Eksamen S1 hausten 2014 løysing

Transkript

1 Eksamen S1 hausten 014 løysing Tid: timar Hjelpemiddel: vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Oppgåve 1 (3 poeng) Løys likningane a) x 10 xx 5 x x 10 x 5x 7x x 7 3 x x 5 x b) x lg 3 5 x lg x 10 x 00 Oppgåve (1 poeng) Bruk ei kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

2 Oppgåve 3 ( poeng) Løys likningssystemet x y4 4x 3y 1 y x4 4x 3 x 4 1 4x 6x1 1 x 3x 0 x x3 0 x 0 y x y Løysingane er 0,4,1 Oppgåve 4 ( poeng) Skriv så enkelt som mogleg a b lg lg ab lg b a a b lg lga b lg lg a lgb lg a lg b lg b lg a 5lg a b a Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

3 Oppgåve 5 (5 poeng) Funksjonen f er gjeven ved f x x x D f 3 3, a) Bestem f x. fx 3 x x x x 3 b) Bruk den deriverte til å bestemme eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. Set uttrykket for deriverte lik null. x x 0 x x1 0 x 0 x 1 Vi veit no at uttrykket xx 1 er lik null når x 0 og når x 1. Det er berre for desse verdiane av x at uttrykket kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøvar for x - verdiar mindre enn 0, x - verdiar mellom 0 og 1 og for x - verdiar større enn 1. xx 1 Vi set inn x 1og finn: " " negativ Vi set inn x og finn: 1 " " positiv Vi set inn x og finn: 1 " " negativ Vi kan då setje opp forteiknslinja - verdiar Grafen til funksjonen fell i intervalla,0 og 1, og stig i intervallet 0,1. Det tyder at x 0 er eit minimalpunkt og x 1 er eit maksimalpunkt. Botnpunkt 0, f 0 0, Toppunkt 7 1, f 1 1, 1 1, 3 3 c) Rekn ut f 3. Forklar ved hjelp av det du fann i oppgåve b), at f berre har eitt nullpunkt. 3 f Grafen av funksjonen er kontinuerleg i definisjonsområdet. Funksjonen har ingen nullpunkt i intervallet,0 fordi grafen av funksjonen fell i dette intervallet mot Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

4 botnpunktet, som har positiv y -verdi, og grafen kryssar ikkje x -aksen. I intervallet 0,1 stig funksjonsverdien frå til 7 3 og vil dermed heller ikkje krysse x -aksen. I intervallet 1, fell funksjonen, og vil dermed krysse x -linja ein gong, og vi har derfor berre eit nullpunkt. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

5 Oppgåve 6 (4 poeng) Med bokstavane A, B, C og D skal vi lage ein kode på tre bokstavar. a) Kor mange ulike kodar kan vi lage dersom vi tillèt at éin bokstav kan brukast fleire gonger? 3 Ordna utval med tilbakelegging: ulike kodar b) Kor mange ulike kodar kan vi lage dersom kvar bokstav kan brukast berre éin gong? Ordna utval utan tilbakelegging: ulike kodar c) Kor mange ulike kodar kan vi lage dersom kvar av kodane skal innehalde minst to like bokstavar? Tal kombinasjonar for tre like bokstavar: 4 Tal kombinasjonar for to like bokstavar: Tal kombinasjonar til saman: ulike kodar Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

6 Oppgåve 7 (5 poeng) Ei bedrift produserer x einingar av ei vare. Einingskostnaden eining er gjeven ved 0000 Ex 4x 100, x 0 x E x kroner per produsert a) Kor stor er einingskostnaden dersom bedrifta produserer 00 einingar av vara? Kva blir då den samla produksjonskostnaden? 0000 E Einingskostnaden ved produksjon av 00 varer er 100 kr Samla produksjonskostnad er kr kr Bedrifta har inngått ein avtale der dei får selt alt dei produserer, for 000 kroner per eining. b) Forklar at overskotet O i bedrifta når det blir produsert x einingar, er gjeve ved O x 4x 800x 0000 Overskot = Inntekt kostnad 0000 Ox 000x Ex x 000x 4x 100 x 000x 4x 100x 0000 x 4x 800x 0000 c) Kva for ei produksjonsmengd gjev størst overskot? Størst overskot finn vi ved x-verdien til toppunktet av andregradsfunksjonen O x, som vender den hole sida si ned pga. negativ koeffisient framfor andregradsleddet. b 800 Vi finn symmetriaksen ved x 100 a 8 Ei produksjonsmengd på 100 einingar vil gje det største overskotet. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

7 Oppgåve 8 ( poeng) Funksjonen f er gjeven ved 3 f x x x D, f Bruk definisjonen til den deriverte til å vise at x0 x0 x0 x0 f x 3x f( x x) f( x) ( x x) ( x x) x x f x lim lim x0 x x0 x lim 3 x xx x ( x x) x x x x x 3x x x x x x lim x x x x x x x x x x x x x x x lim x lim x x xx x 3 1 x 3x 1 Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

8 Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Oppgåve 1 (4 poeng) Funksjonen f er gjeven ved f x x 3x 5, D f a) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet, vekstfarten til f i intervallet 1,3. Vi bruker CAS i GeoGebra. f og den gjennomsnittlege Den momentane vekstfarten i punktet, f er lik 7. Den gjennomsnittlege vekstfarten til f i intervallet 1,3 er lik 7. b) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet, vekstfarten til f i intervallet 1, 1 a f a og den gjennomsnittlege a a. Talet a er ein konstant. Samanlikn svara og kommenter. Bruker same framgangsmåte som i oppgåve a), men byter ut talet med a. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

9 Vi ser at den momentane vekstfarten til f i punktet a, f( a ) er lik den gjennomsnittlege vekstfarten til f i intervallet a1, a 1. Dette gjeld for alle verdiar av a. Det er interessant av vi her har funne ein ny metode for å rekne ut den deriverte i eit punkt for akkurat denne funksjonen. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

10 Oppgåve (5 poeng) For nøyaktig tre år sidan sette Per inn kroner på ein sparekonto. Kontoen har ei fast årleg rente på 4,0%. a) Kor mykje pengar har Per på sparekontoen i dag? Per har 11 48,64 kr på sparekontoen etter 3 år. b) Kor mange år vil det gå frå han sette inn pengane, til han har kroner på kontoen, dersom han lèt pengane bli ståande på kontoen? Vi løyser likninga Det vil ta omtrent 3,4 år før Per har kr i banken. Per bestemmer seg for å setje inn meir pengar på kontoen. c) Kor mykje pengar må han setje inn på sparekontoen i dag for at det til saman skal stå kroner på kontoen om sju år? Vi løyser likninga Per må setje inn 7750 kr i dag for å kunne ta ut kr om 7 år. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

11 Oppgåve 3 (6 poeng) På ei bussrute er det 10 stoppestader i tillegg til endehaldeplassen. Dersom bussen køyrer ruta utan å stoppe, tek turen 0 min. For kvar gong bussen stoppar, går det eitt minutt ekstra. Sannsynet for at bussen må stoppe på ein vilkårleg stoppestad er 0,40. a) Bestem sannsynet for at bussturen tek nøyaktig 3 min. Vi har ein binomisk situasjon med p0,40 og n 10, og finn sannsynet for at bussen stoppar 3 gonger. Sannsynet for at bussturen tek 3 minutt er 1,5. b) Bestem sannsynet for at bussturen tek mindre enn 5 min. Vi har ein binomisk situasjon med p0,40 og n 10, og finn sannsynet for at bussen stoppar 0, 1,, 3 eller 4 gonger. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

12 Sannsynet for at bussturen tek mindre enn 5 minutt er 63,3 %. Ein dag er det billettkontroll. I bussen er det 30 passasjerar. Fire av dei har ikkje billett. Fem vilkårlege passasjerar blir kontrollerte. c) Bestem sannsynet for at minst éin av dei fire utan billett blir kontrollert. Vi har ein hypergeometrisk situasjon med populasjon på 30, n 4 utan billett og utvalet er 5. Finn sannsynet for at 1,, 3 eller 4 blir trekte ut. Det vil vere 53,8 % sannsyn for at minst éin av dei utan billett blir trekte ut. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

13 Oppgåve 4 (6 poeng) 3 Ein vasstank har form som ei rett kjegle. Tanken er 10,0 m høg. Ei pumpe fyller 18 m vatn på tanken kvar time. Det blir ikkje tappa noko vatn ut av tanken. Tabellen viser vasstanden i tanken ved ulike tidspunkt. Tid i timar Vasstand i meter 3,3 4, 5, 6,0 6,6 7,1 a) Set punkta frå tabellen inn i eit koordinatsystem med tida langs x-aksen og vasstanden langs y-aksen. Lag ein potensfunksjon som passar med tala frå tabellen. La inn tabellen i rekneark i GeoGebra. Brukte regresjonsanalyse. Potensfunksjonen for høgda på vasstanden i meter etter tida x i timar, er 0,33 h x 3,31 x. b) Bestem kor mange timar det går før tanken er full. Kor mykje vatn er det i tanken då? Tanken er full når høgda er 10 meter. Løyser likninga Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

14 Etter 8,5 timar (8 timar og omtrent 30 minutt), er tanken full. 3 3 Det blir fylt 18 m per time, så etter 8,5 timar er det 513, m i tanken. Det skal byggjast ein ny tank med same form, men høgare. Den nye tanken skal romme m. c) Kor lang tid tek det for pumpa å fylle den nye tanken? Kor høg blir den nye tanken? 3 Pumpa fyller 18 m per time. Vi løyser likninga 3 Pumpa bruker timar (55 timar og 34 minutt) på å fylle opp 1000 m. Vi finn høgda i den nye tanken ved å rekne ut h 55,55 1,46 der vi føreset at modellen frå oppgåve a) også gjeld for den nye tanken. Høgda i den nye tanken er 1,5 m. Oppgåve 5 (5 poeng) Avstanden mellom byane A og B er 00 km. Ein bil startar i A og køyrer mot B med farten 60 km/h. Vi set i gang ei klokke idet bilen i A startar. Ein annan bil startar i B 0 min seinare og køyrer mot A med farten 40 km/h. La t vere tida klokka viser, målt i timar. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

15 a) Forklar at likningssystemet nedanfor kan brukast til å bestemme kor langt det er frå A til staden der bilane møtest. s60t 1 s t 3 Strekninga som bil A køyrer med farten 60 km/timar er gjeven ved s v t 60t. Bil B startar 00 kilometer frå bil A, og køyrer med farten v= 40 km/t i motsett retning. Tida til bil B er 0 minutt (1/3 time) mindre enn bil A. 1 s 00 ( v t) 00 40t 3 b) Løys likningssystemet og bestem kor langt frå A dei møtest. Bilane møtest 18 kilometer frå A. Gå ut frå at føraren av bilen som startar i B, ønskjer at dei skal møtast midt mellom dei to byane. c) Bestem kva fart bilen hans må ha for at dette skal skje. Midt mellom byane gjev s 100, Vi bereknar tida ut frå bil A. Vi set farten lik x og løyser likninga Bilen som startar i B må ha farten 75 km/t for at dei to bilane skal treffast midt mellom byane. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

16 Oppgåve 6 (3 poeng) Vi skal lage ei pakke med form som eit rett prisme. Pakka har breidd lik y cm, lengd lik x cm og høgd lik x cm. Vi vil sikre pakka med svart pakkeband. Sjå figuren nedanfor. Vi ser at lengda av pakkebandet er 8x 4y. Vi vil lage pakka slik at ho har størst mogleg volum når vi bruker akkurat 900 cm med pakkeband. a) Vis at volumet Vx av pakka kan skrivast som V x x 5x 3 Avgrensing av pakkeband 8x 4y 900 y x 5 Volum l bh x y x x 5 x 5x 3 b) Bestem x og y slik at volumet av pakka blir størst mogleg. Kommenter svaret ditt. Bestem det største volumet, målt i kubikkdesimeter. Vi deriverer volumfunksjonen og finn toppunktet i CAS i GeoGebra. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

17 Vi sjekkar at punktet er eit toppunkt ved å sjå at deriverte endrar seg frå positivt til negativt. Øskja har størst volum når x 75 og y x 5 75, altså når øskja er ein kube med like sider. Størst mogleg volum er cm 4 dm Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

18 Oppgåve 7 (7 poeng) Ein matbutikk lagar to typar kjøtkaker. Tabellen nedanfor viser kor mykje kjøtdeig og mjøl som går med til å lage 1 kg kjøtkaker for kvar av dei to typane. Kjøtkaketype Kjøtdeig Mjøl A 0,40 kg 0,60 kg B 0,80 kg 0,0 kg Matbutikken har kvar veke tilgang på 1000 kg kjøtdeig og 800 kg mjøl. La x vere tal kilogram kjøtkaker av type A og y tal kilogram kjøtkaker av type B som blir laga kvar veke. a) Forklar at x og y må oppfylle ulikskapane nedanfor. x 0 y 0 0,60x0,0y 800 0,40x0,80y 1000 Ulikskapane avgrensar eit område. Marker dette området i eit koordinatsystem. x0 og y 0 : Både tal kilogram kjøtdeig og mjøl må vere positive. 0,60 x0,0 y 800 : Forbruket av mjøl i dei to typane kan ikkje vere meir enn 800 0,40 x0,80 y 1000 : Forbruket av kjøtdeig i dei to typane kan ikkje vere meir enn Vi teiknar linjene i GeoGebra, bruker kommandoen "Skjering mellom to objekt", og Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

19 teiknar ein mangekant gjennom skjeringspunkta. Prisen på kjøtkaker av type A er 70 kroner per kilogram. Prisen for type B er 110 kroner per kilogram. b) Gå ut frå at butikken får selt alle kjøtkakene. Kor mykje av kvar type kjøtkaker må dei produsere for at salsinntektene skal bli størst mogleg? Vi set inn linja 70x110y0 inn i GeoGebra, og parallellforskyver den til vi finn punktet i det skraverte området der salsinntektene er størst mogleg. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

20 Vi finn at salsinntekta blir størst i punkt A. Då må dei selje 1100 kg kjøtkaker av type A og 700 kg kjøtkaker av type B. Ei veke er ein av dei tilsette i butikken sjuk. Dei klarer derfor ikkje å produsere meir enn 1500 kg kjøtkaker til saman. c) Kor mykje av kvar kjøtkaketype må dei produsere denne veka for at salsinntektene skal bli størst mogleg? Vi teiknar inn linja xy1500 i GeoGebra, og finn skjeringspunkta mellom linjene med kommandoen "Skjering mellom to objekt". Vi skraverer deretter det nye området. For å finne størst mogleg salsinntekter, parallellforskyver vi linja 70x110y 0 til den treffer punktet i det skraverte området som gjev størst mogleg salsinntekt. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

21 Vi ser at størst mogleg salsinntekter oppnår vi i punktet E. Då må dei produsere 500 kg kjøtkaker av type A og 1000 kg kjøtkaker av type B. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing

22 Kjelder Oppgåver med bilete, teikningar og grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet Løysingar: Elisabet Romedal, NDLA matematikk. Eksamen MAT306 Matematikk S1 hausten løysing