Forelesning 2: Førsteordens lineære differensiallikninger

Transkript

1 Forelesning 2: Førsteorens lineære ifferensiallikninger Tron Stølen Gustavsen 16. januar, 2009 Innhol Lesning Likninger me konstante koeffisienter Generelle koeffisienter 4 Referanser 5 Lesning. Denne forelesningen ekker avsnittene 3.1, 3.2 og 3.3 i [OEBY]. For flere etaljer se for eksempel kapittel 5.4 i [FMEA]. I første forelesning introuserte vi begrepet ifferensiallikning, og så på hvoran vi kunne løse separable ifferensiallikninger. Sien ette kurset er et matematikkurs, er ifferensiallikninger blitt introusert matematisk. Vi kommer likevel til på noen få anvenelser i løpet av kurset, men hovefokus vil være på matematikken. Før vi går viere, vil jeg antye en enkel anvenelse som viser hvoran man ofte tenker når man forsøker å sette opp en moell som resulterer i en ifferensiallikning. Eksempel 1. La variabelen y betegne jorens befolkning. Per i ag er y = 6.6 milliarer. Hvis t måler tien i år, kan vi oppfatte y som en funksjon av t. På verensbasis øker befolkningen me 1.14% per år. Det betyr at i år er ifferensen mellom antallet som blir føt og antallet som ør, milliarer = milliarer = 75 millioner. Sien en eriverte gir vekstraten til en funksjon, kan vi tilnærmet si at ẏ er y. Dette resulterer altså i ifferensiallikningen ẏ = y. Hvis vi forventer at befolkningsveksten vil være konstant, kan vi løse enne å finne ut hva befolkingen vil være i fremtien Likninger me konstante koeffisienter. Vi skal nå lære å løse et som heter førsteorens lineære ifferensiallikninger me konstante koeffisienter. Definisjon 2. En førsteorens lineær ifferensiallikning er en som kan skrives på formen er a(t) og b(t) er funksjoner av t. Vi skal lære hvoran man løser første orens lineære ifferensiallikninger. Det er erfor viktig å kunne skille ut likninger av enne typen. Eksempel 3. (1) ẏ + 2ty = 4t er lineær. (2) ẏ y = e 2t er lineær. (3) (t 2 + 1)ẏ + e t y = t ln t er lineær fori en kan skrives som ẏ + et t 2 +1 y = t ln t t (4) ẏ y 2 = 0 er ikke lineær på grunn av leet y 2. (5) ẏ e y = 2t er ikke lineær på grunn av leet e y. 1

2 Vi skal nå se hvoran vi løser førsteorens lineære ifferensiallikninger. Metoen vi skal bruke starter me å multiplisere likningen me en såkalt integrerene faktor. Dette gjør vi for å kunne skrive venstre sie av likningen som en eriverte av et proukt, og for å forstå enne metoen er et viktig å huske hvoran vi erivere et proukt: For eksempel (uv) = u v + uv. t (ye2t ) = ẏe 2t + ye 2t 2 = ẏe 2t + 2ye 2t. Eksempel 4. Finn en generelle løsningen av ẏ + 2y = 7. Løsning. Trikset er å multiplisere likningen me e 2t hvor 2 er koeffisienten foran y. Faktoren e 2t kalles for integrerene faktor. Etter at vi har multiplisert me e 2t, ser likningen slik ut: ẏe 2t + 2ye 2t = 7e 2t Ser vi nøye etter, ser vi at venstre sie kan skrives som t (ye2t ). Benytter vi oss av ette, kan likningen skrives som t (ye2t ) = 7e 2t, og vi kan nå integrere me hensyn på t: ye 2t = 7e 2t t = 7 2 e2t + C For å løse for y, eler vi me e 2t på begge sier av likningen, og vi får a som en generelle løsningen. y = Ce 2t Metoen som er brukt i eksempelet, kan generaliseres. Setning 5. Differensiallikningen ẏ + ay = b er a og b er konstanter, har følgene generelle løsning: y(t) = b a + Ce at. I mange situasjoner er man bruker ifferensiallikninger, er man interessert i å se hva som skjer når t går mot uenelig. Hvis a > 0, så vil e at 0 når t. Dette betyr at løsninge av ẏ + ay = b nærmer seg en konstante løsningen y = b a når t. I så tilfelle sier vi at løsningen er stabil, og y = b a kalles likevektstilstanen. Når a < 0, så vil e at når t. I ette tilfellet (hvis C 0) sier vi at løsningen er ustabil. 2

3 Eksempel 6. Anta at prisen P = P (t), etterspørselen D = D(t) og tilbuet S = S(t) av en vare, styres i henhol til følgene moel: D = a bp S = α + βp P = λ(d S) er a, b, β og λ er konstanter. Finn P som en funksjon av t. Løsning. Ve å kombinere, får vi P = λ(d S) = λ((a bp ) (α + βp )) = λ(a α) λ(b + β)p Dette gir P + λ(b + β)p = λ(a α), som er en første orens lineær ifferensiallikning me konstante koeffisienter. I følge setningen over, er en generelle løsningen: P = Ce λ(b+β)t + a α b + β. Eksempel 7. Anta at og at P (0) = 900. Finn P (0.5). D = P S = P P = 0.5(D S) Løsning. P = 0.5(5000 4P ( P )) = 0.5( P ) = P. Vi får likningen P + 5P = Vi kunne ha brukt formelen som vi fant for løsningen i forrige eksempel, men vi velger isteet å løse likningen på nytt. Hvis vi multipliserer me integrerene faktor e 5t, får P e 5t + P e 5t 5 = 2000e 5t. Vi har altså t (P e5t ) = 2000e 5t og hvis vi integrerer, får vi P e 5t = 2000 e 5t t = e5t + C = 400e 5t + C. Multipliserer vi så me e 5t, får vi en generelle løsningen P = Ce 5t. Vi har at P (0) = Ce 5 0 = C = 900 = C = 500. Fra ette får vi partikulærløsningen P (t) = e 5t. Denne gir at P (0.5) = e =

4 2.2. Generelle koeffisienter. Vi skal nå se på første orens lineære ifferensiallikninger som har koeffisisenter som ikke nøvenigvis er konstante. I ette tilfellet må vi regne ut et integral for å finne integrerene faktor. Setning 8. Likningen har som integrerene faktor. e a(t)t For å løse likninger på formen, bruker vi samme metoe som før, men vi må nå huske på at integrerene faktor er gitt ve e a(t)t. Vi må altså finne integralet a(t)t for å vite hva som er integrerene faktor. Eksempel 9. Finn en generelle løsningen av ifferensiallikningen ẏ 2ty = t. Løsning. Koeffisienten foran y er 2t, og integrerer vi enne får vi: 2tt = t 2 + C Derfor er e t2 integrerene faktor. Vi multipliserer nå likningen me enne faktoren, og får a ẏe t2 + ye t2 ( 2t) = te t2. Igjen kan venstre sie skrives som en eriverte av et proukt, og vi har 2 t (e t y) = te t2. Integrasjon gir e t2 y = te t2 t. For å beregne te t2 t, bruker vi substitusjon u = t 2. Vi får u t = 2t eller 1 Derme: te t2 t = e u ( 1 2 )u = 1 2 eu + C 2u = tt. = 1 2 e t2 + C. Vi er altså kommet fram til Dette multipliserer vi me e t2 og får e t2 y = 1 2 e t2 + C. y = Cet2 som en generelle løsningen. I neste eksempel vil vi i tillegg til å finne en generelle løsningen, også finne en partikulærløsning. Eksempel 10. Løs initialveriproblemet: ẏ + 3t 2 y = e t3, y(0) = 2. 4

5 Løsning. Vi har at 3t 2 t = t 3 +C, så e t3 er en integrerene faktor. Multipliserer vi likningen me en, får vi ẏe t3 + ye t3 (3t 2 ) = e t3 e t3 = 1, og vi får 3 t (yet ) = 1. Ve integrasjon ye t3 = t = t + C. Ve å multiplisere me e t3, får vi y(t) = (t + C)e t3 som en generelle løsningen. For å finne partikulærløsningen, setter vi inn t = 0 : y(0) = (0 + C)e 0 = C = 2. Derme ser vi at y(t) = (t + 2)e t3 er en partikulærløsning som tilfrestiller en gitte initialbetingelsen. Vi kan også skrive opp en formel for løsnigen av en førsteorens lineær ifferensiallikning Setning 11. Differensiallikningen har en generelle løsningen y(t) = e a(t)t (C + b(t)e a(t)t t). Referanser [BOST] Bjørnesta, Olsson, Søylan, Tolcsiner, Matematikk for økonomi og samfunnsfag, 6. utgave, Høgskoleforlaget AS, (2004). [BJOE] Bjørnesta, H. Variasjonsregning - en enkel innføring [FMEA] Sysæter, Hammon, Seiersta, Strøm, Further mathematics for economic analysis, Harlow : Prentice Hall/Finanical Times, (2005). [ROSS] Ross, S. M., Probability moels, 9. eition, Acaemic Press, (2007) [OEBY] Øby, E. H., Differential equations - quick an irty 5