Vekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur

Transkript

1 Vekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur KÅRE BÆVRE Høsten Vekstrater og eksponensiell vekst 1.1 Vekstrater i iskret ti Vekstraten til en størrelse Y angir hvor stor relativ enring enne størrelsen får over ti. I e sammenhengene vi skal se på vil et være hensiktsmessig å la tien måles i år. Vi bruker symbolet t for å angi tien målt i år fra et gitt starttispunkt. Me startår t 0 for kaleneråret 1960 vil t 1 angi kaleneråret 1961 og t 45 kaleneråret Typisk vil vi bare ha en observasjon av Y for hvert år. Det er a hensiktsmessig å betrakte t som en variabel som bare antar heltallsverier (for eksempel t 1960, 1961,...), et vil si at t er en såkalt iskret variabel. Det er vanlig å bruke notasjonen Y t for å betegne størrelsen Y målt på tispunkt t. La g t betegne vekstraten til Y i året t. Denne er a gitt ve g t Y t+1 Y t Y t, (1) et vil si som enring i løpet av året t relativt til nivået på Y ve inngangen til året t. Vi omtaler ofte vekstrater i prosent, men i matematisk formulering er et som regel mer hensiktsmessig å måle em som aneler. (For eksempel angis en vekstrate på 3 % me 0.03). Det er viktig å huske at en vekstrate er enringen relativ til nivået. Derfor tilsvarer en vekstrate på 0.03 en enring på 3 enheter når Y 100 og 30 enheter når Y Vekstrater i kontinuerlig ti I noen sammenhenger er et mer hensiktsmessig å betrakte tien som en kontinuerlig variabel, et vil si at t er alle reelle tall t 0. Det er særlig i teoretiske resonnementer et er mer hensiktmessig å bruke enne tilnærmingen. Konvensjonen er at vi nå bruker notasjonen i steet for Y t. Over efinerte vi vekstraten over året t. I kontinuerlig ti er et oftest mer interessant å betrakte vekstraten på akkurat tispunkt t. I steet for å 1

2 se på enring i Y mellom tispunkt t og t + 1 ser vi heller på en eriverte av me hensyn på tien. Dette er selvsagt som om vi ser på enringen over en uenelig kort (infinitesimal) perioe. La g(t) være vekstraten til Y på tispunkt t. Denne er a gitt ve g(t) I trå me vanlig praksis brukes her notasjonen Ẏ (t) Ŷ (t) (2) Ẏ (t) et vil si at prikk over en størrelse betyr at vi tar en tiseriverte av enne størrelsen. Tilsvarene bruker vi Ŷ (t) Ẏ (t) et vil si at når vi setter en hatt over størrelsen innebærer ette oppskriften (ette kalles en operator): finn en tiseriverte og el så på nivået. Dette er et samme som å finne vekstraten, så vi kan lese hatt over noe som synonymt me vekstraten til et som står uner hatten. Ofte vil vi unnlate å føre opp tien t eksplisitt og bare skrive Y i steet for. Dette for å få en mer kompakt notasjon. På samme måte vil vi skrive bare Ŷ og Ẏ, er vi lar tien inngå implisitt. 1.3 Konstante vekstrater Diskret ti La oss nå anta at vekstraten er konstant lik g over ti, vs for alle t. Spesielt har vi og erme Dette generaliserer seg til g Y t+1 Y t Y t g Y 1 Y 0 Y 0 Y 1 (1 + g)y 0 Y 2 (1 + g)y 1 (1 + g) 2 Y 0 Y t (1 + g) t Y 0 (3) 2

3 1.3.2 Kontinuerlig ti Her har vi altså g g Dette er en såkalt ifferensialligning (mer presist: en lineær orinær iff.- ligning av første oren). Det er ofte vanskelig å løse ifferensialligninger, og et forventes ikke kjennskap til ette temaet. I et spesielle tilfellet vi ser på her er imilerti løsninga så enkel og viktig at man bør kjenne til en. Denne lyer Y (0)e gt (4) er e er et helt spesielt tall e som anner basis for eksponentialfunksjonen f(x) e x. Dette er en inverse funksjonen til en naturlige logaritmen, vs ln(e x ) x. Det spesielle me eksponentialfunksjonen er at en er lik sin egen eriverte, et vil si (e x ) e x. Det er allti lett å sjekke om en løsning på en ifferensial ligning stemmer. For å gjøre ette trenger vi bare å erivere. I vårt tilfelle har vi (bruk kjerneregelen) som jo stemmer. Y (0) (egt ) gt (gt) Y (0)e Y (0)e gt g g Eksponentiell vekst Sien Y vokser vil en årlige enringen (antall enheter) bli større og større, selv om en relative enringen (anelen) er konstant. Dette kaller vi eksponentiell vekst. Grafisk ser vekstmønsteret ut som i en øverste grafen i figuren uner. Ve eksponentiell vekst er et ofte mer interessant å se på utviklingen til ln() enn. Fra (4) følger et at Y (0)e gt ln() ln(y (0)e gt ) ln() ln(y (0)) + ln(e gt ) ln(y (0)) + gt g 1 (ln() ln(y (0))) t Dette betyr at vekstraten kan leses av som helningen til kurven ersom vi plotter ln() mot tien. Viere følger et at en konstant vekstrate fra år til annet vil gi oss en konstant helning på enne kurven, slik som i en neerste grafen i figuren over. 3

4 Copyright 2005 Pearson Aison-Wesley. All rights reserve års regelen For å anskueliggjøre hvor rask vekst en vekstrate innebærer, snakker man ofte om vekstratens impliserte foroblingsti. Det vil si man oversetter vekstraten g til en tien et tar før størrelsen som vokser me rate g forobles. Det viser seg at et er en enkel tommelfingerregel som gjør et lett å regne ut enne. 70-regelen sier at hvis noe vokser me g % p.a. vil et forobles etter 70/g år. 10 % vekst gir forobling i løpet av 7 år. 7 % vekst gir forobling i løpet av 10 år. Beviset er rett fram. Foroblingstien t 2 er efinert ve Y (t 2 ) 2Y (0) som innebærer (når vi lar g være målt som rate) Y (t 2 ) Y (0)e gt 2 2Y (0) e gt 2 2 ln(e gt 2 ) ln(2) t 2 ln(2) 0, 70 g g Merk at mange (blant annet boka til Weil) i steet ofte snakker om 72 års regelen. Dette er fori 70 års regelen gjeler ve konstant vekst i kontinuerlig ti (som i (4)). Når man tenker på vekst og vekstrater i iskret ti (vs som i (3) vil ikke ette gjele like nøyaktig. Her er et vanskelig å finne en eksakt tilnærming slik som vi fant over. Numerisk sett viser et seg imilerti at estimatene passer bere når man bytter ut 70 me 72. Det er liten grunn til å være for opptatt av ette skillet. For små vekstrater er ikke forskjellen særlig stor, og i regelen ønsker vi å bruke foroblingstien bare for å illustrere størrelsesorenen til vekstrater. 4

5 1.5 Regneregler for vekstrater De følgene tre regnereglene for vekstrater er henige å kunne. ˆX + Ŷ (5) X/Y ˆX Ŷ (6) X a a ˆX (7) Ve bruk av isse reglene kan man lett finne vekstraten til mer sammensatte uttrykk, slik som K α L 1 α Kα L 1 α ÂL K α + L 1 α (Â + ˆL) α ˆK + (1 α)ˆl (Â + ˆL) Bevisene for isse tre resultatene er rett fram ve erivasjon og noe manipulasjon av uttrykkene X/Y ( ) (X/Y ) X/Y ẊY + XẎ ẊY XẎ Y 2 X/Y Ẋ X + Ẏ Y ˆX + Ŷ ẊY XẎ Ẋ X Ẏ Y ˆX Ŷ X a (Xa ) X a axa 1 Ẋ X a aẋ X Xa 1 a ˆX Xa 1 En alternativ måte å vise isse reglene på er ve logaritmisk erivasjon. Merk at (ln(x)) 1 X Ẋ ˆX ette betyr at vi kan bruke følgene proseyre for å finne vekstratene av sammensatte utrykk: 1) finn logaritmen, 2) eriver me hensyn på tien. For eksempel: ( K α L 1 α ) ln α ln(k) + (1 α) ln(k) (ln(a) + ln(l) K α L 1 α (α ln(k) + (1 α) ln(k) (ln(a) + ln(l)) α ln(k) + (1 α) ln(k) ( ln(a) + ln(l)) α ˆK + (1 α)ˆl (Â + ˆL) Me litt trening er enne metoen en enkleste å bruke. Regnereglene gjeler eksakt for vekstrater i kontinuerlig ti. For vekstrater i iskret ti vil e bare gjele me tilnærmet riktighet. Presisjonen til enne tilnærmingen blir årligere esto høyere tallverien til vekstratene er. 5 (8)