Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013

Transkript

1 DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform , ,510 7, , Oppgåve (1 poeng) Løys likningssystemet x3y7 5xy8 Vel å løyse likninga 5xy 8 med omsyn på y. y 8 5 x : 5 y x4 Set uttrykket vi fann for y inn i den andre likninga, og løyser denne likninga med omsyn på x. 5 x 3 x x x x x 19 4x15x38 x Vidare er 5 y x 4 når x gir det 5 y 4 1

2 Oppgåve 3 ( poeng) Skriv så enkelt som mogleg x 16 x 8x16 x4 x4 x 4 x 4 x 4 x 4 For å faktorisere teljar brukte vi konjugatsetninga, a ba b a b, og for å faktorisere nemnar brukte vi. kvadratsetning, a b a b a ab b. Oppgåve 4 ( poeng) Bestem likninga for den rette linja i koordinatsystemet ovanfor. Ei rett linje er gitt på forma y ax b, der a er stigningstalet til linja og b er konstantleddet dvs. der linja skjer y aksen Linja ovanfor skjer y aksen i 3 og har stigningstal a Likninga for linja blir: y x 3

3 Oppgåve 5 (3 poeng) Sorter uttrykka nedanfor etter stigande verdi. Vis eller forklar korleis du har tenkt sin50 1 da verdien til sin50 er større enn 0 motståande katet sinv. I tillegg er vinkelen mindre enn 180. Det tyder at hypotenus I følgje definisjonen a 1 3 lg150 3 fordi lg100 lg10 og lg1000 lg evt fordi 16 4 og 5 5 Oppgåve 6 ( poeng) I ei eske er det tre raude og to blå kuler. Sondre trekkjer tilfeldig to av kulene. Bestem sannsynet for at dei to kulene han trekkjer, har same farge. Han kan anten trekkje to blå kuler. Sannsynet for dette er:

4 Eller han kan trekkje to raude kuler. Sannsynet for dette er: Sannsynet for at dei to kulene han trekkjer, har same farge er dermed , Oppgåve 7 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x 4x 5 a) Bestem nullpunkta ved rekning. Brukar abc formelen og finn nullpunkta til f. f x x x 4 6 x x x 1 b) Bestem koordinatane til eventuelle ekstremalpunkt (topp- eller botnpunkt) på grafen av f ved rekning. Alternativ 1. Ved bruk av symmetrilinje. Grafen av f er ein parabel. Symmetrilinja er gitt ved b 4 4 x a 1 f Symmetrilinja går gjennom ekstremalpunktet på grafen. Ser om det er eit topp- eller botnpunkt ved å setje inn x verdiar til venstre og høgre for symmetrilinja. f f Funksjonsverdiane er lågare på begge sidene av f. Det må tyde at, 9. Alternativ. Ved å setje f x 0 4 f x x x 4 0 x er eit toppunkt. Ser om stigningstalet til f på begge sider av x.

5 f Det tyder at grafen stig til venstre for x. f Det tyder at grafen søkk til venstre for x. Det tyder at grafen av f har eit toppunkt i, f, 9 c) Lag ei skisse av grafen av f. Markerer punkta eg har funn ovanfor. Teiknar grafen. d) Bestem likninga for tangenten til f i punktet 1, f 1 ved rekning. Teikn tangenten i same koordinatsystem som du brukte i oppgåve 7 c). Bruker eittpunktsformelen y y ax x. Stigningstalet a f og y f y 8 x 1 y x 8 y x Likninga for tangenten blir: y x 6 Tangenten er teikna i same koordinatsystem som grafen av f.

6 Oppgåve 8 (4 poeng) Ovanfor ser du to halvsirklar. Den eine har sentrum i O og radius OA r, den andre har sentrum i D og radius AD. a) Vis at AC r Finn AC ved hjelp av Pytagoras læresetning. AC r r AC AC r r AC r AC r b) Vis ved rekning at arealet av området som er markert med blått på figuren ovanfor, er lik arealet av AOC. Finn arealet av AOC, arealet av kvartsirkelen med AC som sirkelbue og arealet av halvsirkelen med AD som radius. Arealet av AOC : r r r r Arealet av kvartsirkel med r som radius: 4 Areal av halvsirkel med AC AD som radius: AD 1 1 r 1 r r 4 4 Ved å betrakte figuren ser vi at området som er markert med blått på figuren ovanfor, er lik arealet av AOC. Vi kan også vise dette ved rekning. Areal av kvartsirkel Areal av AOC : r r r r 4 4 Areal av blått område: Areal av halvsirkel Arealet av området vi fann rett ovanfor. r r r r 4 4

7 DEL Med hjelpemiddel Oppgåve 1 ( poeng) I ein rettvinkla trekant er den lengste kateten 4,0 cm. Ein av vinklane i trekanten er 60. Bestem lengda av den kortaste kateten og hypotenusen i denne trekanten ved rekning. Dette er ein trekant der hypotenusen er dobbel så lang som den kortaste kateten. Vi kan då setje opp følgjande likning: x 4,0 x 4x x 4,0 3x 16,0 x x 16,0 3 16,0 3 Den kortaste kateten er,3 cm lang. 4,0 x,3 3

8 Oppgåve (6 poeng) Gitt ABCD ovanfor. a) Bestem lengda av diagonalen BD ved rekning. Finn lengda BD ved å anvende sinussetninga. BD 5,0 sin60 sin38, 5,0 BD sin60 sin38, BD 7,0 b) Bestem arealet av firkanten ved rekning. Finn arealet av ABD ved hjelp av arealsetninga for trekantar. 1 ADDBsinBDA der BDA , 81,8 1 5,0 7,0 sin 81,8 17,3 For å finne arealet av BDC finn vi først BCD ved å bruke cosinussetninga. 7,0 6,0 4,0 4,0 6,0 cos BCD 36,0 16,0 49,0 cosbcd 48,0 BCD 86,4 Brukar så arealsetninga for å finne arealet av BDC 1 6,0 4,0 sin86,4 1,0 Arealet av firkanten blir 17,3 1,0 9,3

9 Oppgåve 3 (4 poeng) 4000 menn og 6000 kvinner deltek i en undersøking. Det viser seg at 8 % av mennene og 1 % av kvinnene som deltek i undersøkinga, er fargeblinde. a) Rekn ut kor mange fargeblinde personar det er som deltek i undersøkinga, og bestem sannsynet for at ein tilfeldig vald person som deltek i undersøkinga, er fargeblind. Tal på fargeblinde personar i undersøkinga: , , Det deltar 380 fargeblinde personar i undersøkinga. Sannsynet for at ein tilfeldig vald person som deltar i undersøkinga, er fargeblind blir: ,038 3,8 % Tenk deg at vi samlar dei fargeblinde personane som deltek i undersøkinga, i ei gruppe. Frå denne gruppa vel vi tilfeldig éin person. b) Bestem sannsynet for at vi vel ei kvinne. Det er i alt 60 kvinner som er fargeblinde. Sannsynet for at vi vel ei kvinne frå denne gruppa blir , Oppgåve 4 (4 poeng) Ei undersøking viser at éin av tre personar som bur i Oslo, ønskjer å flytte frå byen. Vi vel tilfeldig 100 personer som bur i Oslo. a) Bestem sannsynet for at nøyaktig 30 av dei 100 personane ønskjer å flytte frå byen. Her antar vi ein binomisk situasjon. Vi finn sannsynet for at nøyaktig 30 av dei 100 personane ønskjer å flytte frå byen ved å bruke binomialformelen Bruker CAS i GeoGebra og finn

10 Det er ca. 6,7 % sannsyn for at akkurat 30 av dei 100 personane ønskjer å flytte frå byen. b) Bestem sannsynet for at mellom 30 og 50 av dei 100 personane ønskjer å flytte frå byen. Brukar binomisk fordeling i sannsynskalkulatoren i GeoGebra, sjå nedanfor. Finn at det er 7,3 % sannsyn for at mellom 30 og 50 av dei 100 personane vil flytte frå byen. Oppgåve 5 (4 poeng) I ei undersøking blei 1000 personer spurde om ferievanane sine. Éin av fem svarte at dei ville trene i ferien. 1 % av mennene og 16 % av kvinnene svarte at dei ville trene i ferien. a) Sett opp eit likningssystem som du kan bruke til å bestemme kor mange menn og kor mange kvinner som deltok i undersøkinga det er vist til ovanfor. Lar m stå for tal på menn og k for tal på kvinner. Al på personar som vil trene er Vi kan då setje opp følgjande likningar: 5 mk1000 0,1m0,16k00 b) Kor mange menn og kor mange kvinner deltok i undersøkinga? Løyser likninga i CAS verktøyet i GeoGebra. Det deltok 800 menn og 00 kvinner i undersøkinga.

11 Oppgåve 6 (8 poeng) Funksjonen h gitt ved 3 h t 3,5t 50t 170t 700 Var ein god modell for hjortebestanden i ein kommune i perioden Ifølge modellen var det a) Teikn grafen av h for t 0, 10 ht hjort i kommunen t år etter 1. januar Teiknar grafen i GeoGebra. Brukar kommandoen Funksjon[funksjon, start, slutt]. b) Når var hjortebestanden størst, og kor mange hjort var det i kommunen då? Brukar kommandoen Ekstremalpunkt[polynom] i GeoGebra og finn toppunktet på grafen av h. Finn at hjortebestanden var størst litt ut i 199. Den var då på 867 dyr.

12 c) Løys ulikskapen ht 850 grafisk, og forklar kva løysingen fortel om hjortebestanden. Legg inn ei linje y 850 i same koordinatsystem som grafen av h. Finn skjeringspunkta mellom denne linja og grafen av h ved å bruke kommandoen Skjering mellom to objekt. Hjortebestanden er større enn 850 dyr frå midten av 1991 til rett før d) Bestem h 4. Kva fortel svaret om hjortebestanden? Løyser i CAS verktøyet i GeoGebra. h4 74 Det tyder at hjortebestanden er i ferd på å søkk med 74 dyr per år

13 Oppgåve 7 (6 poeng) Ovanfor ser du eit rektangel ABCD som er skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har sentrum i S. a) Bestem radius i sirkelen dersom rektangelet skal ha lengd 10,0 og breidd 5,0. Bruker Pytagoras læresetning. 10,0 5,0 r Brukar CAS i GeoGebra og finn Vi er berre interessert i den positive løysinga. Radius i sirkelen er 5,6 Eit rektangel med lengd x er skriv inn i ein sirkel med radius 10. b) Vis at arealet av det innskrivne rektangelet kan skrivast som A x x x Finn eit uttrykk for halve breidda b av rektangelet: b x 10 b 100 x b 100 x Arealet av rektangelet er dermed gitt ved x b x 100 x 4x 100 x

14 c) Bestem det største arealet rektangelet kan ha. Bestem lengd og breidda i dette rektangelet. Finn det største arealet rektangelet kan ha ved å teikne grafen av A og finn den høgaste funksjonsverdien. Brukar kommandoen Ekstremalpunkt[Funksjon, start, slutt] Finn at det største arealet rektangelet kan ha er 00. Lengda er då 7,07 14,14 og breidda er 100 7,07 14,14 Vi har altså eit kvadrat. Oppgåve 8 ( poeng) Start med ein brøk c d. Legg til 7 gonger nemnaren i brøken i både teljar og nemnar. Du får då ein ny brøk. Trekk den nye brøken frå den opphavlege brøken. Det uttrykket du no får, skal vere lik 8. Kva må verdien av brøken c d då ha vore? Den nye brøken blir Nytt uttrykk Løyser likninga c 7d c 7d d 7d 8d c c 7d 8c c 7d 7c 7d d 8d 8d 8d 8d 7c 7d 8 8d 7c 7d 64 d 8d d 0 7c 71d 7c 71d d d c 71 d 7

15 Kjelder for bilete, teikningar osv. Hjort: ( ) Teikningar, grafar og figurar: Utdanningsdirektoratet Løsninger, løsningsfigurer og grafer Stein Aanensen/NDLA