Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Transkript

1 DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (18 poeng) a) Rekn ut 1) ) b) Rekn ut og skriv svaret på standardform 5 6 5,510 6, ,0 10 3,3 10 c) Løys likningssystemet xy16 3xy6 3x y 6 y3x6 x 3x 6 16 x 6x1 16 7x 8 x 4 y d) Løys likninga grafisk 1 x3 6 x 4 Eg teiknar grafane av uttrykka på venstre side og høgre side av likskapsteiknet kvar for seg. Løysinga er x -koordinaten til skjeringspunktet mellom grafane. Løysing: x 4

2 e) Løys ulikskapen x x 1 0 Eg løyser likninga x x1 0 x x x 1 7 x x 4 x 3 Då er x x 1 x 4x 3 x 4x 3 Eg sjekkar forteiknet til uttrykket x x 1 i intervalla, 4, 4,3 og 3,. Uttrykket x x 1 er altså lik null når x 4 og når x 3 og større enn null når x 4,3. For alle andre verdiar av x er uttrykket negativt. Det tyder at løysinga på ulikskapen x x1 0 er x 4,3 f) Faktoriser og forkort Eg bruker resultatet frå oppgåve d) for å faktorisere teljaren. x x x 1 9 x 4 x 3 x 3 x 3 x 4 x 3

3 g) I klasse 1A er det 0 elevar. 15 av elevane spelar fotball, og 10 spelar handball. Éin elev spelar verken fotball eller handball. Frå klassen vel vi tilfeldig éin av elevane som spelar fotball. Bestem sannsynet for at denne eleven i tillegg spelar handball. Det er til saman 19 (0 minus 1) elevar som spelar fotball og/eller handball. Det er 5 (15 pluss 9) elevar til saman på fotball eller handball. Det tyder at 6 (5 minus 19) elevar spelar både fotball og handball. Eg lagar ei oversikt med eit Venndiagram. Vi har ein uniform sannsynsmodell. U = 0 Fotball 9 6 Handball 4 Frå diagrammet kan eg lese at sannsynet for at ein tilfeldig vald elev som spelar fotball også spelar handball er h) Siri, Karen og Marit er til saman 6 år. Marit er tre gonger så gammal som Siri var for fire år sidan. Karen er halvparten så gammal som Marit. Set opp ei likning som du kan bruke for å finne ut kor gamle Siri, Karen og Marit er. Løys likninga. Kor gamle er kvar av dei tre jentene? Eg set Siris alder til x år. Då blir Marits alder 3 x 4 Sidan jentene til saman er 6 år, får eg likninga Eg løyser likninga og Karens alder blir 3 x 4 x 3x x 4 x 3x 4 6 x 6x 4 3x x 88 x 8 3 x 4. Siri er 8 år gammal. Marit er år gammal. Karen er år gammal.

4 i) 1) Vis at BC 3 Vi har C 45 sidan summen av vinklane i trekanten er 90 grader. Då er trekanten likebeint og AC 3. Pytagoras setning gir då 3 3 BC ) Vis at cos45 AB 3 3 cos45 cosb BC 3 3

5 Oppgåve (6 poeng) Funksjonane f er gitt ved f x x x a a) Kva må verdien av a vere for at grafen av f skal skjere y -aksen i y? Når grafen skjer y -aksen, er x 0. f a a b) Kva må verdien av a vere for at grafen skal ha eit nullpunkt for x 3? Dersom grafen skal ha eit nullpunkt for 3 f a 0 a 69 a 3 x, må vi ha f 3 0. c) Kva må verdien av a vere for at y -verdien i botnpunktet til grafen skal vere 5?. I botnpunktet er f x 0 x 0 x 1 f a 5 a 51 a 4 d) For kva for verdiar av a har grafen minst eitt nullpunkt? Vi finn nullpunkta ved abc-formelen f x 0 0 x x a 4a x Vi får minst eitt nullpunkt når det som står under rotteiknet er lik eller større enn null 4 4a 0 4a 4 a 1

6 DEL Med hjelpemiddel Oppgåve 3 (10 poeng) a) Vis ved rekning at BD 30 m Eg bruker Pytagoras setning i GeoGebra BD 30 m b) Bestem ABD og BCD ved rekning. Eg bruker at tangens til ein vinkel i ein rettvinkla trekant er lik motståande katet dividert med hosliggjande katet for å finne ABD, og Cosinussetninga for å finne BCD Alternativt ABD 36,9 og BCD 95,1

7 c) Bestem arealet av ABCD ved rekning. Eg bruker at firkanten er sett saman av to trekantar AB AD 1 Areal ABCD DC BC sin 410 m d) Forklar at ABC 90 Eg finn DBC med Cosinussetninga BCD ABC ABD DBC ,83 89,7 90 Oppgåve 4 (8 poeng) Funksjonen f gitt ved f x 0,05x,60x 0,50 viser samanhengen mellom alder og vekt for ein type grisar. Her er fx vekta av ein gris målt i kilogram når grisen er x månader gammal a) Teikn grafen av f for x 0,5. Eg skriv inn f x 0.05x.60x 0.50,0,5 på skrivelinja i GeoGebra. Kor mye veg ein gris ved fødselen? Grafen viser at ein gris veg 0,5 kg ved fødselen. b) Kva er alderen til ein gris når vekta passerer 0 kg? Eg les av grafisk at vekta passerer 0 kg når alderen er 9,1 månad. Skjeringspunktet mellom linja y 0 og grafen av f. Kor mye aukar vekta i gjennomsnitt per månad fram til då?

8 Eg reknar ut gjennomsnittleg månadleg vekst fram til vekta var 0 kg Gjennomsnittleg vektauke i dette tidsrommet er på,15 kg per månad. c) Kor fort aukar vekta av ein gris når grisen er nøyaktig 1 månader gammal? Eg reknar ut f1 1,4. Farten i vektauken er på 1,4 kg per månad når grisen er nøyaktig 1 månader gammal. Ein gris skal slaktast når vekta aukar med mindre enn 0,5 kg per månad. d) Kor gammal er ein gris når han skal slaktast? Eg løyser lininga f x 0,5. Vi ser grafisk at vekta minkar med alder i heile perioden. Grisen skal slaktast når han er 1 månader gammal.

9 Oppgåve 5 (6 poeng) Karen har brune, raude, blå, kvite og rosa sokkar i ei skuffe. Ein dag tar ho tilfeldig to sokkar frå skuffa. a) Bestem sannsynet for at ho tar to rosa sokkar. 1 1 P To rosa sokkar b) Bestem sannsynet for at ho tar éin rosa sokk og éin sokk i ein annan farge P Éin rosa og éin sokk i ein annan farge c) Bestem sannsynet for at ho tar to sokkar med same farge. P To sokkar med same farge P To rosa eller to brune eller to raude eller to blå eller to kvite sokkar

10 Oppgåve 6 (4 poeng) Undersøkingar har vist at 40 % av befolkninga i Noreg over 15 år et matpakke til lunsj. Vi vel tilfeldig 50 personar over 15 år. a) Bestem sannsynet for at akkurat 0 av desse personane et matpakke til lunsj. Her går vi ut ifrå vi ein binomisk situasjon. Sannsynet for at ein tilfeldig vald person over 15 år et matpakke til lunsj er 0,40. Eg bruker sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Det er 11,5 % sannsyn for at akkurat 0 av dei 50 personane et matpakke til lunsj. b) Bestem sannsynet for at fleire enn 15 av desse personane et matpakke til lunsj. Kalkulatoren viser at det 90,5 % sannsyn for at fleire enn 15 av desse personane et matpakke til lunsj

11 Oppgåve 7 (4 poeng) Figuren ovanfor viser eit område ABDE. C er eit vilkårleg punkt på BD. a) Set BC x og finn avstanden AC CE uttrykt med x. AC CE 10 x 1 x 1 AC CE x x x AC CE 100 x 88 4x x AB 10 m, BD 1 m og DE 1 m. b) Bestem x slik at avstanden AC CE blir kortast mogleg. Eg skriv inn avstanden AC CE som funksjonen fx for x -verdiar mellom 0 og 1 i GeoGebra. Eg finn botnpunktet på funksjonen. Avstanden AC CE blir kortast mogleg når x 5,5 m

12 Oppgåve 8 (4 poeng) Ovanfor har vi teikna grafen av den rasjonale ax bx c funksjonen f gitt ved f x xd Linja x 1 er ein vertikal asymptote for grafen av f. Forklar at d 1. Bruk figuren til å bestemme a, b og c. Grafen har vertikal asymptote når nemnaren xd 0. Det vil seie når x d. Sidan linja x 1 er vertikal asymptote, er altså d 1. Grafen skjer y -aksen når x 0. f 0 a0 b0 c 01 f 0. Det må tyde at c c. Vi ser av grafen at. b 1 0 a f ab 0 b a b a b 0 1 4a a 0 4a a 4 0 6a 6 a 1 f

13 Kjelder: Oppgåver med figurar og grafar: Utdanningsdirektoratet Løysingar med løysingsfigurar og grafar Olav Kristensen/NDLA