Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014

Transkript

1 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 014 Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform,5 10 3, ( 5) 10,5 3,0 10 7,5 10 Oppgåve ( poeng) Rekn ut og skriv svaret så enkelt som mogleg Oppgåve 3 (1 poeng) Løys likninga x 1 x 3 Alternativ løysing: x 1 x 3 x 3 3 x 3 lg lg 3 ( x 3) lg lg3 lg3 x 3 lg 5 lg x 3 lg 5 lg x 3 lg x 3 5 x 5 3 x x 1 x 5 x 3 5 x 3 5 x x x x Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

2 Oppgåve 4 (1 poeng) Bestem c slik at uttrykket x 8x c blir eit fullstendig kvadrat. Må finne c slik at uttrykket kan faktoriserast ved hjelp av første kvadratsetning: a ab b ( a b) a x ab 8x x b 8x 8x b x b 4 c b 4 16 x 8x 16 ( x 4) Uttrykket blir eit fullstendig kvadrat når c = 16. Oppgåve 5 ( poeng) Løys likningssystemet 3x y 7 y 3x 7 x 3y 7 3x y 7 x 3y 7 x 3 (3x 7) 7 x 9x 1 7 7x 7 1 7x 8 x 8 7 x 4 y 3x 7 y y 1 7 y 5 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

3 Oppgåve 6 (3 poeng) Trekk saman og skriv så enkelt som mogleg 6 5 x ( x 3) 6 5 x x 3 x 1 1 x 3 x 9 x 3 ( x 3)(x 3) x 3 (x 3) x 3 x 3 x 3 Oppgåve 7 (4 poeng) I ein klasse er det 5 elevar. 15 av elevane har eldre søsken. 18 av elevane har yngre søsken. av elevane har ikkje søsken. a) Systematiser opplysningane ovanfor i eit venndiagram. Må først finne ut kor mange som har både eldre og yngre søsken: elevar har både eldre og yngre søsken. Venndiagram: 5 Eldre søsken 5 10 Yngre søsken 8 Vi vel tilfeldig éin elev frå klassen. b) Bestem sannsynet for at eleven har eldre, men ikkje yngre, søsken. 5 1 P (eldre søsken) 5 5 Sannsynet for at eleven har eldre, men ikkje yngre søsken er ⅕. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

4 Vi vel tilfeldig éin av elevane som har eldre søsken. c) Bestem sannsynet for at eleven også har yngre søsken. 10 P (yngre søsken eldre søsken) 15 3 Sannsynet for at eleven har eldre, men ikkje yngre søsken er ⅔. Oppgåve 8 (3 poeng) I ABC er AC 10, BC 7 og B 90. Lag ei skisse, gjer berekningar, og avgjer om desse påstandane er riktige: 1) Arealet av trekanten er større enn 4,5 ) sina cos A Finn AB ved hjelp av Pytagoras setning: AB 10 7 AB AB 51 AB , så 51 må vere litt større enn 7. Areal ,5 Påstand 1 er riktig. Arealet er større enn 4,5. 7 sin A 10 7 cos A 10 Påstand er feil. cosa>sina. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

5 Oppgåve 9 (5 poeng) Funksjonen F er gitt ved f( x) x x 3 a) Bestem nullpunkta til f ved rekning. Må løyse andregradslikninga x x 3 0 : Brukar ABC-formelen: 4 1 ( 3) x x 16 x 4 x x 1 x 3 1 Nullpunkta til f er x = 1 og x = 3. b) Grafen til f har ein tangent med stigningstal. Bestem likninga til denne tangenten. I punktet der tangenten tangerer grafen er f ( x ). Finn først x- og y-verdien til dette punktet: f ( x) x x x x 0 x 0 y f(0) y y 3 Brukar så eittpunktformelen for å finne likninga til tangenten i dette punktet: y y a( x x ) 1 1 y ( 3) (x 0) y 3 x y x 3 Likninga til tangenten gjennom punktet (0, -3) er y = x 3. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

6 c) Teikn grafen til f saman med tangenten frå oppgåve b). Eg kjenner nullpunkta til grafen, og punktet (0, -3). For å teikne grafen må eg også rekne ut botnpunktet (andregradsleddet er positivt, dermed har grafen botnpunkt). For å finne dette deriverer eg funksjonen f og set det deriverte uttrykket lik 0: f ( x) x x 0 x x x 1 f ( 1) ( 1) ( 1) 3 f ( 1) 1 3 f ( 1) 4 Botnpunktet har koordinatane (-1, - 4). Teiknar så grafen (blå kurve) og tangenten (grøn linje): Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

7 Oppgåve 10 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f() x x bx c Grafen til f skjer y-aksen i punktet (0, 4) og har eitt nullpunkt. Bestem b og c. Finn først c ved å sette f(0) = 4: 0 0 x c 4 c 4 Finn nullpunktet ved å sette f(x) = 0 og løyse denne med ABC-formelen: x bx 4 0 b b 414 x 1 b x b 16 Funksjonen har berre eitt nullpunkt. Då må b 16 0, som igjen betyr at b 4. Det er to funksjonar som skjer y-aksen i punktet (0, 4) og har eitt nullpunkt. Vi får: b = 4 og c = 4 b = - 4 og c = 4 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

8 Oppgåve 1 (4 poeng) Veke (x) Lengd (y) 3,4 km 5,1 km 8,5 km 15,5 km 18,0 km Tabellen ovanfor viser kor langt Janne jogga nokre veker etter at ho begynte å trene. Den første veka jogga ho 3,4 km, den tredje veka jogga ho 5,1 km, og så vidare. a) Bestem den lineære funksjonen som passar best med tala i tabellen ovanfor. a) Legg inn tala som punkt i eit koordinatsystem ved å skrive (1, 3.4), (3, 5.1) osv. i innskrivingsfeltet i GeoGebra. Brukar så kommandoen «beste tilpassa linje» for å finne den lineære funksjonen som passar best med tala: Den lineære funksjonen som passar best med tala er y = 0,8x +,47. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

9 b) Kor langt vil Janne jogge i veke 5 ifølgje funksjonen i oppgåve a)? Teiknar linja x = 5 (raud linje) og finn skjeringspunktet mellom denne og linja frå a) ved å bruke kommandoen «skjering mellom to objekt»: I følgje funksjonen frå a) vil Janne jogge,3 km i veke 5. c) I kva veke jogga Janne for første gong meir enn 10 km ifølgje funksjonen i oppgåve a)? Teiknar linja y = 10 (grøn linje) og finn skjeringspunktet mellom denne og linja frå a) ved å bruke kommandoen «skjering mellom to objekt»: I veke 10 jogga Janne for første gong meir enn 10 km ifølgje funksjonen frå a). Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

10 Oppgåve (9 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f( x) 0,0017x 0,13x,3x 7, x [0,5] viser kor mange kilogram f(x) ein idrettsutøvar vog x veker etter 1. januar 013. a) Teikn grafen til f. Teiknar grafen i GeoGebra: b) Kor mykje vog idrettsutøvaren 1. januar 013, og kor mykje vog han eitt år (5 veker) seinare? Reknar ut f(0) og f(5) i CAS i GeoGebra: 1. januar vog idrettsutøvaren 7 kg. Etter eitt år vog han 79,1 kg. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

11 c) Omtrent kor mange veker i løpet av 013 vog han meir enn 70 kg? Teiknar linja y = 70, og finn skjeringspunkta mellom denne og grafen i a) ved å bruke kommandoen «skjering mellom to objekt»: Idrettsutøvaren veg meir enn 70 kg heile året bortsett frå mellom veke 30 og 47, dvs. i 5 17 = 35 veker. Idrettsutøvaren vog meir enn 70 kg i om lag 35 veker i løpet av 013. d) Når vog idrettsutøvaren mest, og når vog han minst? Kor mykje gjekk han i gjennomsnitt ned i vekt per veke i den perioden han gjekk ned i vekt? Finn topp- og botnpunkt ved å skrive inn kommandoen Ekstremalpunkt[f(x)] i innskrivingsfeltet. Finn så den gjennomsnittlege vekstfarten ved å teikne ei linje mellom toppunktet og botnpunktet. Stigningstalet til denne linja er den gjennomsnittlege vekstfarten, og fortel kor mykje idrettsutøvaren gikk ned i vekt i gjennomsnitt per veke: Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

12 Idrettsutøvaren vog mest om lag halvvegs mellom veke 11 og 1, og minst om lag halvvegs mellom veke 39 og 40. I gjennomsnitt gikk han ned med 0,7 kg per veke i den perioden han gikk ned i vekt. e) Bestem f (3) og f (5). Kva fortel desse to svara om vekta til idrettsutøvaren? Eg reknar ut f (3) og f (5) i CAS i GeoGebra: f (3) = 1,6. Dette fortel oss at vekta auka med ei fart på 1,6 kg i veka i veke 3. f (5) = -1. Dette fortel oss at vekta gikk ned med ei fart på 1 kg i veka i veke 5. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

13 Oppgåve 3 (4 poeng) Ei bedrift produserer to ulike typar soveposar. Undersøkingar viser at 10 % av soveposane av type 1 og 15 % av soveposane av type har ein feil med glidelåsen. På lageret ligg 1000 soveposar av type 1 og 4000 soveposar av type. a) Systematiser opplysningane ovanfor i ein krysstabell. Finn først kor mange soveposar av type 1 og type det er feil med: Type 1: , Type : , Type 1 Type Sum Feil Ikkje feil Sum Bjarne har tilfeldig teke to soveposar frå lageret. Det viser seg at begge soveposane har feil med glidelåsen. b) Bestem sannsynet for at éin av soveposane er av type 1 og at éin er av type. Det er to måtar han kan ha trekt på. Anten har han først teke ein sovepose av type 1, og så ein av type, eller så har han først teke ein av type, og så den av type P (éin av kvar feil med glidelåsen) Begge tilfella er like sannsynlege. Reknar ut i CAS i GeoGebra: Sannsynet for at éin er av type 1 og den andre av type er 0,. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

14 Oppgåve 4 (4 poeng) I ei skål er det åtte kvite og seks raude kuler. Du skal trekkje tre kuler tilfeldig. a) Systematiser dei ulike utfalla i eit valtre. b) Bestem sannsynet for at du trekkjer to kvite og éi raud kule. Marker korleis du finn løysinga i valtreet i oppgåve a). Det er tre måtar dette kan skje på: Raud, kvit, kvit Kvit, raud, kvit Kvit, kvit, raud P (to kvite og ein raud) Alle dei tre kombinasjonane er like sannsynlege. Reknar ut i CAS i GeoGebra: Sannsynet for å trekke to kvite og éi raud kule er 0,46. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

15 Oppgåve 5 ( poeng) Eit trestykke er 35 cm langt. Trestykket skal delast i fire delar. To delar skal vere like lange. Den tredje delen skal vere dobbelt så lang som dei to like delane til saman, og halvparten så lang som den fjerde delen. Bestem lengda av kvar av dei fire delane. Eg let x vere dei to delane som skal vere like lange. Den tredje delen blir då 4x, og den fjerde blir 8x. Reknar i CAS i GeoGebra: Dei fire delane er,5,,5, 10 og 0 meter lange. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

16 Oppgåve 6 (3 poeng) Rekn ut arealet av ABC Brukar først Cosinus setning for å finne vinkel A. Reknar i CAS i GeoGebra: Brukar så arealsetninga: Arealet av ABC er 8,. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

17 Oppgåve 7 (4 poeng) Ein båt ligg fortøydd ved ei brygge med eit stramt tau som går frå C til B. Tauet er 3,0 m langt. Sjå skissa ovanfor. a) Bestem avstanden AB frå båten til brygga når v 5. Reknar i CAS i GeoGebra: Avstanden AB frå båten til brygga er 1,9 m Vass-standen søkk med 30 cm. b) Bestem avstanden frå båten til brygga no. Finn først AC før vass-standen søkk: Etter at vass-standen har søkt med 30 cm, blir AC =,66 m, medan BC framleis er 3,0 m. Brukar Pytagoras setning: Avstanden frå brygga til båten er no 1,4 m. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

18 Oppgåve 8 (4 poeng) ABC har grunnlinje AB 8. Punktet D ligg på AB. CD 6 og BDC 90. Sjå skissa til høgre. Vi set BD x a) Vis at samanhengen mellom lengda x og omkrinsen fx ( ) av ABC er gitt ved f( x) 8 x 36 x 16x 100, x [0,8] Brukar Pytagoras setning, og finn sidene BC og AC: BC x BC 6 x 36 AC (8 x) 6 AC 64 16x x 36 AC x 16x 100 Omkrinsen, f(x), blir då: f( x) 8 x 36 x 16x 100 x er ei lengde, og må difor vere eit tal større enn 0. x må vere mindre enn 8, ettersom lengda x ikkje kan vere lengre enn grunnlinja. b) Bestem x slik at omkrinsen av ABC blir minst mogleg. Forklar at trekanten då vil vere likebeint. Eg løyser oppgåva grafisk, ved å teikne grafen til f i GeoGebra, og deretter finne botnpunktet ved å skrive inn kommandoen Ekstremalpunkt[f(x)] i innskrivingsfeltet. Omkrinsen er minst når x = 4. Grunnlinja blir då delt i to like store delar, og AC og BC vil dermed vere like lange. Trekanten er likebeint. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

19 Oppgåve 9 ( poeng) Petter får i oppgåve å vise at når omkrinsen av trekanten i oppgåve 8 er minst mogleg, er trekanten likebeint. Han løyser oppgåva med figurar. Sjå nedanfor. Ved hjelp av figurane viser han kvar punktet D må plasserast på linjestykket AB for at lengda AC + CB i figur 1 skal bli kortast mogleg. Forklar kva Petter har gjort, og at han har løyst oppgåva riktig. Petter teiknar først av figuren i oppgåveteksten (figur 1). Deretter speglar han BDC om midtnormalen på BD og ADC om midtnormalen på AD (figur ), før han så speglar BDC om linjestykket BD (figur 3). Omkrinsen av trekanten vil vere summen av linjestykka AB, DF og DG. Linjestykket AB vil alltid vere 8, men lengda av DF og DG vil variere avhengig av kor punktet D blir plassert. Dei to lengdene blir kortast om D blir plassert slik at dei begge ligg på ei rett linje gjennom F og G. Då målast avstanden AD og BD til å vere 4. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing

20 Bileteliste Båt: ( ) Andre teikningar, grafar og figurar i oppgåveteksten: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren Løysing