Eksamen 1T hausten 2015 løysing

Transkript

1 Eksamen 1T hausten 015 løysing Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillate. Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0, , Oppgåve ( poeng) Løys likningssystemet xy 1 4xy Vi brukar innsetjingsmetoden. y 4x x y 1 y x 1 x x 1 1 y x 1 x 6x 1 y x 1 8x 16 y 1 x y x Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 1 av 18

2 Oppgåve ( poeng) Løys ulikskapen x 6x 0 Vi finn først nullpunkta x 6x 0 x x 0 x 0 x 0 x 0 x Faktoriseringsformelen gjev x 6x x x Vi brukar forteiknsskjema og finn når x x Vi finn at x 6x 0 for x 0 x Oppgåve 4 ( poeng) Rekn ut og skriv svaret så enkelt som mogleg Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side av 18

3 Oppgåve 5 ( poeng) Likninga x bx c 0 har løysingane x og x. Bestem b og c. 1 4 Faktoriseringsformelen gjev x bx c ax x1 x x 1x 4x x x 4x 8 x x 8 Det betyr at b og c 8. Oppgåve 6 ( poeng) Trekk saman og skriv så enkelt som mogleg x 1 x 1 x1 x x1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 4 x 1 x x 1 x x 1 Oppgåve 7 ( poeng) Skriv så enkelt som mogleg x 4xy 4y xy 6y x y x y x y y x y y Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side av 18

4 Oppgåve 8 ( poeng) Løys likninga x 4x x 4xx 5 4xx 5 4x 5 0 x 1 46 x x 5 x Oppgåve 9 ( poeng) Bestem arealet av ABC ovanfor. Då A 90 og B 45 må C 45. Det betyr at vi har ein rettvinkla likebeint trekant. Vi finn sidene AB og AC ved å bruke pytagorassetninga. Sett AB AC x x x x x 1 x 1 Det er berre den positive løysinga som er av interesse i denne oppgåva. Arealet A av ABC blir: 11 1 A Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 4 av 18

5 Oppgåve 10 (9 poeng) Funksjonen f er gjeven ved f( x) x x a) Bestem nullpunkta til f. x x x x 1 x x 1 x 1 b) Vis at grafen til f har botnpunktet 1 9, 4. Vi har eit andregradsutrykk der a er positiv. Det betyr at grafen til f har eit botnpunkt. b 1 Vi finn x verdien til botnpunktet ved å finne symmetrilinja, x. a Vi finn y verdien, f Grafen til f har dermed botnpunktet, som skulle visast. 4 c) Bestem likninga for tangenten til grafen i punktet, f (). Vi brukar eittpunktsformelen, y y1 ax x1 der y f og a f 1 der fx x Likninga for tangenten blir med det y 0 x y x6 Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 5 av 18

6 Ei rett linje l går gjennom punktet,7 og er parallell med tangenten i oppgåve c). d) Bestem skjeringspunkta mellom linja l og grafen til f ved rekning. Linja l er parallell med tangenten og har med det same stigningstal. Likninga for linja l blir y7 x y x Vi finn x verdiane til skjeringspunkta ved å setje funksjonsuttrykka for kvarandre. f og l lik x x x x 4x 0 x x4 0 x 0 x 4 Skjeringspunkta blir 0, f0 0, og 4, f4 4, 10 e) Teikn grafen til f, tangenten i oppgåve c) og den rette linja i oppgåve d) i same koordinatsystem. Grafane ovanfor er teikna i GeoGebra. Du må gjere det same for «hand». Du må hugse å setje einingar og namn på aksane. Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 6 av 18

7 Oppgåve 11 ( poeng) To trapes er formlike. Høgda i det minste trapeset er lik h. Høgda i det største trapeset er lik h. Det minste trapeset har areal A. Vis ved formelrekning at det største trapeset har areal 9A. Vi har at arealet av det minste trapeset er gjeve ved x y A h der x og y er dei parallelle sidene i trapeset og h er høgda. Det største trapeset har høgda h og er formlik med det minste trapeset. Det betyr at sidene x og y i det største trapeset blir x og y. Arealet av det største trapeset blir x y x y x y h h 9 9A Oppgåve 1 (4 poeng) Forskarar skal prøve ut ein ny test for å avgjere om ein person er smitta av ein bestemt sjukdom. Testen skal prøvast ut på 60 personar. På førehand veit forskarane at 60 av desse personane er smitta av sjukdomen, medan resten ikkje er smitta. Det viser seg at 68 av personane testar positivt (det vil seie at testen viser at dei er smitta av sjukdomen). Av desse 68 er det 10 personar som forskarane veit ikkje er smitta. a) Teikn av og fyll ut krysstabellen nedanfor. Vi veit at 60 personar er smitta. Det betyr at 00 ikkje er smitta. Vi kan då fylle ut den nedste linja i tabellen. I alt er det 68 personar som testar positivt på testen, men 10 av desse er ikkje smitta. Vi kan med det fylle ut første linje i tabellen. No er det berre å fylle ut den siste linja i tabellen. Smitta Ikkje smitta Sum Testar positivt Testar ikkje positivt 90 9 Sum b) Bestem sannsynet for at ein person som er smitta, testar positivt Vi ser av tabellen at sannsynet blir 60 0 Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 7 av 18

8 c) Bestem sannsynet for at ein person som testar positivt, ikkje er smitta. Vi ser at det er 10 personar som ikkje er smitta av de 68 som testar positivt. Sannsynet blir då Oppgåve 1 ( poeng) I ABC er B 90 og tan A 5 1 Bestem cosc Definisjonen til cosinus er hosliggjande katet cosv hypotenus Vi finn hypotenus AC AC AC AC 1 Då er 5 cosc 1 Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 8 av 18

9 Oppgåve 14 ( poeng) Gjeve ABC slik at BC 0, AC 1 og sinb. 5 Bestem arealet av trekanten. Vi har definisjonen til sinus, motstående katet sinv. I trekanten ovanfor er hypotenus sinb. 5 Det betyr at tilhøvet mellom høgda h frå C til AB og BC er 5. Høgda h er såleis h 0 5 5h 60 h 1 Finn lengdene BD og AD. BD BC h AD AC h Det betyr at AB Arealet T av trekanten blir AB h 11 T 16 Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 9 av 18

10 DEL Med hjelpemiddel Tid: timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillét kommunikasjon. Oppgåve 1 ( poeng) Diagrammet ovanfor viser talet på registrerte elbilar i Noreg kvart år frå år 000 til år 007. Talet på registrerte elbilar auka tilnærma lineært i denne perioden. a) La x vere talet på år etter år 000. Bestem ein funksjon f som skildrar utviklinga. Vi brukar regresjons i GeoGebra og finn den funksjonen f som passar godt til opplysningane i diagrammet ovanfor. Vi finn at den lineære funksjonen f x 10x 9 skildrar utviklinga godt. Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 10 av 18

11 I 008 var det 4 registrerte elbilar i Noreg, i 01 var det og i 014 var det b) Korleis passar funksjonen frå oppgåve a) med desse verdiane? Vi reknar ut verdien modellen vår gjev for desse åra, sjå linje, og 4 nedanfor, eventuelt finn verdiane grafisk. Vi ser at verdien for 008 ligg noko under det verkelege talet. Verdiane modellen vår gjev for talet på elbilar i 01 og 014 er mykje lågare enn dei virkelege tala. Funksjonen vår passar svært dårleg for desse åra. Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 11 av 18

12 Oppgåve ( poeng) Eit kvadrat har sider med lengde 6. Kvadratet er delt i tre blå og éin kvit trekant. Sjå figuren ovanfor. Kvar av dei tre blå trekantane har like stort areal. Den kvite trekanten er likebeint. Bestem eit eksakt uttrykk for arealet av den kvite trekanten. Vi teiknar ein hjelpefigur og sett mål på dei ulike katetane på dei blå trekantane. I oppgåva står det at kvar av dei blå trekantane har like stort areal. Vi kan med det setje 6 x 6 x 6 x Vi løyser likninga i CAS og finn ein verdi for x Vi veit at sidene i kvadratet er 6. Det betyr at det berre er løysinga x 5 9 som kan brukast i dette tilfellet. Arealet av dei blå trekantane blir med det , sjå CAS-utrekning til høgre. Arealet av heile kvadratet er 6. Arealet av den kvite trekanten blir då Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 1 av 18

13 Oppgåve (4 poeng) Funksjonen f er gjeven ved f( x) x x a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til f ei rett linje som går gjennom punkta 1, f (1) og, f () ei rett linje som går gjennom punkta 0, f (0) og 4, f (4) tangenten til grafen til f i punktet, f () Vi teiknar grafen, linjene og tangenten i GeoGebra. Dei rette linjene teiknast ved å bruke kommandoen «Linje[<Punkt>, <Punkt>]» og tangenten ved å bruke kommandoen «Tangent[<Punkt>, <Funksjon>]» b) Bruk CAS til å vise at tangenten til grafen til f i punktet c, f( c ) er parallell med den rette linja som går gjennom punkta c h, f( c h ) og c h, f( c h ). Vi viser at stigningstalet til tangenten f' c og stigningstalet a til linja er like. Linjene er då parallelle. Vi ser at stigningstala er like, sjå linje og til venstre. Det betyr at linjene er parallelle. Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 1 av 18

14 Oppgåve 4 ( poeng) Eit rektangel har areal 8 og omkrins 5. Kor langt og kor breitt er rektangelet? Vi sett opp likningane for areal og omkrins av eit rektangel og løyser i CAS. Vi finn at lengda av rektangelet er 4 og breidda 1 (eller motsett). Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 14 av 18

15 Oppgåve 5 (5 poeng) Nedanfor ser du overskrift og utdrag frå ein artikkel på e4.no/bil i 014 etter at Statens vegvesen hadde gjort trafikkteljingar på eit vegstrekk. «I telleperioden ble det daglig registrert omtrent 150 elbiler, 10 busser og 100 drosjer i kollektivfeltet.» a) Vurder om det sitatet gjev grunnlag for overskrifta som er vald. Frå overskrifta har vi at 4 80% av køyretøya i kollektivfeltet er elbilar. I teljeperioden er denne prosentdelen 86%. Det er ikkje veldig stor forskjell mellom (150 0) 1570 prosentdelane, så det er grunnlag for overskrifta. Gå ut frå at fire av fem køyretøy i kollektivfeltet er elbilar og at du står langs dette vegstrekket i teljeperioden. b) Bestem sannsynet for at nøyaktig eitt av dei tre neste køyretøya som passerer deg i kollektivfeltet, er elbilar. Vi går no ut frå at fire av fem bilar i kollektivfeltet er elbilar, dvs. at sannsynet for elbil i kollektivfeltet er 0,8. Det er nøyaktig tre måtar det kan kome nøyaktig éin elbil i løpet av dei tre neste køyretøya. Den første bilen kan vere elbil og ikkje de to andre. Den mellomste er elbil og ikkje de to andre, eller den siste er elbil. Sannsynet for éin elbil er såleis: c) Bestem sannsynet for at minst to av dei tre neste køyretøya som passerer deg i kollektivfeltet, er elbilar. Sannsynet for at minst to av dei neste tre køyretøya er elbil er det same som å finne sannsynet for 1 éin eller ingen av dei neste tre køyretøya er elbilar. 1 1 Vi finn først sannsynet for at ingen av dei tre køyretøya er elbil: Sannsynet for at minst to av dei neste tre køyretøya blir: Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 15 av 18

16 Oppgåve 6 (7 poeng) Gjeve ABC slik at A 45, BC 6 og AC 8 a) Bruk CAS til å bestemme lengda av AB eksakt. Vi teiknar hjelpefigur. Vi brukar cosinusetninga og finn lengda av AB eksakt Vi finn to moglege løysingar av lengda AB, sjå linje ovanfor. I resten av oppgåva sett vi BC a. Ved å velje ulike verdiar for a kan vi få to trekantar, éin trekant eller ingen trekant. Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 16 av 18

17 b) Lag skisser som illustrerer dette. I oppgåve a) har vi illustrert ein trekant der a gjev to moglege trekantar. Om a blir 8 eller større vil vi berre få ein mogleg trekant. Lengda av a er då lengre enn vinkelbeinet AC. Vi får også ei løysing når BC står vinkelrett på AB. Vi får ingen trekant når BC ikkje rekk ned til vinkelbeinet AB. Dei to trekantane nedanfor viser døme på a der vi har éin mogleg trekant. Trekanten til høgre viser tilfellet der ein verdi av a ikkje gjev noko løysing. Sett AB x c) Bruk CAS til å bestemme for kva verdiar av a likninga a 8 x 16x cos 45 har to positive løysingar har éi løysing ikkje har løysing Bruk eksakte verdiar. Vi løyser likninga med omsyn på x og får løysninga som visast i linje til høgre. Om uttrykket under rotteiknet blir mindre enn 0 har vi inga løysing. Når uttrykket blir 0 har vi éi løysing og når uttrykket er større enn 0 har vi to løysingar. I linje og 4 finn vi for kva verdiar av a uttrykka under rotteikna er større enn lik 0. Vi ser bort frå dei negative løysingane. Det er to løysingar når 4 a 8, nøyaktig éi løysing når a 4 a 8 og inga løysing når a 4. Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 17 av 18

18 d) Vurder om svara i oppgåve c) samsvarar med skissene du laga i oppgåve b). Om vi tek omsyn til at a 8 gjev éi løysing, så samsvarar svara med skissene i oppgåve b. Kjelder Oppgåvetekst med grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT101 matematikk 1T hausten 015 Side 18 av 18