EKSAMEN I ST2101 STOKASTISK MODELLERING OG SIMULERING Onsdag 1. juni 2005 Tid: 09:00 14:00
|
|
- Håvard Øverland
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland EKSAMEN I ST2101 STOKASTISK MODELLERING OG SIMULERING Onsdag 1. juni 2005 Tid: 09:00 14:00 Hjelpemiddel: Kalkulator HP30S Statistiske tabeller og formler, Tapir forlag. K. Rottman: Matematisk formelsamling. Eitt gult ark (A5 med stempel) med eigne formlar og notatar. Sensur er ferdig: 22. juni Oppgave 1 Tilstanden til ei maskin kan ved eitkvart tidspunkt t verte klassifisert som 0: fungerer ok 1: fungerer delvis 2: fungerer ikkje La X(t) {0, 1, 2} vere tilstanden til maskina ved tidspunkt t og føreset at {X(t), t 0} er ein kontinuerleg-tid markovprosess slik at P{X(t + h) = j X(t) = i} = q ij h + o(h) for i j. Føreset vidare at overgangsintensitetane (pr. månad) er gitt som q 01 = 1, q 10 = 10, q 12 = 1, q 20 = 3 og q 21 = q 02 = 0.
2 ST2101 Stokastisk modellering og simulering Side 2 av 6 Overgangen frå tilstand 2 til tilstand 0 inneber at maskina vert bytta ut med ei nyinnkjøpt maskin, medan overgangen frå tilstand 1 til tilstand 0 skjer ved at den gamle maskina vert reparert. a) Teikn eit skjema over markovprosessen {X(t), t 0}. Gitt at maskina fungerer ok ved tidspunkt 0, kva er sannsynet for at den vil fungere ok i heile intervallet [0, 2]? Gitt at maskina har fungert delvis i heile tidsintervallet [0, 1], kva er sannsynet for at den framleis vil fungere delvis i heile intervallet [1, 2]? b) Ein markovprosess kan som kjend verte formulert (parameterisert) på to ulike måtar, der den eine er nytta i teksten over. Forklar den alternative måten å formulere ein markovprosess på og gi parameterverdiane for denne parameteriseringa. Ta utgangspunkt i modellformuleringa nytta i oppgåveteksten over og finn ved presis rekning (dvs. ved å nytte o(h)-notasjon) P 12 = lim h 0 P{X(t + h) = 2 X(t) = 1, X(t + h) 1}. c) Skriv ned dei av Kolmogorov sine differensiallikningar du treng for å finne P 00 (t), P 01 (t) og P 02 (t). [Du treng ikkje løyse likningane!] Frå differensiallikningane, finn eit likningssystem for grensefordelinga til X(t). Vis at grensefordelinga blir π 0 = 33 37, π 1 = 3 37 og π 2 = Når maskina fungerer ok gir den ei inntekt på kr ,- pr. månad. Medan maskina fungerer delvis vert denne inntekta redusert til kr ,- pr. månad, og i tillegg kjem det reparasjonskostnadar på kr ,- pr. månad. Ei maskin som ikkje fungerer gir inga inntekt. Å kjøpe ei ny maskin kostar kr ,-. d) I lengda, kor mange månadar vil det i gjennomsnitt gå mellom kvar gong ei maskin vert bytta ut med ei ny? I lengda, kva vert forventa nettoinntekt frå maskina pr. månad?
3 ST2101 Stokastisk modellering og simulering Side 3 av 6 Oppgave 2 Vi skal i denne oppgåva sjå på eit køsystem med kun ei handsamingseining. Kundar kan kun kome til køsystemet eller vere ferdighandsama i diskrete tidspunkt n = 1, 2,.... Vi let X n vere tal på kundar i køsystemet (inkludert den som eventuelt er under handsaming) ved tidspunkt n. Vidare let vi køsystemet vere tomt ved tidspunkt 0, dvs. X 0 = 0. Dermed har vi at {X n } n=0 er ein diskret-tid stokastisk prosess. Vi skal gå ut frå at for kvart tidspunkt n = 1, 2,... er det eit sannsyn p (0, 1) for at ein ny kunde kjem inn i køsystemet, medan det med sannsyn 1 p ikkje kjem nokon ny kunde. Merk spesielt at det aldri kan kome meir enn ein kunde på same tidspunkt. Når ein kunde kjem går han rett til handsaming om ingen andre er i køsystemet når han kjem. Om det allereie er personar i køsystemet når han kjem, vil han stille seg bakerst i køa for å vente på tur. Vi skal gå ut frå at handsamingstida for ulike kundar er uavhengige av kvarandre (og uavhengig av prosessen kundane kjem i samsvar med) og at handsamingstida er geometrisk fordelt med forventning 1/q, der q (0, 1). Om vil let Z vere handsamingstida for ein tilfeldig kunde har vi dermed at P{Z = i} = q(1 q) i 1 for i = 1, 2,.... (1) Ei handsamingstid vil altså alltid vere minst ei tidseining. a) Nytt (1) til å vise at sannsynsfordelinga for handsamingstidene er utan hugs, dvs. vis at P{Z = i Z > k} = P{Z = i k} for i = k + 1, k + 2,.... b) Forklar kvifor {X n } n=0 vert ei markovkjede. Vis/forklar at overgangssannsyna for denne markovkjeda er P 0,0 = 1 p, P 0,1 = p, P i,i 1 = q(1 p), P i,i+1 = (1 q)p og P i,i = 1 p q +2pq for i = 1, 2,... og at alle dei øvrige overgangssannsyna er lik 0. c) Kan du intuitivt sjå eit krav parameterverdiane p og q må oppfylle for at markovkjeda {X n } n=0 skal ha ei grensefordeling? Forklar også kva som vil skje når n dersom dette kravet ikkje er oppfylt. Forklar kvifor X n nødvendigvis må vere tidsreversibel.
4 ST2101 Stokastisk modellering og simulering Side 4 av 6 I resten av oppgåva skal vi gå ut frå at verdiane til p og q er slik at markovkjeda har ei eintydig grensefordeling og vi skildrar (som vanleg) denne grensefordelinga ved π i, i = 0, 1,.... d) Vis at grensefordelinga for X n er π 0 = 1 p q og π i = ( ) i ( p(1 q) 1 1 p ) q(1 p) 1 q q e) Finn gjennomsnittleg tal på personar i køsystemet i lengda. for i = 1, 2,... Finn også gjennomsittleg tid ein person ventar i kø (handsamingstida ikkje inkludert). I det siste punktet i denne oppgåva skal vi ikkje lenger gå ut frå at handsamingstidene er geometrisk fordelt. Vi skal i staden gå ut frå at handsamingstidene har ein kumulativ fordelingsfunksjon G med forventning og varians lik ν og σ 2. Vi skal framleis gå ut frå at handsamingstidene er uavhengige av kvarandre og uavhengig av prosessen kundane kjem i samsvar med. f) Utlei ein kostidentitet som skildrar forholdet mellom gjennomsnittleg arbeid som er igjen i systemet, V, og gjennomsnittleg tid ein kunde står i kø. Vink: Nytt betalingsregelen at kvar kunde ved kvart (diskrete) tidspunkt betalar y kroner, der y er handsamingstida som står igjen for kunden. Utlei også ein annan samanheng mellom V og W Q. Finn W Q uttrykt ved p, ν og σ 2.
5 ST2101 Stokastisk modellering og simulering Side 5 av 6 Formelsamling: Setningane om totalt sannsyn og dobbelforventing La B 1, B 2,... vere parvise disjunkte hendingar med P ( i=1 B i) = 1. Då gjeld P (A C) = E[X C] = P (A B i C)P (B i C), i=1 E[X B i C]P (B i C). i=1 Markovkjeder i diskret tid Chapman-Kolmogorov likningane P (m+n) ij = k=0 P (m) ik P (n) kj. For ei irredusibel og ergodisk markovkjede eksisterer π j = lim n Pij n π i P ij og π i = 1. π j = i i og er gjeve av likningane For transiente tilstandar i, j og k er forventa tid i tilstand j gjeve start i tilstand i, s ij, s ij = δ ij + k P ik s kj. For transiente tilstandar i og j er sannsynet for ein eller annan gong å returnere til tilstand j gjeve start i tilstand i, f ij, f ij = (s ij δ ij )/s jj. Poissonprosess Ventetid til n-te hending (n-te arrival time), S n, har sannsynstettleik f Sn (t) = λn t n 1 (n 1)! e λt for t 0. Gjeve talet på hendingar N(t) = n, så har S 1, S 2,..., S n simultantettleik f S1,S 2,...,S n N(t)(s 1, s 2,..., s n n) = n! t n for 0 < s 1 < s 2 <... < s n t.
6 ST2101 Stokastisk modellering og simulering Side 6 av 6 Markovprosesser i kontinuerlig tid Chapman-Kolmogorov likningane Forover Kolmogorov-likningar P ij (t + s) = P ik (t)p kj (s). k=0 P ij(t) = q kj P ik (t) v j P ij (t). k j Bakover Kolmogorov-likningar P ij(t) = q ik P kj (t) v i P ij (t). k i Hvis P j = lim t P ij (t) eksisterer, er P j gjeve av v j P j = k j q kj P k og P j = 1. j Spesielt for fødsels- og dødsprosessar P 0 = 1 k=0 θ k og P k = θ k P 0 for k = 1, 2,... der θ 0 = 1 og θ k = λ 0λ 1... λ k 1 µ 1 µ 2... µ k for k = 1, 2,... Kø-teori For gjennomsnittleg tal på kundar i kø, L, gjennomsnittleg tid pr. kunde i systemet, W, handsamingstid, S, og gjennomsnittleg gjenverande arbeid i systemet, V, gjeld L = λ a W. L q = λ a W q. V = λ a E[SW q ] + λ a E[S 2 ]/2.
EKSAMEN I ST2101 STOKASTISK MODELLERING OG SIMULERING Onsdag 1. juni 2005 Tid: 09:00 14:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73 59 35 38 EKSAMEN I ST2101 STOKASTISK MODELLERING OG SIMULERING
DetaljerEKSAMEN I EMNE TMA4265/SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Onsdag 10. august 2005 Tid: 09:00 13:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73 59 35 38 EKSAMEN I EMNE TMA4265/SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER
DetaljerTMA4265 Stokastiske prosessar
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: Øyvind Bakke Telefon: 73 59 81 26, 990 41 673 TMA4265 Stokastiske prosessar Onsdag
DetaljerEKSAMEN I EMNE SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Onsdag 31. juli 2002 Tid: 09:00 14:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 73 59 35 32 EKSAMEN I EMNE SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Onsdag
DetaljerTMA4265 Stokastiske prosessar
Noregs teknisk-naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: Øyvind Bakke Telefon: 73 59 81 26, 990 41 673 TMA4265 Stokastiske prosessar Mondag
DetaljerEKSAMEN I EMNE SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Lørdag 16. august 2003 Tid: 09:00 14:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73 59 35 38/73 94 27 25 EKSAMEN I EMNE SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER
DetaljerTMA4265 Stokastiske prosesser
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Øyvind Bakke Telefon: 73 59 81 26, 990 41 673 TMA4265 Stokastiske prosesser
DetaljerTMA4265 Stokastiske prosesser
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Øyvind Bakke Telefon: 73 59 81 26, 990 41 673 TMA4265 Stokastiske prosesser
DetaljerTMA4265 Stokastiske prosesser ST2101 Stokastisk simulering og modellering
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Øyvind Bakke Telefon: 73 9 8 26, 99 4 673 TMA426 Stokastiske prosesser ST2 Stokastisk
DetaljerSIF5072 Stokastiske prosesser Side 2 av 7 Gitt at en pasient er symptomfri ved tidspunkt t, hva er sannsynligheten for at han er symptomfri i hele per
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 73 59 35 20 EKSAMEN I FAG SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Tirsdag 22. mai
DetaljerEksamensoppgave i TMA4265 Stokastiske prosesser
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4265 Stokastiske prosesser Faglig kontakt under eksamen: Andrea Riebler Tlf: 4568 9592 Eksamensdato: 16. desember 2013 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerST2101 Stokastisk modellering og simulering
ST20 Stokastisk modellering og Norges teknisk-naturvitenskaelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag - Eksamen juni 2005 Ogave a) 0 0 2 La T 0 være tid da tilstand 0 forlates første
DetaljerEksamensoppgave i TMA4265 Stokastiske Prosesser
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4265 Stokastiske Prosesser Faglig kontakt under eksamen: Jo Eidsvik Tlf: 901 27 472 Eksamensdato: Desember 1, 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerEKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK Tysdag 21. mai 2013 Tid: 09:00 13:00 (Korrigert )
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73593538/48221896 Ola Diserud 93218823 EKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK
DetaljerEKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKJEMODELLAR Fredag 7. desember 2012 Tid: 09:00 13:00
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: John Tyssedal 73593534/41645376 EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKJEMODELLAR Fredag 7.
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4245 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (frå til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatne
DetaljerEKSAMEN I EMNE TMA4245 STATISTIKK
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: John Tyssedal 73 59 35 34/ 41 64 53 76 Jo Eidsvik 73 59 01 53/ 90 12 74 72
DetaljerEksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Fagleg kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: august 2015 Eksamenstid (frå til): Hjelpemiddelkode/Tillatne hjelpemiddel:
DetaljerEKSAMEN I EMNE TMA4245 STATISTIKK
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: John Tyssedal 73 59 35 34/ 41 64 53 76 Jo Eidsvik 73 59 01 53/ 90 12 74 72 EKSAMEN
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (frå til): 09.00-13.00
DetaljerEksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Fagleg kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (frå til): 09:00
DetaljerEksamensoppgåve i ST0103 Brukarkurs i statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST0103 Brukarkurs i statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (frå til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatne
DetaljerForelesing 27 Oppsummering. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Forelesing 27 Oppsummering Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 18.04.2018 I dag Lineær regresjon (sjekk av modellantagelser) Praktisk informasjon Andre statistikk-kurs Oversikt over
DetaljerFORELESNING I STK1130
FORELESNING I STK30 STEFFEN GRØNNEBERG (STEFFENG@MATHUIONO) Sammendrag Det anbefales at man TEX er den kommende obligen, og her er et lite eksempel på relevant TEX-kode TEX er uten tvil det fremtidige
DetaljerEKSAMEN I TMA4245 Statistikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Turid Follestad (98 06 68 80/73 59 35 37) Hugo Hammer (45 21 01 84/73 59 77 74) Eirik
Detaljer6.2 Normalfordeling. Høyde kvinner og menn. 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling. Kapittel 6
3 6.2 Normalfordeling Kapittel 6 Noen kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4245 V2007: Eirik Mo Normalfordeling: Sannsynlighetstettheten til en normalfordelt stokastisk variabel, X, med forventning
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: august 2015 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
Detaljer6.5 Normalapproksimasjon til. binomisk fordeling
....3.4.5..5..5..5...4.6.8....4.6.8....3.4..5..5 Kaittel 6: Kontinuerlige sannsynsfordelingar TMA445 Statistikk Ka 6.5-6.8. 6.5: Normal aroksimasjon til binomisk fordeling, 6.6-6.8: Eksonensialfordeling,
DetaljerEKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag 7. desember 2012 Tid: 09:00 13:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: John Tyssedal 73593534/41645376 EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag
DetaljerEksamensoppgåve i ST0103 Brukarkurs i statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST0103 Brukarkurs i statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Jarle Tufto Tlf: 99 70 55 19 Eksamensdato: 3. desember 2016 Eksamenstid (frå til): 09:00-13:00
DetaljerEksamensoppgåve i Løsningsskisse TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i Løsningsskisse TMA4245 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 464 32 506, b 962 09 710 Eksamensdato: 23
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK Lørdag 10. august 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Fagleg kontakt under eksamen: John Tyssedal 41 64 53 76 EKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK Lørdag 10. august
DetaljerDerivasjon. Kapittel 3. 3.1 Fart veg tid. 3.2 Kjerneregelen. Finn farten v(t) til ein bil når tilbakelagt strekning s(t) er
Kapittel 3 Derivasjon 3.1 Fart veg tid Finn farten v(t) til ein bil når tilbakelagt strekning s(t) er a) s(t) = 2t + 3 b) s(t) = 1 2 t + 4 c) s(t) = t2 + 2t Ein bil starter å køyre. Etter t sekund har
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform Onsdag Normal Onsdag Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Student-T (Kap
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA440 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Jo Eidsvik og Arild Brandrud Næss Tlf: 90 1 74 7 og 99 53 8 94 Eksamensdato: 9. desember 013 Eksamenstid
DetaljerMatematikk 1, 4MX1 1-7E1
Skriftlig eksamen i Matematikk 1, 4MX1 1-7E1 ORDINÆR EKSAMEN 24.05.2011. Sensur faller innen 16.06.2011. BOKMÅL. Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter sensurfrist, dvs. 17.06.2011
DetaljerOPPGÅVE 1. a) Deriver funksjonane: 2) 2. b) Bestem integrala: c) Løys likninga ved rekning: Ein halvsirkel med radius r og sentrum i origo er gitt ved
OPPGÅVE 1 a) Deriver funksjonane: 1) f( x) = 3tan( x) ) g( x) = x sinx b) Bestem integrala: 1) x cos x dx x ) x + 3 dx c) Løys likninga ved rekning: sin x+ 3cosx = x 0, π d) Ein halvsirkel med radius r
DetaljerSIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aper
Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 6 Faglg kontakt under eksamen: Bo Lndqvst 73 59 35 20 EKSAMEN I FAG SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Mandag 13. august 2001 Td:
DetaljerKontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.
Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom:. f(x 0 for alle x R 2. f(xdx = 3. P (a
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerEKSAMEN I TMA4240 Statistikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Henning Omre (909 37848) Mette Langaas (988 47649) EKSAMEN I TMA4240 Statistikk 18.
DetaljerEksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009
Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte:
DetaljerEksamen 27.11.2013. MAT1010 Matematikk 2T-Y. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 27.11.2013 MAT1010 Matematikk 2T-Y Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: Andre opplysningar:
DetaljerEksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 1.05.2011 REA028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del 2 skal leverast
DetaljerEksamen 03.12.2009. REA3024 Matematikk R2
Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga:
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE STA-1001.
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1001. Dato: Mandag 28. mai 2018. Klokkeslett: 09-13. Sted: Tillatte hjelpemidler: Administrasjonsbygget B154/AUDMAX. «Tabeller og
DetaljerEksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi. Oppgåve 1: Ståande svingningar
Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitskaplege fakultet Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi 15. Desember 2006, kl 0900-1400 Tillatte hjelpemiddel: Kalkulator og matematisk formelsamling Oppgåve
DetaljerNTNU Fakultet for lærer- og tolkeutdanning
NTNU Fakultet for lærer- og tolkeutdanning Emnekode(r): LGU52003 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10), emne 2 Studiepoeng: 15 Eksamensdato: 23. mai 2016 Varighet/Timer: 6 Målform: Nynorsk Kontaktperson/faglærer:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1120 Statistiske metoder og dataanalyse 2. Eksamensdag: Tirsdag 2. juni 2009. Tid for eksamen: 14.30 17.30. Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 29. november 1993. Tid for eksamen: 09.00 15.00. Oppgavesettet
DetaljerEksamensoppgave i TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEksamen 27.11.2014. REA3022 Matematikk R1. http://eksamensarkiv.net/ Nynorsk/Bokmål
Eksamen 7.11.014 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!
DetaljerEksamen 23.11.2011. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 23.11.2011 MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik
DetaljerEksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 19.05.010 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: 5 timar: Del 1 skal
DetaljerTMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger
TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Kontinuerlig uniform fordeling f() = B A, A B. En kontinuerlig størrelse (vekt, lengde, tid), som aldri kan bli mindre enn
DetaljerEksamen 02.12.2009. REA3026 Matematikk S1
Eksamen 02.12.2009 REA3026 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga:
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 Ei bedrift produserer ein type medisin i pulverform Medisinen seljast på flasker
DetaljerVurderingsrettleiing 2012
Vurderingsrettleiing 2012 ENG0012 Engelsk 10.trinn Til sentralt gitt skriftleg eksamen Nynorsk ENG0012 Engelsk 10. trinn Vurderingsrettleiing til sentralt gitt skriftleg eksamen 2012 Denne vurderingsrettleiinga
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator.
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1001. Dato: Mandag 9. mai 017. Klokkeslett: 09 13. Sted: Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler: «Tabeller og formler i statistikk»
DetaljerEKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLAR
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Nynorsk Kontakt under eksamen: Thiago G. Martins 46 93 74 29 EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLAR Torsdag
DetaljerEKSAMEN I EMNE TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73 59 35 38 EKSAMEN I EMNE TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
DetaljerEksamen 25.05.2012. MAT1017 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 25.05.2012 MAT1017 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige univsitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 6 5.2 Antall sprukne pøls X binomialfordelt med n 8 og p 0.2, og
DetaljerTMA4245 Statistikk Vår 2007
TMA4245 Statistikk Vår 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har lært.
DetaljerUNIVERSITETET I AGDER
UNIVERSITETET I AGDER INSTITUTT FOR MATEMATISKE FAG EKSAMEN MA-100 Kalkulus 1. Fredag. desember 011, kl. 09-14 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu og uten minne for tekst. Inntil fire
DetaljerOppgave 1: Feil på mobiltelefoner
Oppgave 1: Feil på mobiltelefoner a) Sannsynlighetene i oppgaven blir P (F 1 F 2 ) P (F 1 ) + P (F 2 ) P (F 1 F 2 ) P (F 1 ) + 1 P (F2 C ) P (F 1 F 2 ) 0.080 + 0.075 0.006 0.149 P (F 1 F 2 ) P (F 1 F 2
DetaljerEksamen 27.05.2010. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på del 1: Hjelpemiddel på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: 5 timar: Del
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
I dag I dag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve 3 a og b (inkl SME) Om eksamen (Truleg) 10 punkt.
DetaljerEksamen 25.05.2011. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 25.05.2011 MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.
DetaljerLøysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005.
Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Oppgåve 1 a) Rekn ut gcd(788, 116). Finn alle løysingane i heile tal til likninga 788x + 116y = gcd(788, 116). b) Ein antikvar sel ein dag nokre
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Fakultet for lærer- og tolkeutdanning
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Fakultet for lærer- og tolkeutdanning Emnekode(r): LGU52003 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10), emne 2 Studiepoeng: 15 Eksamensdato: 4. desember 2015 Varighet/Timer: 6 timer Målform:
DetaljerMATEMATIKK 1 for 1R, 4MX130SR09-E
Skriftlig eksamen i MATEMATIKK 1 for 1R, 4MX130SR09-E 20 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 7. juni 2010. Sensur faller innen 28.juni. BOKMÅL Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter sensurfrist,
DetaljerLitt mer om eksponensialfordelingen
Litt mer om eksponensialfordelingen og Poissonprosesser. Dekkes av 5.6, 6.6, 6.7 og det som står under. Eksponensialfordelingen Så langt har vi lært at det finnes to parametriseringer av eksponensialfordelingen
Detaljer5.6 Diskrete dynamiske systemer
5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b7 Oppgave 1 Automatisert laboratorium Eksamen november 2002, oppgave 3 av 3 I eit
DetaljerEksamen 25.05.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 5.05.01 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del
DetaljerEksamen 24.05.2013. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 24.05.2013 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: Andre opplysningar:
DetaljerEKSAMEN I TMA4300 BEREGNINGSKREVENDE STATISTIKK Torsdag 16 Mai, 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Kontakt: Jo Eidsvik 9747 EKSAMEN I TMA43 BEREGNINGSKREVENDE STATISTIKK Torsdag 6 Mai, 3 Tilatte hjelpemiddel: Gult
DetaljerEksamen 27.05.2010. REA3026 Matematikk S1. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 7.05.010 REA306 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på del 1: Hjelpemiddel på del : Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: 5 timar: Del
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: John Tyssedal 41 64 53 76 EKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK Lørdag 10. august
DetaljerOppgave 1. og t α/2,n 1 = 2.262, så er et 95% konfidensintervall for µ D (se kap 9.9 i læreboka): = ( 0.12, 3.32).
Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 16. november 2009 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir
DetaljerPsykologisk Førstehjelp - barneskulen. Hjelpehanda - hjelp til sjølvhjelp i vanskelege situasjonar
Psykologisk Førstehjelp - barneskulen Hjelpehanda - hjelp til sjølvhjelp i vanskelege situasjonar 0 Psykologisk Førstehjelp Kan eg gjera noko sjølv for å bli meir trygg, modig og glad? Du kan læra deg
DetaljerDersom summen vert over 400 g må ein trekkje dette frå.
13. POLYGONDRAG Nemninga polygondrag kjem frå ein tidlegare nytta metode der ein laga ein lukka polygon ved å måle sidene og vinklane i polygonen. I dag er denne typen lukka polygon lite, om i det heile
DetaljerUndervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likningar og annan algebra
Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likningar og annan algebra Kjelde: www.clipart.com 1 Likningar og annan algebra. Læraren sitt ark Kva seier læreplanen? Tal og algebra Mål for opplæringa er at
DetaljerTerminprøve i matematikk for 9. trinnet
Terminprøve i matematikk for 9. trinnet Hausten 2006 nynorsk Til nokre av oppgåvene skal du bruke opplysningar frå informasjonsheftet. Desse oppgåvene er merkte med dette symbolet: Namn: DELPRØVE 1 Maks.
DetaljerMATEMATISK MODELLERING, LTMAGMA 111 10 studiepoeng
Individuell skriftleg eksamen i MATEMATISK MODELLERING, LTMAGMA 111 10 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 30.05.13 Sensur fell innan 20.06.13 NYNORSK Resultatet vert tilgjengeleg på studentweb første kvardag
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER VARIGHET: 4 TIMER DATO: 27. FEBRUAR 2004 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 5
DetaljerEksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013
Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (5 poeng) Ein kveld køyrde ein taxisjåfør 10 turar. Nedanfor ser du kor mange passasjerar han hadde med på kvar av turane. 1 5
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Torsdag 2. juni 24 Tid for eksamen: 4.3 8.3 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: STK429
DetaljerEKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 2. august 2003 kl. 09.00-15.00
Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 42 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK
DetaljerParallellseksjon 4G. Hefte nr. 2. Tips, triks og løysingar til oppgåver og utfordringar
Sigbjørn Hals, 11.08.1 Parallellseksjon 4G Hefte nr. Tips, triks og løysingar til oppgåver og utfordringar Innhald GeoGebra som talknusar... Tok Fermat feil?... Matematisk drodling... 3 Visualisering av
Detaljer