Derivasjon. Kapittel Fart veg tid. 3.2 Kjerneregelen. Finn farten v(t) til ein bil når tilbakelagt strekning s(t) er

Transkript

1 Kapittel 3 Derivasjon 3.1 Fart veg tid Finn farten v(t) til ein bil når tilbakelagt strekning s(t) er a) s(t) = 2t + 3 b) s(t) = 1 2 t + 4 c) s(t) = t2 + 2t Ein bil starter å køyre. Etter t sekund har bilen køyrt s(t) = 2t 2 meter. d) Finn farten etter 3s. e) Kor lang tid tar det før farten er 20 m/s? f) Finn akselerasjonen a(t) = v (t). Kva er akselerasjonen etter 3s? Vi kastar ein stein rett opp. Etter t sekund er steinen s(t) = 20t 5t 2 meter frå utgangspunktet. g) Finn farten etter 1) 0 s 2) 2 s h) Finn akselerasjonen a(t) = s (t) Ein skiløper renn utfor ein bakke. Etter t sekund (frå starten ved toppen av bakken) har skiløparen tilbakelagt strekninga s(t) = 6t + 0, 5t 2. i) Finn farten etter 1) 3 s 2) 5 s j) Bakken er 80 m lang. Kor stor er farten ved botn av bakken? k) Finn akselerasjonen. 3.2 Kjerneregelen Finn f () ved hjelp av kjerneregelen. a) f () = (3 + 1) 2 b) f () = (5 1) 2 c) f () = (2 1) 3 d) f () = (1 ) 3 e) f () = (2 + 1) 10 f) f () = (1 3) 12 g) f () = ( ) 2 h) f () = (1 + ) 3 i) f () = ( ) 6 j) f () = k) f () = 2 4 l) f () = 1 + (1 + ) 2 m) f () = 2 +

2 8 Oppgåver Derivasjon Repetisjonskurs Logaritmer og eksponentialfunksjonen Finn f (). a) f () = 2 + ln 3 b) f () = ln c) f () = ln(k) d) f () = ln e) f () = 2 + ln 1 2 f) f () = 2e g) f () = e h) f () = e 2 i) f () = e 3 j) f () = 1,5 k) f () = 0,5 l) f () = e 2+1 m) f () = e 2 1 n) f () = e o) f () = 2 + ln + e 2 p) f () = 2 2, ,7 q) f () = ,7 3.4 Brøken 1 n Finn f (). a) f () = 1 b) f () = + 2 c) f () = d) f () = e) f () = 3 2 f) f () = g) f () = 1 ( 1) h) f () = 1 ( + 1) 2 i) f () = j) f () = Produktregelen Finn f (). a) f () = 2 e b) f () = 2 ln c) f () = (1 )e d) f () = e e) f () = 2 e 2 f) f () = ln(2) g) f () = e ln 3.6 Brøkfunksjonar Finn f (). a) f () = + 1 b) f () = 1 c) f () = 1 d) f () = e) f () = 1 2 f) f () = g) f () = h) f () = i) f () = e j) f () = ln

3 9 Oppgåver Derivasjon Repetisjonskurs 2011 k) f () = ln e l) f () = e3 m) f () = ln + ln 3.7 Utseende til ein graf Undersøk for kvar funksjon om grafen til f () har topp- eller botnpunkt, og vis i kva intervall grafe veks eller avtar (monotonieigenskaper). Teikn ei skisse av grafen. a) f () = b) f () = c) f () = ( 1) ln d) f () = ( 1) e 3.8 Såpeboblar Henta frå cosinus 2m, utgitt av J.W.Cappelens Forlag AS, 2001 Lille Vigleik blåser såpebobler. Vi forutsetter at såpeboblene er kuleformet, slik at volumet V er gitt ved V = 4 3 πr3 der radien r er en voksende funksjon av tiden t. Bruk kjerneregelen til å vise at V (t) = 4πr 2 r (t) Tenk deg at Vigleik blåser luft med en fart på 10 cm 3 /s, slik at vekstfarten til V er 10 cm 3 /s. Finn vekstfarten til r når r = 1 cm og når r = 5 cm. 3.9 Bakteriekultur Henta frå Tala talar, utgitt av Universitetsforlaget, På eit gitt tidspunkt er det i ein bakteriekultur 15 milliardar bakteriar. Det kjem noko gift opp i kulturen, og ein kan rekne at talet på bakteriar t timar etter dette er gitt ved f (t) = 0, 024t 3 + 0, 36t milliardar. Denne funksjonen gjeld i tidsrommet frå ein time til 17 timar etter at gifta kom opp i kulturen, det vil seie for t [1, 17]. a) Kor stor er tilveksten av bakteriar etter 3 timar? Etter 8 timar? Og etter 12 timar? b) Når er det flest bakteriar i kulturen? c) Når er tilveksten av bakteriar størst? d) Kor lang tid tar det før talet på bakteriar er redusert til 5 milliardar? 3.10 Geometri Henta frå Tala talar, utgitt av Universitetsforlaget, Gavlen i eit hus har form som ein likebeint trekant med høgd 6 m og grunnlinje 10 m. Vi skal setje inn eit rektangulært vindauge i gavlen, og ønskjer at vindauget skal ha størst mogleg flateinnhald.

4 10 Oppgåver Derivasjon Repetisjonskurs 2011 Figuren viser gavlen (i svart) og vindauget (i raudt), og alle nødvendige mål. Oppgåva vert altså: finn den verdien av som gjev størst mogleg flateinnhald av vindauget. 6 m y 10 m

5 Kapittel 3 Derivasjon 3.1 Fart veg tid a) v(t) = 2 b) v(t) = 1 2 c) v(t) = 2t + 2 d) v(t) = 4t, altså er v(3) = 12 m/s. e) v(t) = 20 4t = 20 t = 5 s f) a(t) = 4. Den er konstant lik 4 (m/s 2 ) g) v(t) = 20 10t v(0) = 20 v(2) = 0 (Steinen har altså nådd toppen av kulebana etter 2 sekund.) h) a(t) = 10 m/s 2 i) v(t) = 6 + t v(3) = 9 v(5) = 11. j) Finn først tida det tar å nå botnen av bakken: s(t) = 80 6t + 0, 5t 2 = 80 t = 8 som gjev at v(8) = 14 m/s er farten i botnen av bakken. t = 20 er også ei løysing av likninga, men denne kan vi ikkje bruke! k) a(t) = v (t) = 1 m/s Kjerneregelen a) f () = 6(3 + 1) b) f () = 10(5 1) c) f () = 6(2 1) 2 d) f () = 3(1 ) 2 e) f () = 20(2 + 1) 9 f) f () = 36(1 3) 11 g) f () = 12( ) h) f () = 3(1 + ) 2 2 i) f () = 6( ) 5 (1 + 2) j) f () = 2 4 k) f () = l) f () = (1 + ) 2 m) f 1 () = Logaritmer og eksponentialfunksjonen 7

6 8 Oppgåver Derivasjon Repetisjonskurs 2011 a) f () = b) f () = c) f () = 1 d) f () = 1 1 e) f () = f) f () = 2e g) f () = e h) f () = 2e 2 i) f () = 3e 3 j) f () = 1, 5 0,5 k) f () = 0, 5 0,5 l) f () = 2e 2+1 m) f () = 2e 2 1 n) f () = 1 2 e o) f () = e2 p) f () = 4, 4 1,2 + 8, 1 1,7 q) f () = , 74, Brøken 1 n Finn f (). a) f () = 1 2 e) f () = h) f 2 () = ( + 1) 3 b) f () = c) f () = d) f () = f) f () = g) f () = 1 2 i) f () = ( 3 1) 2 j) f 1 () = 2( + 1) Produktregelen a) f () = 2e + 2 e b) f () = 2 ln + 2 c) f () = e + (1 )e d) f () = e e e) f () = 2e e 2 f) f () = ln(2) + 1 g) f () = e ln + e 3.6 Brøkfunksjonar a) f () = 1 2 b) f () = 1 2 c) f 1 () = ( 1) 2 d) f () = e) f () = (2 + 1) 2 1 ( 2) 2 f) f () = ( 5) 2 g) f 3 () = ( 2) 2 h) f () = 3 (1 2) 2 i) f () = e e e 2 j) f () = ln 1 (ln ) 2 k) f () = 1 ln e l) f () = e3 (3 1) 2 m) f () = 2 ln 2 (ln ) 2

7 9 Oppgåver Derivasjon Repetisjonskurs Utseende til ein graf a) f 2 () = ( + 2) 2 har ingen nullpunkt, altså har grafen ikkje topp- eller botnpunkt. f () er alltid negativ, difor er grafen avtar grafen alltid. b) f () = 10 ( 2 + 5) 2 har eitt nullpunkt i = 0. f () er positiv for < 0 og negativ for > 0, altså har grafen eit toppunkt i = 0. c) f () = ln har eitt nullpunkt i = 1 (det er ikkje mogleg å finne ved symbolsk rekning; du kan berre finne det ved «prøving og feiling»). Den deriverte er negativ for < 1 og positiv for > 1, så det er eit botnpunkt. d) f () = e har eitt nullpunkt (i = 0), og er negativ for < 0 og positiv for > 0. Altså er det eit botnpunkt. 3.8 Såpeboblar Dersom r er ein funksjon av t kan vi setje V(t) = 4 3 πr(t)3, og den deriverte vert V (t) = 4πr 2 r (t) Vi veit at V (t) = 10, og då vert r (t) = V (t) 4πr 2 = 10 4πr 2 Vi får då r (1) = 10/(4π1 2 ) = 0, 80 (cm/s) og r (5) = 0, 03 cm/s. 3.9 Bakteriekultur a) Tilveksten er bestemt av den deriverte: f (t) = 0, 072t 2 + 0, 72t. Vi får då f (3) 1, 512, f (8) 1, 152 og f (12) 1, 728. b) Det er flest bakteriar når tilveksten er 0 (etter det vert tilveksten negativ, og det vert færre bakteriar), altså når f (t) = 0. Vi løyser likninga: 0, 072t 2 + 0, 72t = 0 0, 72t(0, 1t 1) = 0 t 1 = 0 t 2 = 10 Ut frå føresetnadane i problemformuleringa kan vi berre ha t mellom 1 og 17, så t 2 = 10 er einaste løysing. NB! Vi kan også argumentere for at det er færrast bakterier når tilveksten er lik 0. Vi manglar difor eitt viktig poeng for at argumentasjonen ovanfor er rett. Kva poeng er det? c) Tilveksten er størst når den deriverte av tilveksten er lik 0, altså når f (t) = 0, 144t + 0, 72 = 0, eller når t = 5. Dette er også ein «lovleg» verdi for t, så vi kan bruke den. d) No må vi løyse likninga 0, 024t 3 + 0, 36t milliardar = 0. Dette kan vi (innanfor vårt pensum) ikkje gjere for hand; vi må bruke kalkulator / datamaskin. Teikn til dømes ein graf? Uansett korleis du gjer det får du t 16, 53 timar, altså litt over 16 timar og 31 minutt. «Seksten og ein halv time» er presist nok svar.

8 10 Oppgåver Derivasjon Repetisjonskurs Geometri Først må vi finne ein samanheng mellom og y. Det kan vi gjere ved å teikne inn nokre hjelpelinjer og -bokstavar i figuren: C 6 m y E A 10 m D B Ut frå teorien om formlike trekantar ser vi no at DE AC = DB, eller med og y: AB y 5 0, 5 = 6 5 y = 6 0, 6. Arealet av vindauga er A() = y = (6 0, 6) = 6 0, 6 2, og vi kan no derivere A() og setje denne lik 0 for å finne størst areal: A () = 6 1, 2 og A () = 0 = 5 (og y = 3)