x 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3

Transkript

1 Obligatorisk om funksjonar og deriverte Oppgåve f 3 f = ±, =R Funksjonen f er ein parabel med botnpunkt på (,y) = (0,3) og definisjonsmengda er difor heile tallinja. Sidan f = f er funksjonen symmeterisk om andre-aksen og er difor toeintydig. Det er to -verdiar for kvar funksjonsverdi. 3 3 =± [0,, 0] Delar me definisjonsområdet i like deler om = 0 vert funksjonen strengt veksande (minkande) og er ein-eintydig. Då kan me finne den inverse. [0, y 3 = y 3 = y 3 f y = y 3 Den inverse funksjonen kan uttrykkst med som argument f = 3, [3,. b)funksjonen g er ein strengt veksande eksponentialfunksjon med heile tallinja som definisjonsmengde. Funksjonen er difor ein-eintydig. Det er berre ein -verdi til kvar funksjonsverdi. g =e g =, =R e =e Den inverse funksjonen kan uttrykkst med som argument g = ln, 0,. y=e ln y= = ln y f y = ln y

2 c) Sidan er både mindre enn og større enn e på intervallet [ 3,0 ] og dei begge er kontinuerlege funksjonar må grafane krysse i intervallet. I kryssingpunktet er e =. e =, [ 3,3] e 3 = e 3 3 = e 0 = 0 = =3 e 0 =0 e 0 Dette er evivalent med teoremet som seier at når ein kontinuerleg funksjon e er negativ i eit punkt og positivt i eit anna punkt må funksjonen ha eit nullpunkt i intervallet mellom punkta. Dvs krysse -aksen for å nå opp (ned) til det positve (negative) punktet. Det same gjeld for intervallet [0,3]. Teiknar ein grafen er det ikkje lett å sjå kva som skjer rundt = Oppgåve a) Me brukar produktregelen eller brøkregelen for å derivere funksjonen 3 f = = 3 f ' = 3 3 f ' = 8 b) Denne gongen kunne me brukt logaritmisk derivasjon for å gjere rekninga enklare, men det er alltid ein stor fordel å forkorte eit uttrykk før ein begynner. Då kan me bruke kjerneregelen. f ' = df = df du du = f ' u u ' g = = = 3 9 g ' =[ 3 9 ]' = [u 9 ]' u' g ' =9 3 8 =9 3 8 c) Igjen er det enklast å forenkle uttrykket før me deriverer ein potensfunksjon. h = h' = 9 5 = 9 5 9

3 d) Dette er ein sinusfunksjon som me deriverer med ein kjerne som er ein potensfunksjon. k =sin 3 3 =sin k ' =[sin 3 ]' = [sin u]' u ' k ' =cosu 3 3 = 3 3 cos 3 Oppgåve 3 a) Den deriverte av funksjonen e er gongar seg sjølv, dette gir ein enkel formel for høgare ordens deriverte. f =e f ' =[e ]' = [e u ]' u' f ' =e u = e = f f ' ' =[ f ]'= f ' = f = f f ' ' ' = 3 e = 3 f f n = n e = n f b) Me har alt funne eit uttrykk for den 0-de deriverte, bytar med ut talet med ein konstant a får me akkurat same mønster som i fyrste oppgåva. f 0 = 0 e = 0 f g =e a g ' =e u a=a e a =a g g n =a n g =a n e a c) Me skal derivere likninga for ein sirkel med radius og sentrum, y =, med omsyn på. Dette vert kalla implisitt derivasjon (derivasjon utan fyrst å finne y= f ). y y =0 y dy dy =0 y dy = dy = y dy = y Me finn at stigningstalet til f og den inverse funksjonen f er omvendt proprosjonale. Dette gjeld for alle funksjonar. dy = f ' og dy = f ' = f ' På toppen av sirkelen er stigningstalet til y lik 0. Det er i punkta (,0) og (,). På kvar side er stigningstalet til lik null. Det er i punkta (0,) og (,).

4 y y =0 dy =0 y =0 y y =0 = y y =0 = y y=0 = y y =0, y {,0,, } Sidan (,y) er symmetriske i formelen vil utrekninga for /dy vere den same berre at og y byter plass. Geometrisk er dette å byte om på og y-aksen. d) y y =0 dy =0 y =0 y y =0 y= =0 y= =0 y= =0, y { 0,,, } f = = f ' = = = f =± ± 0 lim f = lim = 0 = = Funksjonen har nullpunkt f =0 når =0 eller når teljaren er null. Sidan nemnaren er alltid positiv når er forteiknet gitt av. Funksjonen går mot når frå både høgre og venstre sida, = - er difor ei vertikal asymptote til funksjonen. Funksjonen nærmar seg null frå oversida når og mot null frå nedsida når. y=0 er difor ei horisontal asymptote. lim lim f = lim f =lim = lim =lim = = = 0 = 0 Funksjonen har berre ei skjæring med aksane i origo sidan forteiknet til funksjonen er gitt av. Kandidatar til ekstremalpunkt er gitt av f ' =0 =0 eller =. Sidan f ' skiftar forteikn frå positiv til negativ rundt nullpunktet = er dette eit toppunkt. Den deriverte er ikkje definert for = men dette er ikkje eit botnpunkt i vanleg forstand sidan funksjonen heller ikkje er definert i punktet, dvs f =. Det er difor ingen lokale eller globale botnpunkt og eit lokalt og globalt toppunkt, y =,. = = =0 f f '

5 Me konkluderer me at definisjonområdet til funksjonen er D f =R { }=,, og verdimengda til funksjonen er V f ={y y }. og asymptoter og y e) Strengen på meter er bøygd i ein L. Avstanden mellom endepunkta vert hypotenusen i ein rettvinkla trekant. Den horisontale delen av L har lengde og den vertikale delen av L- har lengde (-). Lengda av hypotenusen vert avstanden mellom endepunkta a(). Den minste avstanden er gitt når a() har eit minimumspunkt eller a'() = 0. Alternativet er å finne det minste kvadratet k =a a berre for å sleppe å derivere ei kvadratrot. a = k =a a dk = = = dk =0 =0 = a = =.0 L a,