tan [ ln( + )], du du hvor vi benttet substitusjonen u + d u du du + u u d ln u ln( + ) med 8
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 14 (12).
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () For å gi et inntrkk a integrasjonsrekkefølgens betdning er oppgaene fra asnitt løst på begge måtene Vi får forskjellige ttrkk ahengig a integrasjonsrekkefølgen
DetaljerLøsning, Trippelintegraler
Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8
DetaljerLøsning IM
Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene
DetaljerLøsning til eksamen i ingeniørmatematikk
Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk 3 78 Oppgave Vektorfeltet har komponenter og er funksjon av variable Jacobimatrisen er av type ( xy) ( xy) x y ( yx) ( yx) xy x y xy Innsatt finner vi JF ( x, y)
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 13, (16).
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel, (6) Oppgave 7 ( 67 ) Kurven rt () (, t,), t t ligger i - planet Dette gir alternativ b eller f Setter inn t som gir punktet (, ) som bare er med i alternativ
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Trond Digernes 75957 Berner Larsen 7 59 5 5 Lisa Lorenten 7 59 5 8 Vigdis Petersen 75965 ide av Vedlegg: Formelliste IF55 Matematikk ide av Oppgave Et plant
DetaljerOppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For
DetaljerLøsning IM3 15.06.2011.
Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen
DetaljerI = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet
Detaljera 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk
Detaljer5 z ds = x 2 +4y 2 4
TMA45 Matematikk 2 Vår 25 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete
DetaljerMatematikk 4, ALM304V Løsningsforslag eksamen mars da 1 er arealet av en sirkel med radius 2. F = y x = t t r = t t v = r = t t
Oppgave r( t) v( t) dt t dt, t dt, t dt t +, t +, t +. d d d a( t) v '( t) t, t, t,6 t,t dt dt dt F ma m t t Gitt en hastighetsvektor v( t) t, t, t.,6, Oppgave Greens setning: δq δ P I ( Pdx + Qdy) ( )
DetaljerBjørn Davidsen MATEMATIKK FOR INGENIØRER. Integrasjon med anvendelser
Bjørn Davidsen MATEMATIKK FOR INGENIØRER Integrasjon med anvendelser Integrasjon med anvendelser Side Innhold: FORORD INTEGRASJON DE GRUNNLEGGENDE DEFINISJONENE GRUNNLEGGENDE INTEGRASJONSREGLER 6 Generelle
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerSIF5005 MATEMATIKK 2 VÅR r5 drdθ = 1 m. zrdzdrdθ = 1 m. zrdzdrdθ =
SIF55 MAEMAIKK Å 3 Løsningsforslag Hjemmeøving 5 Oppgave. Ser at massen fordeler seg symetrisk om z-aksen, derfor vil tyngdepunktet ligge på z-aksen. Det eneste vi da trenger å regne ut er z. zδd = m π
DetaljerLøsning 1med teori, IM3 høst 2011.
Løsning med teori, IM høst 0 Oppgae a) Vi obsererer at ttrkket er bestemt og i ndersøker det først langs koordinataksene Langs - aksen er = 0 Innsatt gir dette sin( ), 0 Langs - aksen sin( ) cos( ) er
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen
DetaljerKapittel 11: Integrasjon i flere variable
.. Kurveintegraler Kapittel : Integrasjon i flere variable... Kurveintegraler. Oppgave.: a Her er fx, y, z xyz og slik at C rt t, π, t, r t r t + + t t t, fx, y, z ds t t frt r t dt,, t, t t π t dt π t
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
Detaljervære en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A
MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t
DetaljerOppgaver og fasit til kapittel 6
1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse II Øving 9
Ma23 - Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Øistein Søvik 2.3.22 Oppgaver 4.5 Evaluate the triple integrals over the indicated region. Be alert for simplifications and auspicious orders of integration 3.
DetaljerGunnar Staff Institutt for Matematiske fag Norges Teknologiske Naturvitenskapelige Universitet N 7491 Trondheim
måter å integrere på Gunnar Staff Institutt for Matematiske fag Norges Teknologiske Naturvitenskapelige Universitet N 749 Trondheim --9 Sammendrag Dette notatet er laget på initiativ fra Overstudass SIF57.
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
DetaljerSIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
DetaljerFasit til eksamen i MEK1100 høst 2006
Fasit til eksamen i MEK11 høst 26 Det er tilsammen 1 delspørsmål. Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til 1 (1 for fullstendig svar, for blank). Maksimal oppnåelig poengsum er 1. Kontroller at
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal analyse våren Maple/Matlab-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal analyse våren 2012 Maple/Matlab-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA113 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 5. Juni 19 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014
EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)
DetaljerSIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag
SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et
DetaljerLøsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005
Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved
Detaljere y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0
LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe
DetaljerLøsning IM
Løsning IM Oppgave Den retningsderiverte er D f ( a) u f ( a), når funksjonen er deriverbar i punktet u f f ( y ) ( y ) Innsatt f,, ( y, y ) Den derivertes verdi i punktet er f (,) ( ( ),( ) ) (,) (,)
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Løsningsforslag Øving 1 Kapittel 7.1: Substitusjon Teorem 1. Hvis u = g() så er f(g())g
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerSIF 5005 Matematikk 2 våren 2001
IF 55 Matematikk våren Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Diverse løsningsforslag 75 Matematikk B, mai 994 (side 77 79) 6 a) Vi finner en potensialfunksjon φ(x,
DetaljerLøsning 1 med teori, IM3 høst 2012.
Løsning med teori, IM3 høst Oppgae a) Vi obsererer at ttrkket er bestemt og i ndersøker det først langs koordinataksene Langs - aksen er Innsatt gir dette sin( ), Langs - aksen er Innsatt gir dette sin(
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
DetaljerSammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8
LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r
DetaljerOversigt [S] 12.4, 12.5, 12.7
Oversigt [S] 12.4, 12.5, 12.7 Nøgleord og begreber Repetition: Polære koordinater Lagkagestykker Koordinatskift Type II varianten August 22, opgave 1 Populære anvendelser Flyv højere... Koordinatskift
DetaljerIntegraler. John Rognes. 15. mars 2011
15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler
Detaljer1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)
1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006
Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerEksamen R2 høst 2011, løsning
Eksamen R høst 0, løsning Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene f e ) Bruker produktregelen for derivasjon, uv uv uv f e e e e ) g sin Bruker kjerneregelen på uttrykket cos der u og g u sinu Vi har
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: 11.12.2018 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter
Detaljerx=1 V = x=0 1 x x 4 dx 2 x5
TMA Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 7.. Lat oss først skissera området R som skal roterast om -aksen for å danna S.,) R Me startar med å bruka skivemetoden
Detaljery = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerØving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen
DetaljerEkstraoppgave
Ekstraoppgave 11.7.1. b) with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot,
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEksamensoppgaver og Matematikk 1B
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Samlet for SIF5005 Matematikk våren 00 Samlingen inneholder utvalgte oppgaver gitt i 7500 og 750 Matematikk B ved NTH/NTNU i tiden 993 997. Oppgaver eller punkter
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 11 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 1 desember 29. Tid for eksamen: 14:3 17:3. Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerFigur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien
DetaljerEKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk. FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: Mandag. august 2 SENSURFRIST:. september 2 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs og
DetaljerEKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:
DetaljerLsningsforslag ved Klara Hveberg Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 8 I kapittel 8 er integrasjon og integrasjonsteknikker det store tema
Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel 8 I kaittel 8 er integrasjon og integrasjonsteknikker det store temaet, og her er det mange regneogaver som gir deg anledning til a trene inn disse teknikkene.
DetaljerLøsning, Stokes setning
Ukeoppgaver, uke 4 Matematikk, tokes setning 1 Løsning, tokes setning Oppgave 1 a) b) c) F x y z x y z F x x + y y + z z 1+1+1 iden F er feltet konservativt. ( z y y ) ( x i z z z ) ( y x x x ) k i +k
DetaljerLøsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerFasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).
Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerI løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden Delvis integrasjon må brukes to ganger.
Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 45 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerEKSAMEN i MATEMATIKK 30
Eksamen i Matematikk 3 1. desember 1999 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKAMEN i MATEMATIKK 3 1 desember 1999 kl. 9 14 Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent
DetaljerTMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner
TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/
Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss
Detaljer3 Funksjoner R2 Oppgaver
3 Funksjoner R Oppgaver 3.1 Trigonometriske definisjoner... 3. Trigonometriske sammenhenger... 6 3.3 Trigonometriske likninger... 1 3.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting... 14 3.5 Omforming
DetaljerR2 Funksjoner Quiz. Test, 3 Funksjoner
Test, Funksjoner Innhold. Trigonometriske definisjoner.... Trigonometriske sammenhenger... 8. Trigonometriske likninger.... Funksjonsdrøfting....5 Omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b
DetaljerEksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07
Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
Detaljeru 4 du = 1 5 u5 + C = 1 5 (x2 +4) 5 + C u 1/2 du = 1 2 u1/2 + C = 1 2
4 Ukeoppgaver, ke 4, i Matematikk, Sbstitsjon. Fasit, Sbstitsjon. Oppgave a) Med = +4er = slik at d d = d =d. Dermed kan faktorene d i integralet erstattes med d, mens + 4 inne i parentesen erstattes med
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
DetaljerFasit til obligatorisk oppgave i MAT 100A
3. november, 000 Fasit til obligatorisk oppgave i MAT 00A Oppgave a) Grensen er et 0 0-uttrykk, og vi bruker l Hôpitals regel: ln cos π (ln ) (cos π ) ( sin π ) π b) Vi må først skrive uttrykket på eksponentiell
DetaljerOversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
DetaljerEKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 sider inklusiv forside.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematiske metoder. FAGNUMMER: JøG 0 EKSAMENSDATO: 7. desember 003 SENSURFRIST: 7. januar 004. KLASSE: HIS 003/004. TID: kl. 8.00 3.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Først en kommentar. I læreboka møter man kjeglesnitt på standardform, som ellipser x
DetaljerEksamen i V139A Matematikk 30
Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 4. juni 22 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærere: Hans Petter Hornæs. Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, Formelsamling. Oppgavesettet
DetaljerOppgave 1. f(2x ) = f(0,40) = 0,60 ln(1,40) + 0,40 ln(0,60) 0,0024 < 0
Løsning MET 80 Matematikk for siviløkonomer Dato 0. mai 07 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi lar p = 0,60 og q = 0,40, og skriver funksjonen som f() = p ln( + ) + q ln( ) for å forenkle skrivemåten. Funksjonen
DetaljerEksempelsett R2, 2008
Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx
DetaljerPotensrekker. Binomialrekker
Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
Detaljer