Grensesjikts approksimasjon. P.-Å. Krogstad

Transkript

1 Norges teknisk- naturvitenskapelige universitet (NTNU) Fakultetet for ingeniørvitenskap og teknologi Institutt for Energi og Prosessteknikk N-749 Tronheim - NTNU Grensesjikts approksimasjon P.-Å. Krogsta Anta strømning over en flate me relativt liten krumning. okalt kan en a bruke et kartesisk koorinatsystem for å beskrive strømningen. y U x Effekten av viskositeten antas å være begrenset av et områe utenfor legemet, som er begrenset av tykkelsen av grensesjiktet, som vist på figuren ovenfor. Selv om m er liten vil en gi et tilels betyelig birag til strømningsbilet. Strømningen utenfor et viskøse områet er gitt av EUER-ligningen (neglisjert viskositet,.v.s. svært små skjærkrefter): r t + = - P for y >> (e="external") I grensesjiktet må Navier-Stokes ligningene brukes, a vi her ikke kan neglisjere e viskøse effektene : Antar -imensjonal, stasjonær og inkompressibel strømning. igningene blir a: Kontinuitet: + v =

2 Impuls-/Bevegelsesligning i x-retn.: + v = - P r + n È v Aksellerasjon- Trykk- Viskøse le Impuls-/Bevegelseligning i y-retn.: u v + v v = - P r + n È v + + v + v Aksellerasjon- Trykk- Viskøse le De viskøse leene kan skrives om på en mer hensiktsmessig måte. Viser kun for bevegelsesligning i x-retning: v = u + u + u + v = + v 4 43 = p.g.a. kontinuitet + u + u Derme kan vi skrive Navier-Stokes ligninger for to-im, stasjonær og inkompressible strømning som x-retning: y-retning: + v = - P r + n È u + u u v + v v = - P r + n È v + v Grensebetingleser : y = Æ u = v = (Heftbetingelse) y >> Æ u Æ Ue v Æ Ve Ønsker nå å se på strørrelsesoren, for å finne ut betyningen av e forskjellige leene. For å gjøre ette må vi skalere hver variable me forskjellig referanse størrelser.

3 3 Karakteristisk lenge for x er typisk lengen på legemet Karakteristisk lenge for y er grensesjiktstykkelsen Karakteristisk hastighet er fristrømshastighetene Ue og Ve Nye variable: x = x, y = y, u = u og v = v V e Trykket moifiserer vi ve hjelp av Bernoulli s ligning P + ru = P + ru fi p - p ru = C p = - u U ª O( ) hvor Cp kalles trykk-koeffisienten, og en er imensjonsløs. Innfører e nye variable i kontinuitetsligningen, og får a ( ) + v = u ( ) + vv e = + V e v = Sien enne ligningen utrykker en irekte kontinuitet i hvoran enringen i en varabel påvirker en anre, må e to leene allti være i balanse. Me anre or må = v. Derfor må imensjonerings leene være omtrent like, hvis skaleringen skal være gylig. fi ª V e fi V e ª << sien << Ser så på bevegelsesligningen i x-retning. Etter skalering får vi + V e v = - ru r C p + n È u + u Divierer alle le me og etter omskriving får en + v = - C p U + n È u + u Sien >> må en anre graienten i et viskøse leet være mye større enn en første. En annet moment er at ersom skjærspenningsleet skal være av samme størrelsesoren som leene på venstre sie må

4 4 n ª O( ) fi ª n = Re Av ette kan en slutte : ) Sien Re >> for e fleste strømninger vil << (Typisk vil være i størrelsesoren (.*)) ) Erstatter vi me x, ser vi at grensesjiktet vokser som ª x Re x (Gjeler for n konstant,.v.s. laminære sjikt) Altså blir bevegelsesligningen i x-retning me grensesjiktsapproksimasjonene + v = - P r + n u Ser vi tilbake på utgangspunket ser vi at ett le er falt bort! Vi gjør tilsvarene me bevegelseligning i y-retning. Etter å ha skalert ligningen og iviert alle leene me får vi : È u v + v v = - C p U + n È v + v Fra enne ligningen ser vi at ) n v er en ominerene skjærspenningen. ) Aksellerasjonsleene i y-retninger er av oren i forhol til tilsvarene le i x-retning..v.s. u v ª v << og v v ª << 3) Det samme gjeler skjærspenningsleene.

5 5 4) Alle le er av oren unntatt trykkleet som er av oren. Dette viser at trykkleet er et ominerene leet, og bevegelsesligningen i y-retning reuseres til = - r P fi P = P(x ) P(y) Når en beregner grensesjiktet, antar en erfor at trykket er konstant gjennom sjiktet. Derme trenger ikke bevegelsesligningen for y-retningen og løses. Derme kan en fra en gitt P(x) finne hastighetene u og v fra kontinuitet og bevegelsesligning i x-retning. Grensesjiktsligningene: Kontinuitet: Bevegelses lign. x-retn: + v = + v = - r P + t r aminært : t = m Turbulent: t = m - r u v Bevegelses lign. y-retn: P(y)=konstant Grensebetingelser: y = fi u = v = y Æ fi u Æ Ue

6 6 Utlening av von Karman s impuls ligning Utgangspunkt : + v = - P r + t r I ytterkant av grensesjiktet vil igningen kan a skrives U e = - P r + v - = og t = slik at ligningen reuseres til = t r Mielverier kan a finnes ve å integrere over grensesjiktet, og en får a + v - y = - t w r, hvor t w er vegg-skjærspenning. Hastighetskomponenten v finnes fra kontinuitetsligningen v = - y y Innfører C f = t w ru e og får a - y y - y = - U ec f Regner om obbelt-integralet og får y = - Cf

7 7 Aerer og subtraherer u, og sien u = ( u), kan vi skrive ( u ) - U e + u - U e - u y = - U ec f eller ( u ( u - ))y - ( - u)y = - U e Cf Ve bruk av eibnitz regel kan vi skrive È u U e - u y + - u y = U ec f Kjenner igjen utrykkene for henholsvis impulstapstykkelsen og fortrengningstykkelsen. igningen kan erfor skrives [ q] + * = C f øser opp parantesen og innfører H=*/q og får a Von Karmans s impulsligning q + ( + H ) q = C f