6. Beregning av treghetsmoment.

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "6. Beregning av treghetsmoment."

Transkript

1 Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 1 6 Beregning v treghetsmoment 61 Definisjoner Først de grunnleggende definisjonene: Momentkse r m en liten punktformet prtikkel med msse m h en vstnd r fr en kse D er denne prtikkelens treghetsmoment om ksen definert ved = m r ksen klles gjerne for momentkse i kn tenke oss t et legeme estår v mnge slike prtikler D får vi: Dersom et legeme estår v n prtikler der prtikkel nr i hr msse mi og vstnd ri fr en momentkse, er legemets treghetsmoment om denne momentksen n = i i= 1 mr i egg merke til t treghetsmomentet er ikke en egenskp ved et legeme slik for eksempel msse er Treghetsmomentet vhenger v legemets posisjon i forhold til momentksen prksis er det vnligvis ikke mulig å foret en summering slik definisjonen ovenfor ngir i entter heller integrsjon D ntr vi t legemet er gd opp v småiter, der en it med msse dm hr vstnd r fr ksen D får vi: Treghetsmomentet til et legeme om en kse er = rdm der r er vstnden fr et msse-element dm til ksen, og integrsjonen ts over hele legemet Denne definisjonen fører til t vi generelt må integrere i rommet, noe som krever kjennskp til trippelintegrl i skl imidlertid egrense oss til spesielle situsjoner der vi klrer oss med vnlige enkelt-integrl i skl også se på et pr hjelpesetninger som vil forenkle eregningen v treghetsmoment 6 Treghetsmomentet for en linje i et pln i skl nå eregne treghetsmomentet for et legeme som kn etrktes som en tnn linje i et pln i skl l momentksen stå vinkelrett på legemets pln i skl forutsette t det tnne legemet er homogent, noe som l inneærer t tettheten er konstnt For et slikt legeme er det nturlig å uttrkke tettheten i kg/m Dersom legemet hr lengde og msse m, og vi plukker ut et tilfeldig lite element med lengde ds og msse dm, er tettheten Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1

2 Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side m dm m ρ = = dm = ds ds D lir treghetsmomentet om en kse vinkelrett på legemets pln m m = rdm= r ds= rds der r er vstnden fr ksen til et ue-element ds, og vi integrerer over hele legemet Eksempel 61: Finn treghetsmomentet for en tnn stv med lengde og msse m om disse ksene: ) ksen står vinkelrett på stven gjennom stvens ene ende ) ksen står vinkelrett på stven gjennom stvens midtpunkt C (stvens mssesenter) øsning: ) Situsjonen er illustrert nedenfor: Her er d et lite msse-element på stven, mens er vstnden fr msse-elementet til ksen D lir treghetsmomentet om ksen gjennom : m m 1 m 1 1 = d m = = = ) Situsjonen er illustrert nedenfor: Nå lir treghetsmomentet om ksen gjennom C: m m 1 m 1 1 C = d ( ( ) ( ) ) m 1 = = = i skl senere vise t når vi kjenner treghetsmomentet til et legeme om legemets mssesenter, kn vi ruke Steiners setning (prllellkse-setningen) til å finne legemets treghetsmoment om enhver nnen kse prllell med ksen gjennom mssesenteret Neste eksempel er dskillig mer komplisert, og inneholder en integrsjonsteknisk finesse Eksempel 6: Finn treghetsmomentet for en tnn ring med rdius og msse m om en kse lngs en dimeter øsning: i vet t lengden v ringen er = π Så plsserer vi ringen med sentrum i origo som vist på figuren til venstre nedenfor, og ruker -ksen som momentkse i plukker ut et lite ue-element ds Nå lir integrsjonene enklest dersom vi entter vinkelen θ som integrsjonsvriel v figuren ser vi t = cosθ idere vet vi t når vinkler måles i rdiner, lir Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1

3 Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side ds dθ = ds = dθ D får vi: m θ= π m π = ds ( cos ) d = θ θ θ = π m π = cos θdθ π ntegrlet løses enklest når vi husker t 1 1 cos( θ ) = cos θ 1 cos θ = + cos ( θ ) D lir m π m π 1 1 m π = cos θdθ ( cos ( θ) ) dθ θ sin ( θ) π = π + = π + m m 1 = ( π + sin 4 ( 4π) sin 4 ) = π = m π π Oppgve 61 6 Treghetsmoment for plnt legeme For et plnt legeme (ei flte) er det nturlig å uttrkke tettheten i kg/m Dersom legemet er homogent, lir tettheten m dm m ρ = = dm = d d der m og er flts msse og rel, mens dm og d er msse og rel til et lite flte-element D lir treghetsmomentet om en kse gitt ved: m m = rdm= r d = rd der r er vstnden fr flte-elementet til ksen, og vi integrerer over hele flt i skl i første omgng egrense oss til et spesiltilfelle: Flt vgrenses v grfene til to funksjoner f og = f, og v de to rette linjene = og = Dessuten skl 1 = 1( ) ( ) vi l -ksen være momentkse Se figuren nedenfor til venstre r = d = f () = f 1 () Her merker vi oss t det skrverte flte-elementet med redde d og høde h= 1 hr vstnd fr - ksen og rel d = h d = ( 1) d Hvis > 1 når, lir flts treghetsmoment om -ksen m m = rd ( 1) d = Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1

4 Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 4 Eksempel 6: Finn treghetsmomentet til en rettvinklet treknt om en v trekntens kteter øsning: Setter t trekntens kteter hr lengder og Plsserer treknten i et koordintsstem som vist til venstre D vgrenses treknten v koordintksene og grfen til den rette linj = + 1 relet v treknten er = Treghetsmomentet om -ksen lir m m ( ) m = d d d d = + = + m m = + = + = m Hittil hr vi kun sett på treghetsmoment om -ksen Men vi kn finne treghetsmoment om - ksen på smme måte Oppgve 6 (Du får ruk for resulttene i neste oppgve) Dersom vi kjenner treghetsmomentene for ei pln flte som ligger i -plnet om åde - og -ksen, kn vi finne treghetsmomentet for flt om en kse som står vinkelrett på plnet gjennom origo ved hjelp v setningen nedenfor: Setningen om det polre treghetsmomentet: Et plnt legeme plsseres i -plnet Treghetsmomentene om -ksen og om -ksen klles henholdsvis og D lir treghetsmomentet om en kse vinkelrett på det plne legemet gjennom origo = + z Bevis: z r m Figuren viser et plnt legeme som ligger i -plnet vstnden fr origo til et mssepunkt m i er r i v figuren ser vi t ri = i + i D lir treghetsmomentet til det plne legemet om z- ksen = mr = m + ( ) z i i i i i = m + m = + Nedenfor ser du et eksempel på ruken v denne setningen i i i i Eksempel 64: Finn treghetsmomentet til en rettvinklet treknt om en kse vinkelrett på treknten gjennom ktetenes skjæringspunkt Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1

5 Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 5 øsning: Fr Eksempel 1 vet vi t treghetsmomentet for treknten om - 1 ksen er = m En omtting v - og - ksene gir direkte 6 1 t treghetsmomentet om -ksen må lir = m D lir 6 treghetsmomentet om z-ksen (en kse vinkelrett på plnet gjennom origo) = + = m + m = m + = ml z ( ) der den siste omformingen følger direkte v Ptgors Oppgve 6 64 Treghetsmoment for rotsjonssmmetrisk legeme i skl igjen forutsette t legemet er homogent, slik t tettheten ρ er gitt ved m dm m ρ = = dm = d d der m er mssen og er volumet til legemet D lir treghetsmomentet til et romlegeme om en kse gitt ved m m = rdm= r d = rd der vi må integrere over hele legemet Generelt vil det kreve et trippel-integrl Men noen gnger kn vi klre oss med vnlige integrl Dette gjelder spesielt hvis legemet er rotsjonssmmetrisk og smmetriksen er momentkse D kn vi eregne treghetsmomentet ved hjelp v slinderskllmetoden som du forhåpentlig kjenner fr før r = ( ) = f r = h= f ( ) g( ) h= f ( ) g( ) ( ) = g For sikkerhets skld skl vi repetere hovedtrekkene ei flte i -plnet være vgrenset v grfene til de to funksjonene 1 = f ( ) og = g( ), linjene = og = slik figuren til venstre ovenfor viser Jeg skffer meg et rotsjonslegeme med -ksen som smmetrikse ved å rotere denne flt om -ksen inj PQ som hr vstnd fr ksen skper d ei slinderflte med rel = π h = π( f ( ) g( ) ) Utenpå denne slinderflt legger vi et tnt sjikt med tkkelse d D får vi et slinderskll med volum d = d = π f g d ( ( ) ( )) Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1

6 Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 6 slik t treghetsmomentet til hele legemet om -ksen lir = m = m = dm = d π ( f ( ) g ( ) ) d = = = π m = ( f ( ) g ( )) d Noen gnger må vi også finne volumet til legemet Det gjør vi også med slinderskll- metoden: = π ( f ( ) g( ) ) d nnsetting og forkorting v π gir nå t treghetsmomentet om -ksen lir = m ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) f g d f g d Prøv selv å sette opp formel for treghetsmomentet om -ksen når -ksen er smmetrikse! Eksempel 65: En rett slinder hr høde h og sirkelformet rdius Finn treghetsmomentet til denne slinderen om smmetriksen øsning: et t volumet v en slinder er = π h formelen for treghetsmoment settes f ( ) = h og g( ) =, og vi får t treghetsmomentet om -ksen lir π m π m m ( ( ) ( )) = f g d ( h ) d h d = π h = h m 1 4 m = = = m 4 4 Eksempel 66: En rett kjegle hr høde h og sirkelformet rdius Finn treghetsmomentet til denne kjeglen om kjeglens smmetrikse øsning: et t kjeglen hr volum h koordintksene og grfen til den rette linj = + h roterer om -ksen (se figur til 1 = π h Kjeglen frmkommer når flt vgrenset v h Eksempel 1) formelen for treghetsmoment settes d f ( ) = + h og g( ) =, og vi får t treghetsmomentet om -ksen lir πm πm h = ( f ( ) g( ) ) d h d 1 = π h + 6m 4 6m h = d h d h 5 4 h h + = h + 6m = ( h + h 5 4 ) = m 1 h Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1

7 Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 7 Eksempel 67: Finn treghetsmomentet for ei kule med msse m og rdius om en kse gjennom kuls sentrum øsning: r = h= = Her hr jeg stt inn t volumet v ei kule er Figuren til venstre viser den sirkeluen som roterer om - ksen, og som dnner øvre hlvkule Nedre hlvkule lir helt lik D lir treghetsmomentet om -ksen: π m = ( ) d π m = ( )( d) 4 π 4 = π, og hr husket t når nedre hlvkule ts = idere hr jeg foreredt sustitusjonen med lir høden h du =d u = = u Jeg setter inn, forkorter, og entter t når = er u =, og når = er u = D lir m 1 m m 5 = ( u)( u)( du) ( u u ) du u u 5 = = m 5 m 4 5 = ( 5 ) = = m 15 5 Oppgve Smmenstte legemer nt t et legeme er stt smmen v to ndre legemer som hr treghetsmoment = rm og rm 1 i i 1 = i i om smme momentkse Det smmenstte legemet får d treghetsmoment = rm= rm+ rm= i i i i i i Denne formelen kn lett utvides til flere del-legemer i kn ltså legge smmen treghetsmomentene til de to legemene prinsippet er dette enkelt prksis kn det oppstå prolemer fordi den formelen for treghetsmomentet til det smmenstte legemet som vi skl frm til, inneholder mssen til hele legemet, mens formlene for treghetsmomentene til del-legemene inneholder mssene til disse del-legemene Dersom dellegemene hr smme tetthet kn vi løse dette prolemet slik: m1 og 1 være henholdsvis msse og volum til del-legeme 1, mens m og er msse og volum til hele det smmenstte legemet D er m1 m 1 ρ = = m1 = m 1 På denne måten finner vi mssen til hvert del-legeme uttrkt ved mssen til hele legemet Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1

8 Eksempel 68: Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 8 Et legeme med msse m estår v en rett slinder med rdius og høde H, som hr en rett kjegle med rdius og høde H festet til toppflten Slinderen og kjeglen hr felles smmetrikse Finn treghetsmomentet til legemet om smmetriksen øsning: Slinderen hr volum S = π H, mens kjeglen hr volum volum for hele legemet er d 1 H H 4 = + = π + π = π H S K m være mssen til det smmenstte legemet Slinderens msse lir d S π H ms = m = m = m, 4 4 π H mens kjeglens msse lir 1 π H K 1 mk = m = m = m 4 4 π H i hr llerede funnet t slinderens treghetsmoment om smmetriksen er 1 S = m S, og t kjeglens treghetsmoment om smmetriksen er K = m 1 K egemets treghetsmoment om smmetriksen lir d = + = m + m = m + m = m S K S 1 K K 1 = π H Smlet i kn ruke smme prinsipp dersom vi fjerner en it fr et legeme Dersom et legeme med treghetsmoment frmkommer ved t vi fjerner en it med treghetsmoment 1 fr et nnet legeme med treghetsmoment, lir = 1 Det forutsettes t lle treghetsmomentene regnes om smme kse Eksempel 69: Et legeme med msse m frmkommer ved t en hlvkuleformet hulning med rdius freses ut v toppflten i en slinder med høde H = og rdius Hlvkul og slinderen hr felles smmetrikse Finn treghetsmomentet til dette legemet om smmetriksen øsning: olumet til legemet er = = π H π = π π = π S 1 K Mssen til slinderen (før utfresingen v hlvkul) vr S π ms = m = m = m, 4 π mens mssen v den utfreste hlvkul er Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1

9 Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side K π 1 m1 = m = m = m K 4 π Treghetsmomentet til slinderen (før utfresingen v hlvkul) vr 1 1 = m = m = m S S 4 Hlvkul hr hlvprten så stort treghetsmoment (om smmetriksen) som ei hel kule Men mssen til hlvkul er også hlvprten så stor som mssen til ei hel kule Dermed får vi t = m = m = m = m = m ( k) ( ) ( ) 1 K 5 k K 5 5 lt i lt lir nå treghetsmomentet til legemet vårt om smmetriksen 1 11 = = m m = m S 1 K 4 5 Eksempel 61: Bruk dette prinsippet til å finne formelen for treghetsmomentet til en hul slinder med msse m, indre rdius 1 og tre rdius øsning: i tenker oss t den hule slinderen frmkommer ved t vi strter med en mssiv 1 slinder med volum 1 = π 1 H og treghetsmoment 1 = m 1 1 Så freser vi ut en slinder 1 med volum = π H og treghetsmoment = m Når mssen til den hule slinderen er m, lir mssene til disse to slinderne: 1 1 H m = 1 m m m = π π H π1 H = 1, 1 H m = m m m = π π H π1 H = 1 D lir treghetsmomentet til den hule slinderen m 1 m1 = 1 = m m 1 1 = 1 ( + )( ) 1 1 = = = m m m 1 1 ( 1 ) Dette resulttet kn vi også finne ved å entte frmgngsmåten i Eksempel 65, og integrere fr til 1 En liten kontroll til slutt: Dersom slinderveggen er så tnn t 1 =, lir treghetsmomentet = m 1 ( + ) = m Det er jo helt nturlig, siden lle mssepunktene d hr smme vstnd fr ksen Oppgve 65 Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1

10 Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 1 66 Steiners setning (prllellkse-setningen) Det er vnlig t teller oppgir formler for treghetsmoment om en kse gjennom legemets mssesenter Dersom vi hr ruk for treghetsmomentet til legemet om en nnen kse prllell med ksen gjennom mssesenteret, kn vi ruke setningen nedenfor: Steiners setning (prllellkse-setningen): C være treghetsmomentet for et legeme med msse m om en kse gjennom mssesenteret P være treghetsmomentet for dette legemet om en nnen kse som er prllell med ksen gjennom mssesenteret, i vstnd D fr denne D er = + md P C Beviset for setningen er litt kronglete, og er dttet ut i et vedlegg i skl heller se på hvordn setningen kn rukes Eksempel 611: is t resulttene fr Eksempel 61 stemmer med Steiners setning 1 øsning: i fnt t stvens treghetsmoment om mssesenteret vr C = m Steiners 1 setning gir nå t treghetsmomentet om en prllell kse gjennom et endepunkt er = + m = m + m = m C ( ) 1 4 Dette stemmer med resulttet i Eksempel 61 Eksempel 61: Beregn treghetsmomentet til en slinder om en kse lngs slinderens sideknt, prllelt med smmetriksen 1 øsning: Siden treghetsmomentet for en slinder om smmetriksen er C = m, og mssesenteret ligger på smmetriksen, lir treghetsmomentet om en kse lngs en sideknt i vstnd fr smmetriksen 1 = + m = m + m = m P C Oppgve 66 Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø 1

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor: Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn

Detaljer

I = (xy + z 2 ) dv. = z 2 dv. 1 1 x 1 x y z 2 dz dy dx,

I = (xy + z 2 ) dv. = z 2 dv. 1 1 x 1 x y z 2 dz dy dx, TMA5 Mtemtikk Vår 7 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 8 Alle oppgvenummer referer til 8 utgve v Adms & Essex Clculus: A Complete Course 57: Vi

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Integrasjon.

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Integrasjon. De grunnleggende definisjonene L oss strte med følgende prolem: Gitt en ontinuerlig funsjon y = f der f for [, ] Beregn relet A som er vgrenset v grfen til f, -sen, og de to vertile linjene = og = Vi n

Detaljer

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt. Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 8. a =

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 8. a = TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslg til ving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, s elektronets kselersjon blir = e m E lts mot venstre. b) C Totlt elektrisk felt i

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Øving 9. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt.

Øving 9. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt. Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromgnetisme år 2009 Øving 9 eiledning: Mndg 09. og fredg 13. (evt 06.) mrs Innleveringsfrist: Fredg 13. mrs kl. 1200 (Svrtbell på siste side.) Opplysninger:

Detaljer

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

Eksamen våren 2018 Løsninger

Eksamen våren 2018 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y

Detaljer

dx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1

dx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1 NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c)

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 10 % v 60 er 0,1 60 = 6. Prisen øker d med 6 kr. Vren vil derfor koste 60 kr + 6 kr = 70

Detaljer

Eksamen R2, Va ren 2014, løsning

Eksamen R2, Va ren 2014, løsning Eksmen R, V ren 04, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler er tilltt. Oppgve ( poeng) Deriver funksjonene ) f sin Vi bruker kjerneregelen på sin,

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx. MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

x 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,

x 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n, Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO:. ugust 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og fleing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

1 Mandag 18. januar 2010

1 Mandag 18. januar 2010 Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

1 Mandag 8. mars 2010

1 Mandag 8. mars 2010 1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

Vår 2004 Ordinær eksamen

Vår 2004 Ordinær eksamen år Ordinær eksmen. En bil kjører med en hstighet på 9 km/h lngs en rett strekning. Sjåføren tråkker plutselig på bremsene, men gjør dette med økende krft slik t (den negtive) kselersjonen (retrdsjonen)

Detaljer

Løsningsforslag, Midtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl Oppgavene med kort løsningsforslag (Versjon A)

Løsningsforslag, Midtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl Oppgavene med kort løsningsforslag (Versjon A) Institutt for fysikk, NTNU FY100 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2009 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve fredg 1. mrs 2009 kl 1415 1615. Fsit side 10. Oppgvene med kort løsningsforslg

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert mrs 005 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 2. Bokmål Fsit Oppgveok Kpittel 2 Bokmål Kpittel 2 Treknteregning 2.1 75 c 50 e 50 70 d 80 f 53 2.2 B og D er rettvinklet A og C er likeeint 2.3 8,9 m 2.4 J Nei c J 2.5 10,4 cm 6,4 cm c 8,9 cm 2.6 ---- 2.7 115 m

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2007

Oppfriskningskurs i matematikk 2007 Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner

Detaljer

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x. NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så 2y +y = 2e +e = e. b) En hr t y = e 2 e (/2), så 2y +y = 2e e (/2) +e +e (/2) = e. c) En hr

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert oktoer 003 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10 FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t

Detaljer

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud Multippel integrsjon. Geir Ellingsrud 2. pril 24 2 NB: Dette er en midlertidig versjon dtert 2. pril 24. Den kommer til å bli utvidet og korrigert fortløpende!!. Dobbelt integrlet over rektngler og iterert

Detaljer

Eksamen høsten 2015 Løsninger

Eksamen høsten 2015 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1, 4 4 = = 6 0, 4 4 Du kn innt mksimlt 6 g slt per dg. 00 0,8 0,8, 4 100 = = Én porsjon pizz

Detaljer

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 4. Bokmål Fsit 9 Oppgvebok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Geometri og beregninger Arel og omkrets 4.1 54 m b 106 m 4.2 162 m2 b 484 m2 4.3 26,0 cm2 b 22,5 cm2 c 20,0 cm2 d De tre rektnglene hr lik omkrets, 21 cm 4.4

Detaljer

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06 MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte

Detaljer

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y

Detaljer

Tillegg om integralsatser

Tillegg om integralsatser Kpittel 7 Tillegg om integrlstser 7.1 Integrlstser, fundmentlstser Fr et mtemtiske snspunkt er integrlstser beslektet med b f) d = fb) f) b β dr = βr b ) βr ) der den første klles nlsens fundmentlteorem,

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

Løsningsforslag, Midtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl Oppgavene med kort løsningsskisse

Løsningsforslag, Midtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl Oppgavene med kort løsningsskisse Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2008 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Fsit side 12. Oppgvene med kort løsningsskisse

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

Kap. 3 Krumningsflatemetoden

Kap. 3 Krumningsflatemetoden SIDE. KRUMNINGSFLTEMETODEN I kpittel. og. hr vi sett t en bjelkes krefter og deformsjon kn beskrives ved fire integrler som henger smmen : Skjærkrft : V d Vinkelendring : φ M d Moment : M V d Forskyvning

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer Løsninger v oppgvene i ok R kpittel 4 Tredimensjonle vektorer Løsninger v oppgvene i ok 4. Vi tegner punket A i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v A med linjestykker ut fr punktene (4,0,0) på x-ksen og

Detaljer

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12). MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense

Detaljer

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

MAT 100A: Mappeeksamen 4

MAT 100A: Mappeeksamen 4 . november, MAT A: Mppeeksmen Løsningsforslg Oppgve ) Vi bruker produktregelen: f (x) x rctn x + x + x Siden x og rctn x hr smme fortegn, og x ldri er negtiv, er f (x) positiv overlt, bortsett fr t f ().

Detaljer

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå

Detaljer

2 π[r(x)] 2 dx = u 2 du = π 1 ] 2 = π u 1. V = π. V = π [R(x)] 2 [r(x)] 2 dx = π (x + 3) 2 (x 2 + 1) 2 dx = 117π 5.

2 π[r(x)] 2 dx = u 2 du = π 1 ] 2 = π u 1. V = π. V = π [R(x)] 2 [r(x)] 2 dx = π (x + 3) 2 (x 2 + 1) 2 dx = 117π 5. NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 6 Avsnitt 6. 7 Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er π[r(x)] 2 dx 3 Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er L u

Detaljer

Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 15, (13).

Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 15, (13). Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5..7 (..7) Kurven r( t) (, t, t), t ligger i - plnet. Dette gir lterntiv b eller f. Setter inn t som gir punktet (, ) som bre er med i lterntiv f. Vi

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 24. mai = 2πrlɛE(r) = Q innenfor S =

Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 24. mai = 2πrlɛE(r) = Q innenfor S = Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for elektronikk og telekommuniksjon Side 1 v 5 Løsningsforslg TFE4120 Elektromgnetisme 24. mi 2011 Oppgve 1 ) Av symmetrigrunner må det elektriske

Detaljer

Eksamen høsten 2016 Løsninger

Eksamen høsten 2016 Løsninger DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve f x x x f ( x) = 4x 5 ( ) = 5 6 gx ( ) = xln x Vi deriverer med produktregel: g ( x) = ln x+

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon Integrsjon del Deprtment of Mthemticl Sciences, NTNU, Norwy Octoer 5, 4 Integrsjon Sustitusjon for estemte integrler Husk kjærneregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fundmentlteoremet (del ) vi får

Detaljer

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag 75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012 R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer

Detaljer

Projeksjon. Kapittel 11. Ortogonal projeksjon i R 2. Skalarproduktet i R n. w på v. Fra figuren ovenfor ser vi at komponenten til w ortogonalt på v er

Projeksjon. Kapittel 11. Ortogonal projeksjon i R 2. Skalarproduktet i R n. w på v. Fra figuren ovenfor ser vi at komponenten til w ortogonalt på v er Kpittel Projeksjon En projeksjon er en lineærtrnsformsjon P som tilfredsstiller P x P x. for lle x. Denne ligningen sier t intet nytt skjer om du benytter lineærtrnsformsjonen for ndre gng, og mn kn tenke

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 45,1 0, 451 45,1 % 100 5 4 5 0 0 % 5 4 5 100 Oppgve Vinkelsummen i en treknt er 180. Vi regner

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 10 1 ØVING 10

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 10 1 ØVING 10 FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving ØVING Mesteprten v denne øvingen går ut på å gjøre seg kjent med spinn, men øvingen inneholder også en oppgve om koherente tilstnder. Denne er en fortsettelse v oppgve

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Effektivitet og fordeling

Effektivitet og fordeling Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning

Detaljer

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8. Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig

Detaljer

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du? KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.

Detaljer

Midtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl (Versjon B)

Midtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl (Versjon B) Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2009 Midtsemesterprøve fredg 13. mrs 2009 kl 1415 1615. (Versjon ) Oppgver på side 3 9. Svrtbell på side 11. Sett

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 EKSAMENSDATO:. desember 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

Eksamen våren 2016 Løsninger

Eksamen våren 2016 Løsninger DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 4,5 % 3,6 % 0,9 % Økningen hr vært på 0,9 prosentpoeng. 0,9 % 100 % 5 % 3, 6 % Økningen hr

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVESITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: FYS1120 Elektromgnetisme Eksmensdg: 5. oktober 2015 Tid for eksmen: 10.00 13.00 Oppgvesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tilltte hjelpemidler:

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

A. forbli konstant B. øke med tida C. avta med tida D. øke først for så å avta E. ikke nok informasjon til å avgjøre

A. forbli konstant B. øke med tida C. avta med tida D. øke først for så å avta E. ikke nok informasjon til å avgjøre Flervlgsoppgver 1. En induktor L og en motstnd R er forbundet til en spenningskilde E som vist i figuren. Bryteren S 1 lukkes og forblir lukket slik t konstnt strøm går gjennom L og R. Så åpnes bryter

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

Formelsamling i matematikk

Formelsamling i matematikk Formelsmling i mtemtikk Alger Aritmetiske opersjoner ( + c) = + c + c Potensregler Polynom = + c + c d + c = d c c d = d c = d c x y = x+y x = x / x y = x y n x = x /n 0 = x n = x n ( x ) y = xy () x =

Detaljer

B12 SKIVESYSTEM. Tabell B Bøyestivhet av skiver. (Fasthetsklasse etter NS )

B12 SKIVESYSTEM. Tabell B Bøyestivhet av skiver. (Fasthetsklasse etter NS ) δ B1 SKIVESYSTEM Tell B 1.1. Bøestivhet v skiver. (Fsthetsklsse etter NS 3473 1989) Fsthetsklsse t (m) h (m) A s = A s (mm ) N (kn) (h / R) 1 3 EI 1 15 (Nmm ) EI / EI 1 ε s 1 3 C 35, 4, 491 1 3, 1,3,63,59

Detaljer

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215 2 Geometri Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne ruke formlikhet og Pytgors setning til eregninger og i prktisk reid løse prktiske prolemer knyttet til lengde, vinkel, rel og volum ruke

Detaljer