(coshu) = sinhudu. dx. Her har vi at u = w Hx, og du dx = w dy. dx = H w w. H sinh w H x = sinh w H x.

Transkript

1 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 3 Avsnitt a) Fra tabell 3.4 på sie 222 i boka: (coshu) = sinhuu. Her har vi at u = w H, og u = w y H. Det følger at tanφ = = H w w H sinh w H = sinh w H. b) Vi får oppgitt at H = T cosφ. Det følger at Avsnitt 4.3 T = H cosφ = Hsecφ = H +tan 2 φ (sien sec 2 φ = +tan 2 φ) = H +sinh 2 w (fra a)) H = H cosh 2 w H (sien cosh2 w H sinh2 w H = ) = Hcosh w H = Hwy H = wy. 8 Vi ser på funksjonen g() = a) Vi skal finne intervallene hvor g() er økene og minkene. Vi eriverer og får g () = = 4( )( 2). Løser vi ligningen g () = 0, får vi løsningene = 0, = og = 2. Ve å sette inn har vi g ( ) = 24, g (0.5) =.5, g (.5) =.5 og g (3) = 24. Derme har vi at g() er synkene på intervallene (,0) og (,2), mens en er økene på intervallene (0,) og (2, ). b) Sien g() er eriverbar for alle, kan vi bruke førsteeriverttesten. De kritiske punktene til g() er gitt av ligningen g () = 0, som har løsningene = 0, = og = 2. Sien g() er synkene på intervallene (,0) og (,2) og økene på intervallene (0,) og (2, ), oppnår g() ekstremverier i = 0, = og = 2, hvor g(0) og g(2) er lokale minima og g() er et lokalt maksimum. c) Vi har at g() når ±. Derme har ikke funksjonen noen absolutt maksimalveri. Funksjonens absolutte minimumsveri inntreffer i punktet = 2, hvor funksjonsverien er f(2) = Vi har at 0 h(θ) 5 for θ [0,π] sien 0 sin θ 2 for θ [0,π], og at h(0) = 0 og h(π) = 5. Det følger at θ = 0 er et globalt (og lokalt) minimum av h og at θ = π er et globalt (og lokalt) maksimum av h. For θ (0,π) har vi at h (θ) = 5 2 cos θ 2 > 0, så h har ikke flere lokale ekstremverier. 58 a) Vi ser på funksjonen f() = e. Vi skal vise at f() 0 for 0. Vi eriverer f og får at f () = e 0 for 0. Funksjonen f er altså stigene for 0. Sien vi har at f(0) = 0, følger et at f() 0 for alle 0. b) Vi ser på funksjonen g() = e 2 2. Vi skal vise at g() 0 for 0. Vi eriverer g og får at g () = e 0 for 0 (fra a)). Funksjonen g er altså stigene for 0. Sien vi har at g(0) = 0, følger et at g() 0 for alle 0. lfov september 20 Sie

2 TMA400 Matematikk høsten 20 Avsnitt Vi skal skissere funksjonen y = ve å bruke proseyren gitt på sie 264 i læreboken.. Områet til y er (, ) og et er ingen symmetri runt noen av aksene. 2. Vi finner y () = 2 2, y () = Sien y() er eriverbar for alle, er e kritiske punktene gitt ve y () = 0, vs at kritisk punkt er =. Sieny ( ) = 2 < 0, har funksjonen et relativt maksimum i (,y( )) = (,7). 4. Sien y ( 2) > 0, øker funksjonen i intervallet (, ), og sien y (0) < 0 minker funskjonen i intervallet (, ). 5. Sien y () = 2 0, har funksjonen ingen venepunkt. Kurven er konkav ne. 6. Funksjonen har ingen asymptoter. 7. Kurven skjærer -aksen i punktene gitt ve y() = = 0, = 0, = 2 2 ± 2 Kurven skjærer y aksen i punktet y(0) = 6. (2) 2 4 ( 6) = ± 2 28 = ± y Figur : Oppgave Skisse av grafen y = Vi skal skissere funksjonen y = sin på intervallet 0 2π ve å bruke proseyren gitt på sie 264 i læreboken.. Områet til y er 0 2π, og vi får erfor ikke ratt nytte av at y er en oe funksjon. 2. Vi finner y () = cos, y () = sin. lfov september 20 Sie 2

3 TMA400 Matematikk høsten Sien y() er eriverbar for alle, er e kritiske punktene gitt ve y () = 0, vs at kritisk punkt er = arccos(). Vi finner at e kritiske punktene = 0 og = 2π, som samsvarer me enepunktene. Derme er (0, 0) et globalt minimum og (2π, 2π) et globalt maksimum. 4. Sien y (π) = π > 0, øker funksjonen i intervallet (0,2π). 5. Venepunktene er gitt ve y () = sin = 0, og vi finner at = arcsin0 = π er et venepunkt. 6. Funksjonen har ingen asymptoter. 7. Kurven starter i punktet (0,0) og øker til punktet (2π,2π) y Figur 2: Oppgave Skisse av grafen y = sin. 26 Vi skal skissere funksjonen y = 2/3( 5 2 ) = 5 2 2/3 5/3 ve å bruke proseyren gitt på sie 264 i læreboken.. Områet til y er (, ) og et er ingen symmetri runt noen av aksene. 2. Vi finner y () = 5 3 / /3 = 5 3 /3 ( ), y () = 5 9 4/3 0 9 /3 = 5 9 4/3 (+2). 3. De kritiske punktene til y() er gitt ve punktene hvor y () = 0 eller hvor y () ikke er efinert, vs at = er kritisk punkt sien y () = 0, og = 0 er kritisk punkt sien y ikke er efinert for = 0. Sien y () = 5 3 < 0, har funksjonen et lokalt maksimum i (,y()) = (, 3 2 ) ve anreeriverttesten. Funksjonen har et lokalt minimum i (0,y(0)) = (0,0). 4. Sien y ( ) = 0 3 < 0, y (0.5) =.05 > 0 og y (.5) = < 0, øker funksjonen i intervallet (0,) og synker i intervallene (,0) og (, ). 5. Venepunktene er gitt ve y () = 0, og vi finner at = 2 er et venepunkt. 6. Funksjonen har ingen asymptoter. 7. Kurven skjærer -aksen i punktene gitt ve y() = 0, vs. i = 0 og = 5 2. Kurven skjærer y-aksen i punktet y(0) = 0. lfov september 20 Sie 3

4 TMA400 Matematikk høsten 20 3 y Figur 3: Oppgave Skisse av grafen y = 2/3 ( 5 2 ). 30 Vi skal skissere funksjonen y = 3 /(3 2 + ) ve å bruke proseyren gitt på sie 264 i læreboken.. Områet til y er (, ), og kurven er symmetrisk runt origo. 2. Vi finner 3 y () = = 32 (3 2 +) 3 6 (3 2 +) 2 = 32 ( 2 +) (3 2 +) 2, y () = (3 2 +) 2 = (23 +6) (3 2 +) ( 2 +) 2(3 2 +) 6 (3 2 +) 4 = 6(22 +) (3 2 +) 36 3 ( 2 +) (3 2 +) 3 = (3 2 +) 3 = (3 2 +) 3 = 6( 2 +) (3 2 +) Sien y() er eriverbar for alle, er e kritiske punktene gitt ve y () = 0, vs at kritisk punkt er = 0. Sien f (0) = 0, kan vi ikke bruke 2. eriverte-testen til å klassifisere ette punktet. Vi legger merke til at y når og y når. Derme er punktet (0, y(0)) = (0, 0) et saelpunkt. 4. Sien y (0) > 0 for alle 0, øker funksjonen i intervallene (,0) og (0, ). 5. Venepunktene er gitt ve y () = 0. Sien nevneren er positiv for alle verier av, løser vi 6( 2 +) = 0. Vi finner at et er venepunkt i =, = 0 og =. 6. Funksjonenen har ingen horisontale eller vertikale asymptoter. Sien teller og nevner er polynomer, og polynomet i telleren er av en gra høyere enn nevneren, har funksjonen en skeiv asymptote. Vi finner enne ve polynomivisjon, = , og y = /3 er en skrå asymptote for grafen Kurven skjærer aksene i punktet (0,0). lfov september 20 Sie 4

5 TMA400 Matematikk høsten y Figur 4: Oppgave Skisse av grafen y = 3 /(3 2 +). Avsnitt Vi skal finne en vinkelen θ som maksimerer volumet av rennen vist i oppgaveteksten i læreboken. Volumet er gitt ve V = (Areal av eneflate) lenge. Arealet av eneflaten består av arealet av et kvarat me sier på in og arealet av to trekanter. La g være grunnlinjen og h høyen til trekantene. Arealet av en trekant er gitt ve A = 2 (g h). Fra figuren får vi at for trekanten er sinθ = g/ og cosθ = h/. Derme kan vi sette opp et uttrykk for volumet, V(θ) = (2 sinθcosθ+ cosθ) 20 = 20sinθcosθ+20cosθ. 2 For å finne makimalt volum ser vi på en eriverte, V (θ) = 20(cosθ cosθ+sinθ ( sinθ) cosθ) = 20(cos 2 θ sin 2 θ cosθ) = 20( sin 2 θ sin 2 θ sinθ) = 20( 2sin 2 θ sinθ). V (θ) = 0 gir sin 2 θ+ 2 sinθ 2 = 0, ( sinθ = 2 2 ± ) 2 4 ( ) = ± = 4 ± 3 4. Sien vinkelen vi leter etter må ligge i intervallet (0,π/2), må sinθ være positiv. Derme har vi at θ = arcsin(/2) = π/6. Vi har at og θ = π/6 gir maksimalt volum. V (θ) = 80cosθsinθ 20cosθ, V ( π 6 ) < 0, 40 Fermats prinsipp i optikk sier at lys allti beveger seg fra et punkt til et annet langs en banen som minimerer reisetien. Stuer figuren i oppgaveteksten. Vi skal vise at ersom lyset alyer Fermats prinsipp, så må vinklene θ og θ 2 være like. Merk at sien hastigheten er konstant så er minimal reiseti ekvivalent me minimal strekning. Punktene A og B er gitt. Vi lar -aksen ligge på speilet, og lar y-aksen gå gjennom A. Viere sier vi at punktet A har koorinater (0,a) og punktet B har koorinater (,b). Vi lfov september 20 Sie 5

6 TMA400 Matematikk høsten 20 lar lyset treffe speilet i punktet. Ve Pytagoras får vi a et avstanen lyset tilbakelegger er gitt ve f() = a b 2 +( ) 2. Den verien for som gir kortest strekning er gitt ve ligningen f () = 0, f () = a 2 + ( ) 2 b 2 +( ) = 0. 2 Sien sinθ = a og sinθ 2 = ( ) b 2 +( ) 2, gir ligningen over at sinθ = sinθ 2. Dette mefører at θ = θ 2 fori θ og θ 2 tilhører intervallet (0,π/2). Vi har vist at vinklene må være like. 48 Vi får oppgitt at et koster c() = å prousere gjenstaner. Vi skal minimere en gjennomsnittlige prouksjonskostnaen c() = Vi eriverer og får at ( ) c() = 2 20 ( ) c() = 2 ( ) Vi har at c() = 0 = 0. Sien = 0 er et lokalt minimum for c() gjennomsnittskostnaen. Avsnitt 4.6 ( ) c() = 2 > 0, gir 2. eriverte-testen at, vs. at = 0 er et prouksjonsnivå som minimerer sin5 2 Uttrykket 0 er på en ubestemte formen 0 0. Ve hjelp av l Hopital-regelen får vi sin5 5cos5 at 0 = 0 = (3+ sin ) = 0 +((3+)sin ), sin og ette er på en ubestemte formen (0/0), så vi bruker L Hopitals regel: 0 +((3+)sin ) = sin 0 +(3sin+(3+)cos ), sin+cos og ette er fortsatt på ineterminate form (0/0), så vi fortsetter: 0 +(3sin+(3+)cos ) = sin+cos 0 +(3cos+2cos (3+)sin ) = cos+cos sin = = 6 2 = 3. lfov september 20 Sie 6

7 TMA400 Matematikk høsten Merk at 0 + = sin 0 + sin = sin. 0 + Uttrykket 0 + sin er på ineterminate form 0/0, så vi bruker L Hopitals regel: sin 0 + = cos =. 0 + Viere får vi 70 a) Vi har at 0 + = sin =. / = e ln/ = e ln Vi eriverer ette uttrykket to ganger: (/ ) = ( 2 ln+ 2)e ln 2 2(/ ) = ( 2 3 ln 3 2 3)e ln +( 2 ln+ 2)2 e ln For > 0 har vi at (/ ) = 0 ln + = 0 ln = 2 2 = e. Sien 2 ( / ) = e /e < 0 for = e får vi ve 2. eriverte-testen at e /e er 2 e 3 maksimumsverien til /. b) Vi har at Vi eriverer ette uttrykket to ganger: /2 = e ln/2 = e 2 ln (/2 ) = ( 2 3 ln+ 3)e 2 ln 2 ) = ( 6 2(/2 4 ln )e 2 ln +( 2 3 ln+ 3)2 e 2 ln For > 0 har vi at (/2 ) = ln+ 3 = 0 ln = 2 = e/2. Sien 2 2 ( /2 ) = 2 e 2 e /2e < 0 for = e /2 får vi ve 2. eriverte-testen at e /2e er maksimumsverien til /2. c) Vi har at Vi eriverer ette uttrykket to ganger: (/n ) = ( n ln+ n+ 2 ) = ( n(n+) 2(/n n+2 /n = e ln/n = e n ln n+)e n ln ln n n+ n+2 n+2 )e n ln +( n ln+ n+ n+)2 e n ln lfov september 20 Sie 7

8 TMA400 Matematikk høsten 20 For > 0 har vi at (/n ) = 0 n ln+ = 0 ln = n+ n+ n = e /n. Sien 2 ( 2 /n ) = n e /ne < 0 for = e /n får vi ve 2. eriverte-testen at e /ne e n+2 n er maksimumsverien til /n. ) /n = eln/ n = e n ln Vi ser på ln, som er på en ubestemte formen n. Vi bruker l Hopital-regelen: ln = n Det følger at /n = e 0 =. / = nn n n = 0 lfov september 20 Sie 8