Vannbølger. 3. Finn gruppehastigheten (u), ved bruk av EXCEL, som funksjon av bølgetallet k ( u = 2π ). Framstille u i samme diagram som c.

Transkript

1 Institutt for fysikk, NTNU FY12 Bølgefysikk, høst 27 Laboratorieøvelse 2 Vannbølger Oppgave A: for harmoniske vannbølger 1. Mål bølgelengden () som funksjon av frekvensen (f). 2. Beregn fasehastigheten c ( c f ) og framstille denne som funksjon av bølgetallet k. ( k 2π ). Bruk EXCEL. 3. Finn gruppehastigheten (u), ved bruk av EXCEL, som funksjon av bølgetallet k ( u 2π ). Framstille u i samme diagram som c. 4. Beregn sirkelfrekvensen ( 2 π f ) og 2 som funksjon av bølgetallet i EXCEL, og framstille disse størrelsene grafisk. Bestem, ved sammenlikning av teoretisk uttrykk for 2 med målte resultater, vannets overflatespenning. Kommenter resultatene. B: for en bølgepakett på vannoverflaten 1. Mål gruppehastigheten til vannbølger ved hjelp av fotodioder og Pasco Datastudio. 2. Bestem utstrekningen til bølgepaketten. 3. Bestem midlere frekvens til de harmoniske bølgene som bygger opp paketten og tilhørende midlere bølgetall (finn k-tallet fra punkt A4). Hvordan stemmer målt gruppehastighet fra punkt B1 med forventet gruppehastighet fra A3? 4. Finn spredningen i bølgetallet ut fra usikkerhetsrelasjonen. 2: Vannbølger - side 1

2 Harmoniske bølger Begrepene bølgelengde og bølgetall, frekvens og sirkelfrekvens vil bli introdusert og diskutert. Dessuten vil uttrykket for fasehastigheten bli utledet. Harmoniske bølger beskrives ved likningen: y( x, y cos( kx Re( y exp( i( kx )) t y(x, er bølgeutslaget på stedet x ved tidspunktet t, og y er maksimalutslaget til bølgen. Parameteren k kalles bølgetallet og forteller oss, som vi snart skal se, antallet topper til bølgen over en strekning på 2π. (6.28 m). kalles sirkelfrekvensen, og betyr antallet ganger bølgeutslaget har en bestemt verdi (for eksempel maksimalverdi) i tidsrommet 2π sekunder. Bølgelengde, cos(t*.1) cos(t*.1-1.6) 1..5 Utslag, y(x, Tid,sek Re er forkortelse for realdelen til ett komplekst tall. Ved beregninger brukes ofte komplekse tall, fordi regnereglene er da oftest enklere enn for reelle tall. Etter utregningen kan trekke ut realdelen av det komplekse tallet. Bølgelengden er lik avstanden mellom to bølgetopper, eller avstanden mellom to punkter x 1 og x 2 på x-aksen, slik at bølgeutslagene på disse stedene er like store: y ( x1, y( x2,, eller y cos( kx1 y cos( kx2 ), t som vil være tilfellet når: kx kx 2π, eller x2 x1 2π k 2: Vannbølger - side 2

3 Er avstanden mellom to bølgetopper, blir størrelsen; k 2π nettopp antallet bølgetopper over strekningen 2π, som nevnt over. Sett at vi befinner oss på ett sted i bølgen (ved x x ) ved tiden t 1, og spør etter tidspunktet t 2 som er slik at bølgeutslaget er like stort som ved tiden t 1. Forskjellen mellom tidspunktene kalles periodetiden T (eller svingetiden, T t 2 -t 1 ), som igjen er knyttet til parametrene i bølgefunksjonene. Forbindelsen mellom svingetiden T og sirkelfrekvensen kan en finne slik: y ( x, t1) y( x, t2 ) eller y cos( kx t1) y cos( kx t2 ) som gir at: t t 2π altså t 2 t1 T 2π Antallet ganger bølgen svinger opp og ned på ett sted i tidsenheten kalles frekvensen (f eller ν), og denne blir da; f 1 T 2π og dermed 2 π f For en harmonisk bølge er det gjerne parametrene og f som måles. Er og k (eller f og ) for en harmonisk bølge kjent, kjenner en også fasehastigheten c, som er den farten som en bølgetopp beveger seg med. For at en hele tiden skal befinne seg på toppen av en bølge, eller at utsalget skal være konstant, må argumentet i cosinusfunksjonen være null (eller konstan; kx m t eller kx m t ϕ, ϕ (fasen) konstant, der x m er den x-verdien som gir maksimalutslag (bølgetopp). Dermed blir fasehastigheten c x m t k En kunne også ha funnet dette ved derivasjon av x m med hensyn på tiden. En ser at fasehastigheten c er lik forholdet mellom og k. Settes uttrykkene for og k inn, får en også: 2πf c f k 2π T Fasehastigheten er altså produktet av frekvens og bølgelengde. 2: Vannbølger - side 3

4 Bølgeplaketter Oppførsel og utseende til en ofte forekommende bølgepakett vil bli utledet. Farten som paketten beveger seg med vil bli beregnet (gruppehastigheten). Uskarphetsrelasjon, en egenskap med bølger, vil bli utledet. Rent harmoniske bølger opptrer sjeldent. Virkelige bølger har en begrenset utstekning og kalles ofte bølgepaketter. Enhver pakett kan betraktes som en sum (superposisjon) av rent harmoniske bølger: i n i 1 y( x, y ( ki ) cos( ki x i Maksimalutslagene, y (k i ), til de enkelte harmoniske bølgene som inngår i summen kan være forskjellig for de ulike bølgetallene, slik at disse må ses på som en funksjon av k i, bølgetallet for i-te harmoniske komponenten i summen. La oss regne ut hvorledes fasongen på den sammensatte bølgen blir for det spesielle tilfellet når alle maksimalutslagene i summen er like store (y ) for alle k i. Videre antar en at bølgetallene k i fordeler seg jevnt i intervallet fra <k -Δk,k +Δk>, der k er midtpunktet i intervallet. Bredden av intervallet blir 2Δk, og kalles bølgetallsbredden. Antallet bølger dn i intervallet dk antas å være konstant og settes lik n ; n dn N dk 2 Δk, der N er det totale antallet bølger i hele intervallet. Antallet bølger pr. Δk intervall k -Δk k k +Δk k-akse Fordeling av antall bølger langs bølgetallsaksen Vi tilnærmer summen med en integral, og substituerer størrelsen k, som er integrasjonsvariabel, med størrelsen q: q k k Videre må vi regne med, i det generelle tilfellet, at sirkelfrekvensen er en funksjon av bølgetallet k (dispersjonsrelasjonen). Vi foretar en rekkeutvikling av rundt k, som er midtpunktet for k tallene; d( k ) ( k) ( k ) + ( k ko ) u q +... (Taylorutvikling) dk d( k der ; u ), og kalles gruppehastigheten til bølgen. dk Årsaken til at dette kalles gruppehastigheten vil framgå av beregningen nedenfor. 2: Vannbølger - side 4

5 Utregning av summen gir: y i n i n k+δk ( x, y cos( ki x y cos(( kx dn y Re(exp( i( kx t i 1 i 1 k Δk I følge reglene for regning med eksponenter får en videre; y x, y n Re(exp( i( k x ) exp( i( qx uq) dq ( sin(( x u Δk sin z N yo cos( kox o N yo cos( kox o, ( x u Δk z Δk Δk N )) dk 2Δk der; z ( x u Δk Argumentet z avhenger både av sted og tid, slik at bølgene vil forplante seg langs x-aksen som en gruppe med farten u. Bølgepaketten er ett produkt av en harmonisk bølge, cos(k x-, som hylles inn av funksjonen sinz/z. Det er bevegelsen til omhyllingsfunksjonen en lettest ser, og denne beveger seg med gruppehastigheten u. Denne funksjonen er vist i diagrammet nedenfor. En bølgepakett Bølgeutslag, y(x, Bølgepakett harmonisk bølge omhyllingkurve pakett posisjon,x Kastes en stein i vannet, er det utbredelsen av paketten som det er lettest å observere, og følgelig er det gruppehastigheten er ser. Uttrykket for omhyllingskurven viser også at det er en sammenheng mellom spredning i bølgetall, Δk, og utstrekningen av paketten. Det er naturlig å definere utstrekningen av bølgepaketten, Δx, som den dobbelte x-verdi som gjør at denne funksjonen blir null. Velges for enkelhets skyld tidspunktet; t, ser en at dette finner sted når; Δx Δk π (Uskarphetsrelasjonen) 2: Vannbølger - side 5

6 Produktet av bølgetallsbredde, Δk, og utstrekning, Δx, er en konstant. Dette er en generell egenskap for bølger og vil følgelig gjelde for materiebølger. Jo mer veldefinert bølgetallet er, jo større utstrekning har paketten, og omvendt. Dersom Δx, utstrekningen av bølgepaketten, bestemmes, kan en bestemme spredningen i π bølgetall; Δk Δx Teoretiske relasjoner for vannbølger Når en vannoverflate er krummet, vil to typer krefter strebe etter å få den tilbake til likevekt, som er en jevn overflate. Disse kreftene er; tyngdekraften (G) og overflatespeningen (T). I tillegg til dette, fordi vann er tilnærmet en imkompressibel væske, vil vannmengder i bevegelse forskyve vannet i naboområder. Vannmolekyler vil bevege seg i både vertikal- og horisontalretningen. Dersom bølgelengden er liten i forhold til dybden av karet (dette kalles dypvannsbølger), vil ett vannmolekyl følge en sirkulær bevegelse ved overflaten. For dypvannsbølger ser dispersjonsrelasjonen slik ut, når en tar hensyn til overflatespenningen; 2 T 3 g k + k, ρ Den forteller hvordan sirkelfrekvensen til bølgebevegelsen er bestemt av parametrene for mediet og bølgetallet. ρ er vannets tetthet (ρ 1 g/cm 3 ) og T er overflatespenningen, som for rent vann er T 7 N/m. g er tyngdens akselerasjon som er g 9.81 m/s 2. For 1.7 cm blir bidragene i uttrykket for 2 like store og fasehastigheten like stor som gruppehastigheten. For > 1. 7 cm dominerer tyngden (gk-ledde og gruppehastigheten blir halvparten av fasehastigheten (se tabell), mens for < 1.7 cm dominerer overflatespenningen og gruppehastigheten er 3/2 av fasehastighten. Vis dette ved derivasjon av uttrykket over. Om en tar hensyn til at vannkaret har endelig dybde (vanndybden er h), mens en negligerer overflatespenningen, ser dispersjonsrelasjonen slik ut: 2 1 exp( 2kh)) g k 1 + exp( 2kh)) Dersom en innretter seg slik at produktet 2kh>1, kan eksponetialleddene negligeres, og en sitter tilbake med: 2 g k (for lange dypvannsbølger) Mål dybden av vannet og sjekk hvilke bølgelengder en må ha for at kh > 1. 2: Vannbølger - side 6

7 Kommentarer Punkt 1 Vannoverflata som linse Lyskilde b a Vannoverflate (linse) Billedplan Den krumme vannoverflata vil bryte lyset, og lyskilden vil avbildes på bordflaten. Av geometrien i oppsettet følger det at bølgelengden til vannbølgene () og av bildet av dem på bordet ( ), er: a / a/b eller (se figur) b For å øke nøyaktigheten, måles avstanden mellom f.eks. seks striper (fem bølgelengder). 2: Vannbølger - side 7

8 Punkt 3 I følge matematisk utledning, oppstår gruppehastigheten som: u i Δ Δk k i+ 1 i+ 1 k i 1 i 1 Dette kan utføres direkte i Excel som divisjoner av differenser mellom to naboceller. Dersom øker lineært med k i et område, kan en finne gruppehastigheten som vinkelkoeffisienten til som funksjon av k. Bruk lineær tilpasning (fit linear) og vis likning (klikk på grafen, klikk inn show equation). Punkt 4 I følge teorien for vannbølger, har en følgende dispersjonsrelasjon (for dypvannsbølger). 2 3 g k ( T / ) k Når bølgelengden måles i cm, er g 981 cm/s 2. For rent vann er overflatespenningen; T 8 gcm/s 2 og tettheten; ρ 1 g/cm 3. Lag en kolonne i Excel diagrammet for dette uttrykket og sammenlign med 2 beregnet fra målingene. Tilpass T til best overensstemmelse. Framstill begge 2 (teoretisk og mål i samme Excel diagram. Finn også teoretisk fasehastighet ( beregnes som kvadratroten av uttrykket over, og dette kan i EXCEL divideres med k) og sammenlikne med den målte. Punkt B2 Signalet fra diodene er proporsjonale med lysintensiteten, som igjen er en funksjon av krumningen til vannoverflata på et sted. Utstrekningen av paketten (Δx) kan finnes som produktet av gruppehastigheten (fra B1) og varigheten (Δt, også fra B1) til paketten. Varigheten av paketten er noe ubestemt, men du kan bruke de tidspunktene der den er ca 1% av maksimalverdien. Punkt B3 Den midlere frekvensen ( f ) til de harmoniske bølgene som paketten består av, kan finnes som inversverdien til tidsrommet ( T ) mellom to påfølgende topper i paketten ( f 1 ). T Herfra finnes tilsvarende sirkelfrekvens; 2 π f. Fra punkt A4 ( som funksjon av k) kan det tilhørende k-tallet avledes. Avles tilhørende gruppehastighet fra figuren fra A3 og sammenlikne med målt gruppehastigheten fra B1. Punkt B4 Bruk Δx fra B2 og usikkerhetsrelasjonen til å finne Δk. 2: Vannbølger - side 8

9 Eksempel på EXCEL bruk f l ' l c k w w2 u w2 (teor) c (teor) Eksempel på graf som viser fasehastighet sfa. bølgetall Fasehast sfa k-tall 4. fasehast k-tall Målt Beregnet 2: Vannbølger - side 9