Oppgave P. = 2/x + C 6 P. + C 6 P. d) 12(1 x) 5 dx = 12u 5 1/( 1) du = 2u 6 + C = 2(1 x) 6 + C 6 P. Oppgave P.

Transkript

1 Løsning MET 86 Matematikk for siviløkonomer Innleveringsfrist 5. mars 9 kl Vi benytter maksimal score 6p på hver deloppgave og 44p totalt, og grensen for å bestå er ca 86p. Du kan selv fylle ut tabellen nedenfor med dine poeng og regne ut poengsum. Vi legger størst vekt på av valg av metode (begrunnet i teori hvis det ikke er opplagt), og gjennomføring av metode (at regningen er riktig). Vi legger ikke stor vekt på at svaret er riktig, og andre måter å skrive svaret på enn det som er brukt her kan gi full score. Vi trekker ikke for følgefeil, og antall poeng for delvis løsning er vist. Oppgave Total Karakter A B C D E Poeng Grenser Score Oppgave. 4 P. a) 6 d = 6 / d = 6(/3) 3/ + C = 4 + C 6 P. b) / d = d = = / + C 6 P. c) ( 6 ) d = 3 d = C 6 P. d) ( ) 5 d = u 5 /( ) du = u 6 + C = ( ) 6 + C 6 P. Oppgave. P. a) Vi skriver ned den utvidede matrisen til systemet, markerer første pivot-posisjon, og gjør elementære radoperasjoner som bruker første pivot til å eliminere tallene i posisjonene under: Så markerer vi pivotposisjonen i andre rad, og bruker den til å eliminere tallet i posisjonen under: P. 8 Resultatet er en trappeform, hvor vi har markert alle pivotposisjoner. Det er dermed en løsning, og vi nner den ved baklengs substitusjon: z = 8 z = 4 y + 3z = 8 y = 8 3(4) y = + y z = 3 = 3 () + (4) = 3 Løsningen er altså (,y,z) = (3,,4). 3 P. b) Vi skriver ned den utvidede matrisen til systemet, markerer første pivot-posisjon, og gjør elementære radoperasjoner som bruker første pivot til å eliminere tallene i posisjonene under: Så markerer vi pivotposisjonen i andre rad, og bruker den til å eliminere tallet i posisjonen under: P. 4 4 Resultatet er en trappeform, hvor vi har markert alle pivotposisjoner. Det er dermed uendelig mange løsninger P. med y fri siden y-kolonnen ikke har noen pivotposisjoner, og vi nner løsningene ved baklengs substitusjon: 4z = 4 z = + y + 4z = = y 4() = 7 y Løsningen er altså (,y,z) = (7 y,y,) der y er en fri variabel. P.

2 Oppgave 3. 8 P. (a) Vi har at A = = 6 P. (b) Vi regner ut determinanten ( ) () = ved kofaktorutvikling langs første rad. Dermed har vi at T A = = 6 P. (c) Vi har at AB + BA = + = + = 6 P. Oppgave 4. 4 P. (a) Vi bruker substitusjonen u = + e, som gir du = u d = e d. 3 P. Dette gir e e + e d = du u e = u du = ln u + C = ln( + e ) + C 3 P. (b) Vi faktoriserer nevner som 4 = ( + )( ), og forenkler uttrykket ved delbrøksoppspaltning. Dette gir 4 = A + + B = A( ) + B( + ) Det vil si = (A + B) + (B A), eller at A + B = og B A =. Dette lineære systemet gir B = /4 og A = 3/4, 3 P. og integralet blir dermed 3 4 d = d = 3 4 ln + + ln + C 4 ( ) = 3 8 ln + ln + C 3 P. 8 (c) Vi kan bruke substitusjonen u = ln, som gir du = (/) d, 3 P. og dette gir 3(ln ) 3u d = du / = 3u du = u 3 + C = (ln ) 3 + C 3 P. Det er alternativt mulig å bruke delvis integrasjon, med u = / og v = (ln ). (d) Vi bruker substitusjonen u = = 3/, som gir du = u d = ( 3/) / d. Dette gir 6 e d = 6 e u du ( 3/) / = 4 3/ e u du = 4ue u du 3 P. = 4ue u 4e u du = 4ue u 4e u + C = ( 4 4)e + C 3 P. Overgangen fra første til andre linje er ved delvis integrasjon. 3

3 Oppgave 5. 8 P. (a) Determinanten er gitt ved 6 a a 3 = 8 a = (9 a ) = (3 a)(3 + a) 3 P. Vi har dermed at når a = ±3. 3 P. (b) Vi regner ut determinanten ved kofaktorutvikling langs første rad: s s s 3 9 = (8 3s) (9 s ) + s(3 s) = s + 9 = (3 s)(3 + s) 3 P. Vi har dermed at når s = ±3. 3 P. (c) Vi regner ut determinanten ved kofaktorutvikling langs første rad: t 4 t 4 4 t = t(t 6) (t 4) + 4(4 t) = (t 4) [t(t + 4) 4] = (t 4)(t + 4t 5) = (t 4)(t )(t + 5) 3 P. Overgangen mellom de to siste uttrykkene på første linje gjøres ved å faktorisere ut (t 4), som er en felles faktor i alle tre ledd. Vi har dermed at når t =, t = 4, t = 5. 3 P. Oppgave 6. P. (a) Polynomdivisjon gir f() = /, 3 P. og dermed har f en skrå asymptote L med likning y =. 3 P. (b) Figur er vist nedenfor, med hjelpelinjen = tegnet inn. Arealet av området R er gitt ved A = d + f() d = [ ] + / d = + [ Siden vi har at [ ] [ = lim ] b = lim ( ( )) = lim b b b ( b b ) = er arealet av området R gitt ved A = / + = 3/. P. 4 y ] P. 3 y = y = f() R P. 4

4 Oppgave 7. 6 P. Vi regner først ut determinanten til koesientmatrisen A til det lineære systemet, ved å utvikle determinanten langs siste rad: a a 3 5 a = a( 3a) + (3 a) = 3a + 8a + 3 = (3 a)( + 3a) P. Vi ser at for a = 3 og a = /3, så er, og systemet har ingen eller uendelig mange løsninger. For alle andre verdier av a, så er A, og systemet har eksakt én løsning. P. Vi ser først på tilfellet a = 3, og løser systemet ved Gauss eliminasjon: Vi ser at systemet har uendelig mange løsninger for a = 3. P. Vi ser så på tilfellet a = /3, og løser systemet ved Gauss eliminasjon. Vi multipliserer først alle rader med 3 og bytter første og siste rad: /3 /3 3 5 / / Deretter nner vi en trappeform: /3 Systemet har dermed ingen løsninger for a = /3. P. Antall løsninger er dermed gitt ved ingen løsninger, a = /3 uendelig mange løsninger, a = 3 eksakt én løsning, ellers Vi nner så løsningen i de to siste tilfelellene, der systemet er konsistent: For a = 3 nner vi løsningene ved å bruke trappeformen vi fant tidligere. Den gir at z er fri, og at 3y 4z = y = 4z/3 og + y + 3z = = 3z ( 4z/3) = z/3 Dette gir løsninger (,y,z) = ( z/3, 4z/3,z) med z fri. For a 3 og a /3, er det eksakt én løsning, og vi nner den ved hjelp av Kramers regel: a A (b) = a = 33 a = (3 a) (3 a)( + 3a) = + 3a a A (b) = a a 5 a 3 = a3 + 3a + 5a 5 y = (3 a)( a 5) (3 a)( + 3a) = a 5 + 3a A 3 (b) = a 3 a a 3 = (3 a)(3 a) a 9a + 9 z = (3 a)( + 3a) = 3 a + 3a P. Vi har i hvert tilfelle faktorisert teller og forkortet brøkene for å skrive løsningen enklest mulig. Oppgave 8. 8 P. (a) Nåverdien av kontantstrømmen fra leie er I(t)e rt dt = = e.6t e.t dt = [.4 e.4t ] e.4t dt 3 P. = lim b [ 5 e.4t ] b = lim b 5(e.4b ) = 5 3 P. 5

5 (b) La S(t) være nåverdien av salgssummen om vi selger eiendommen etter t år. Da har vi at S(t) = V (t)e rt = 5 e t/5 e.t = 5 e ( t t)/ P. For å nne ut når S(t) er maksimal, deriverer vi denne funksjonen. Vi bruker u = ( t t)/ som kjerne, og får ( ) S (t) = 5 e u u = 5 e u t = 5 e u t 3 P. t Dermed er S (t) = når t =, og dette gir t =, eller t =. De andre faktorene i uttrykket for S (t) er positive, og t skifter fortegn fra å være positivt til å bli negativt i t =. Dermed er t = globalt maksimum for funksjonen S(t). Vi kan også se dette ved å sette opp fortegnsskjema for S (t). Nåverdien av salgssummen er altså største mulig etter ett år. P. (c) Dersom vi leier ut eiendommen i perioden de første T årene, og deretter selger eiendommen, er samlet nåverdi N(T ) = T Vi har at det første leddet (nåverdien av leie) er T I(t)e rt dt = T I(t)e rt dt + V (T )e rt P. e.6t e.t dt = T e.4t dt = = 5(e.4T ) = 5( e.4t ) og det andre leddet (nåverdi av salgssum) er Dermed er samlet nåverdi gitt ved S(T ) = 5 e ( T T )/ N(T ) = 5( e.4t ) + 5 e ( T T )/ = 5 Vi har at samlet nåverdi etter,, og 3 år er: N() = 5( + ) = 5 a) b) N() = 5( e.4 + e. ) 86. [ ] T.4 e.4t ( e.4t + e ( T T )/ ) 3 P. c) N() = 5( e.8 + e ( )/5 ) 9.8 d) N(3) = 5( e. + e ( 3 3)/ ) 9. P. Det ser ut som om maksimal samlet nåverdi inntreer etter mellom og 3 år. P. Vi kan nne maksimal nåverdi ved for eksempel å bruke Wolfram Alpha, som gir maksimal samlet nåverdi ved å selge etter T =.9 år. Oppgave 9. P. Vi nner fram til gevinst per aksje i hvert selskap for hvert av de tre scenariene ved å regne trekke fra kjøpskurs, se tabell. Vi bruker dette til å uttrykke avkastningen (gevinsten) R i ved hjelp av,y,z, som gir tre lineære likninger. I tillegg har vi budsjettbetingelsen + 5y + 84z = C, som gir at samlet kjøpssum for aksjene lik kapitalen C =.5. kr som vi har tilgjengelig. Vi nner dermed Gevinst A Gevinst B Gevinst C Scenario Scenario 5 75 Scenario 3 5 følgende lineære system, og den tilsvarende utvidede matrise: 5 + 5y 5z = R R 5 75y + z = R 5 75 R + 5y + z = R 3 5 R 3 + 5y + 84z = C 5 84 C 6

6 (a) Vi løser første dette systemet når (R, R, R 3 ) = (..,..,.). Dette gir trappeformen (etter endel radoperasjoner): R R 5 75 R 5 R R + R 35 R 3 +.8R 5 84 C 5 36 C + 4R R 5 8 R + R 35 R 3 +.4R + 3.6R 936 C + 9R + R R 5 8 R + R 35 R 3 +.4R + 3.6R 3 P. C 5.5R 3 +.3R +.R Vi ser at når C =.5. og (R, R, R 3 ) = (..,..,.), så er uttrykket C +.R +.3R 5.5R 3 =. Derfor har systemet én entydig løsning, og det ns en portefølje med ønsket egenskap. P. Vi nner porteføljen ved å løse systemet ved baklengs substitusjon, og det gir 5 + 5y 5z =.. 5y 8z = 35z =.. (,y,z) = (.5, /,.84 /) P. Vi bør altså kjøpe.5 aksjer i selskap A, / aksjer i selskap B, og.84 / aksjer i selskap C for å realisere den gitte avkastningen. (b) For å nne alle mulige avkastningstripler (R, R, R 3 ) bruker vi samme lineære system som over, og får samme trappeform. De mulige triplene er derfor de som oppfyller C +.R +.3R 5.5R 3 =.R.3R + 5.5R 3 =.5. P. Det nnes mange løsninger av denne likningen med R, R, R 3 >. Vi velger løsningen med R = R = R 3 (samme gevinst i alle scenarier gir minst mulig usikkerhet). Dette gir R =.5. R = 75. Dette valget svarer altså til avkastningene R = R = R 3 = 75.. P. For å nne hvilken portefølje som realiserer denne avkastningen, løser vi systemet ved baklengs substitusjon. Dette gir 5 + 5y 5z = 75. 5y 8z =.5. 35z = 4.5. (,y,z) = (48.75,.45 5 /,.784 /) P. Vi bør altså kjøpe aksjer i selskap A,.45 5 / aksjer i selskap B, og.784 / aksjer i selskap C for å realisere denne avkastningen. 7