differensiallikninger-oppsummering

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "differensiallikninger-oppsummering"

Transkript

1 Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel. Differensiallikninger kan beskrive hvordan populasjoner forandrer seg, hvordan varmen beveger seg, hvordan fjærer vibrerer, hvordan radioaktivt materiale henfaller og mye mer. De er en veldig naturlig måte å beskrive mange ting i universet. En differensialligning er en ligning som uttrykker en sammenheng mellom en uavhengig variabel x, en funksjon(avhengig variabel) y(x), dens deriverte y (x) og eventuelt høyere ordens deriverte. En differensialligning beskriver en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte. For eksempel, hvis vekstraten dy er proporsjonal med y, kan man få differensialligningen: dx dy = ay, der a er proporsjonalitetskonstanten. Generelt en differensialligning er en ligning som dx forbinder en uavhengig variabel x, en avhengig variabel y og dens deriverte: L(x, y, y, y, ) = 0 Hensikten med å løse en differensialligning er å bestemme funksjonen, y = y(x). Klassifisering(type) En differensialligning er lineær dersom ligningen er lineær med hensyn til den ukjente funksjonen og dens deriverte. Lineær Ikke lineær y + y cos x = e x y + x cos y = e x y + x 2 y = ln x y + y 2 x = ln x Har differensialligningen minst et ledd uten den avhengige variabelen, er differensialligningen inhomogen ellers den er homogen. Homogen y + y cos x = 0 y + x 2 y = ln y Inhomogen y + x cos y = e x y + y 2 x = ln x I pensum vektlegges følgende differensiallikninger: 1) (MAT100) Separable differensiallikninger y = f(x)g(y) 12 differensiallikninger-oppsummering 15. april 2016 Side 1

2 2) (MAT107) Første orden av typen: ay + by = f(x) 3) (MAT107) Andre orden av typen: ay + by + cy = f(x) Separable diff. ligninger på formen: dy dx = f(x)g(y) Ligningen kan løses ved separasjon: Løs integralet og bestem y = y(x). 1 g(y)dy = f(x)dx Første orden homogen lineær differensialligning med konstante koeffisienter ay + by = f(x) Den generelle løsningen er lik summen til løsningen til den homogene differensialligningen og løsningen til den inhomogene differensialligningen (den spesielle(partikulære) løsningen): Homogen ay + by = 0 y(x) = y h (x) + y p (x) Ved å anta y = e rx er en løsning, kan man sette opp den karakteristiske ligningen: ar + b = 0. Den generelle løsningen av den homogene differensialligningen er y h = Ce b a x. For y p se her under. Andre orden homogen lineær differensialligning med konstante koeffisienter ay + by + cy = f(x) Den generelle løsningen er lik y(x) = y h (x) + y p (x). Homgoen ay + by + cy = 0 Ved å anta y = e rx er en løsning, kan man sette opp den karakteristiske ligningen: ar 2 + br + c = 0 Den generelle løsningen av den homogene differensialligningen er: C 1 e r1x + C 2 e r 2x y h = e rx (C 1 + C 2 x) e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx) Inhomogen ay + by + cy = f(x) r 1 r 2 ( reelle) r = r 1 = r 2 ( reelle) r = α ± iβ For å finne den partikulære løsningen, kan du gjette en spesiell løsning y s og finne konstantene ved innsetting (ubestemte koeffisienters metode). 15. april 2016 Side 2

3 f(x) k kx kx + l ke αx k sin βx k cos βx y p (x) A Ax + B Ax + B Ae αx A cos βx + B sin βx A cos βx + B sin βx Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et kontinuerlig system eller en prosess, basert på de likevektslikningene ( balanselikningene) vi har satt opp for prosessen (Matematisk modellering). Vi skal nøye oss med å finne en matematisk løsning på lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter. 15. april 2016 Side 3

4 12.1 Anvendelser i naturvitenskap og teknologi Anvendelser Differensialligning Grafen til løsningskurve y y 0 Radioaktiv stråling dy dt = ky gitt y(0) = y t Løsning y(t) = y 0 e kt y y 0 Sykdom spredning (vekst modell) dy = k(b y), k > 0 dt gitt y(0) = y 0 y 0 > B B y 0 < B y t Løsning y(t) = B + (y 0 B)e kt T 0 T 1 T 0 > T 1 T 0 < T 1 Temperaturendring dt dt = k(t T 1), k > 0 gitt T (0) = T 0 T t Løsning T (t) = T 1 + (T 0 T 1 )e kt Matematisk pendel En pendel består av en tynn homogen fast stav med lengde L og en kule med masse m som er festet i enden. Pendelen kan svinge fritt om aksen (uten friksjon i opphenget). Posisjonen til 12.1 Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 4

5 pendelen, vinkelen θ(t), er da gitt ved likningen θ + αθ + ω0 2 sin θ = 0, α 0, g der ω 0 = L, α = c, c er dempingsfaktoren, m er massen av pendelen, L er lengden av m L pendelen og g er tyngdens akselerasjon. α kalles ofte dempningskoeffisient. Linearisering (sin θ θ) : θ + αθ + ω0 2 θ = 0, α 0, Kloss-fjær Kommer senere. Dette kapittelet består av flere og mer omfattende eksempler på bruk av differensiallikninger Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 5

6 Kontrolloppaver - Differensiallikninger Oppsummering fra MAT100 (12.1 ) Oppgave : a) Hva er en differensiallikning? b) Hva vil det si at y = y(x) er en løsning til en differensiallikning. c) Ta et eksempel for en lineær homogen differensiallligning. Ta et eksempel for en ikke-lineær inhomogen differensiallligning. d) Klassifiser differensiallikningen y +x 2 y x cos y = 0 (orden, homogen/inhomogen, lineær/ikkelineær). Oppgave : Gitt differensiallikningene: a) Hva er største forskjellen mellom disse? b) Løs differensiallikningene. i) y = x 2 y ii) y = xy 2 Oppgave : Løs differensiallikningene: a) y + x = 1 b) y + y = 1 c) (1 + x 2 )y + y = 0 d) y = y sin x e) y + 2y = 6 f) y = 12 3y Oppgave : Oppgave : Løs differensiallignigen : dy dt = 3t2 + 2t + 5 y 2, gitt y(0) = 3 Løs differensiallikningene a) y y = 1 b) y 4y + 3y = 3t + 2 c) y + 4y = x d) y = 9y Oppgave : Et klasserom (20m 4m 2,5m ) inneholder i utgangspunktet frisk luft. Ved t = 0, et defekt varmesystem fører gass som inneholder 20% karbonmonoksid som skal pumpes inn i rommet ved en hastighet på 3m 3 per minutt. Den godt blandede luft ventileres ut i samme takt. a) Forklar hvorfor følgende startverdiproblem beskriver denne situasjonen: dk dt = 0, K, K (0) = 0 der K (t) er karbonmonoksid mengden ved tiden t (målt i min.) i rommet. b) Løs startverdiproblemet. 12 differensiallikninger-oppsummering 15. april 2016 Side 6

7 c) En karbonmonoksid-detektor i rommet utløses når karbonmonoksid når 1%. Finn tiden når detektoren vil varsle. Oppgave : En høyskolestudent skylder kr til et kredittkort selskap, med en rente på 10% per år. Studenten betalinger ned kontinuerlig med et konstant rate på kr. 150 per måned (kr per år). a) Forklar hvorfor følgende startverdiproblem beskriver denne situasjonen: dx dt = 0, 1x 1800, x(0) = der x(t) er beløpet studenten skylder kredittkortselskapet ved tiden t (målt i år). b) Løs startverdi problemet. Regn ut nedbetalingstiden. Oppgave : a) Hvilken av følgende differensiallikninger er lineær? i) y + 2x 2 y = e x ii) y + 3xy 2 = x b) Hvilken av følgende differensiallikninger er homogen? i) y + 2x 2 y e x = 0 ii) y + 3xy 2 = y Oppgave : Gitt L[y] = y 4y a) Vis at L[y] er en lineær operator. Vis at y = e 2x er en løsning til L[y] = 0. b) Bestem den generelle løsningen til differensiallikningen til a). c) Bestem den generelle løsningen til differensiallikningen y 4y = 6e x. Oppgave : En trekule blir sluppet med i vann. Den synker et stykke ned for så å flyte opp til overflaten. Hastigheten til kula i vannet på vei nedover er bestemt av likningen v = α(v + 2), hvor a = ln(1, 5). a) Vis at v = e αt 2 er løsningen til differensiallikningen. Bruk dette til å forklare hvorfor v = Ce αt 2 er den generelle løsningen. b) Ved tiden t = 0 setter vi farten til kula til å være v(0) = 1. Finn et uttrykk for hastigheten v = v(t) av kula mens den er på vei nedover i vannet. Oppgave : Anta at lysintensiteten I i et vann som funksjon av dybden x (målt i meter) tilfredsstiller differensiallikningen: I = µi. der absorpsjonskoeffisienten µ varierer med dybden. etter formelen µ = µ(x) = 1, 2 + 0, 06x (m 1 ). a) Uten å løse likningen verifiser ved innsetting at tilfredsstiller differensiallikningen. I(x) = Ce 1,2x 0,03x2 b) Bestem C når den ved overflaten er I 0. Finn lysintensiteten når x = 1m. Oppgave : Betrakt nådifferensiallikningen: w = 1, 2w + 0, 06t 12.1 Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 7

8 a) Uten å løse likningen verifiser ved innsetting at w(x) = e 1,2t + 0, 05t 1 24 tilfredsstiller differensiallikningen. Bruk dette til å sette opp den generelle løsningen uten å løse likningen. b) Løs differensiallikningen. Oppgave : En student skal begynne med et nytt fag og har ingen kunnskaper i faget når studiet starter. La K være studentens kunnskapsmengde i faget t måneder etter studiestart og la P være den totale kunnskapsmengden (pensum) studenten skal lære. En læringsmodell, basert på jevn jobbing, sier at mengden av nytt stoff som blir lært pr. tidsenhet, er proporsjonal med det som gjenstår å lære (proporsjonalitetsfaktor = m ). På grunnlag av dette kan vi sette opp følgende differensiallikning for studentens kunnskapsmengde som funksjon av tiden: K (t) = (P K ), m > 0 a) Vis at studentens kunnskapsmengde K kan skrives på formen: K (t) = P(1 e mt ) uten å løse differensiallikningen. b) Løs denne differensiallikningen og vis at K (t) = P(1 e mt ) c) Etter 1,5 måneder kan studenten halvparten av pensum. Hvor stor del av pensum kan studenten ved eksamen som finner sted 2,5 måneder etter studiestart? Oppgave : Gitt likningen y + 3y = 1, 2. a) Forklar kort hvorfor y(t) = K (konstant) er en løsning av likningen. Finn K. b) Vis at y(t) = e 3t + 0, 4 er en mulig løsning av likningen. Finnes det andre løsninger av likningen? Hvorfor? c) Finn til slutt den generelle løsningen av likningen. Finn en løsning som tilfredsstiller tilleggskravet at y(0) = 1. Oppgave : a) Løs differensiallikningene: i) y = xy 2 ii) y x = (y 2 + 1)(x + 1), gitt y(1) = 0 b) Løs differensiallikningene: i) y + y = 12e 3x ii) y + 9y = 18x, gitt y(0) = 2, y (0) = 1 c) Hva er forskjelligen mellom differensiallikningene: a) y = y 2 cos x og b) y = y cos x? Løs disse. Oppgave : Vann renner inn i en vanntank med konstant hastighet v 1 = 2liter/min. Gjennom et hull i bunnen renner det ut en vannstrøm som ved tiden har en hastighet på v 1 = t t La V (T ) være vannvolumet i tanken ved tiden T. Anta at det var 15 liter vann i tanken ved tidspunktet t = 0. a) Forklar hvorfor man kan sette opp: V = 2 t t 2, gitt V (0) = b) Sett opp en funksjon for V (T ) som kan beskrive hvor mye vann som er i tanken ved tiden T. Regn ut ved integrasjon hvor mye vann er i tanken etter 7 min. Oppgave : Hva vil det si at y 0 er en løsning til differensiallikningen L(y) = 0? Anta at y 0 er en løsning til L(y) = 0 der likningen er lineær og y 1 er løsning til L(y) = f(x), der f(x) 0. Hva er den generelle løsningen til differensiallignngen? 12.1 Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 8

9 Fasit Oppgave : a) Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et kontinuerlig system eller en prosess, basert på de likevektslikningene ( balanselikningene) vi har satt opp for prosessen (Matematisk modellering). En differensiallikning beskriver en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte. Generelt en differensiallikning er en ligning som forbinder en uavhengig variabel x, en avhengig variabel y og dens deriverte: L(x, y, y, y, ) = 0 Hensikten med å løse en differensiallikning er å bestemme funksjonen, y = y(x). b) Hvis y = y(x) er en løsning til en differensiallikning, vil det si at y = y(x) tilfredsstiller likningen. c) En lineær homogen differensiallligning: y + x 3 y = 0. En ikke-lineær inhomogen differensiallligning: y + xy 2 = cos x d) Første orden homogen ikke-lineær differensiallikning Oppgave : a) i) er lineær og ii) er ikke-lineær. b) For å løse disse kan vi benytte separasjonsmetoden: i) y = Ce x3 /3 ii) y = Oppgave : a) y = x (1/2)x 2 + C b) y = Ce x + 1 c) y = Ce arctan x d) y = Ce cos x e) y = Ce 2x + 3 f) y = Ce 3x + 4 Oppgave : Løsningsforslag y 2 dy = (3t 2 + 2t + 5) dt eller 1 3 y3 = t 3 + t 2 + 5t + C og dermed: 1 x 2 /2 + C y = 3 3(t 3 + t 2 + 5t + C). y(0) = 3 medfører: y = 3 3(t 3 + t 2 + 5t + 9). Oppgave : Ubestemte koeffisienters metode: a) y y = 1 y = y h + y s = C 1 e x + C 2 e x 1 b) y 4y + 3y = 3t + 2 y = y h + y s = C 1 e x + C 2 e 3x + t + 2 c) y + 4y = x y = y h + y s = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x x d) y = 9y y = y h + y s = C 1 e 3x + C 2 e 3x 12 differensiallikninger-oppsummering 15. april 2016 Side 9

10 Oppgave : dk a) dt = 3(0, K ) = 0, 6 3 K, K (0) = 0(frisk luft ved t = 0) 200 b) K (t) = 40 40e 3t/200 c) K (T ) = 0, = 2 gir T = 200/3(ln 20 ln 19). Oppgave : dx a) = 0, 1x = 0, 1x 1800, x(0) = dt b) x(t) = Ce 0,1t og x(0) = gir x(t) = 8000e 0,1t Nedbetalingstiden er : t = 10 ln 2, 25 8, 1 år. Oppgave : a) i) Lineær ii) Ikke lineær b) i) Inhomogen ii) Homogen Oppgave : a) L{y 1 + y 2 } = (y 1 + y 2 ) 4(y 1 + y 2 ) = y 1 4y 1 + y 2 4y 2 = L{y 1 } + L{y 2 }. L{αy 1 } = (αy 1 ) 4(αy 1 ) = α(y 1 4y 1) = αl{y 1 }. L{y} er dermed lineær. b) y = C 1 e 2x + C 2 e 2x c) y = C 1 e 2x + C 2 e 2x 2e x Oppgave : a) v = αe αt = α(v + 2). På grunn av linearitet b) v(t) = 3e t ln(1,5) 2 = 3(1, 5) t 2 Oppgave : a) I (x) = C( 1, 2xe 1,2x 0,03x2 b) C = I 0 og I = 0, 29I 0 Oppgave : a) Den homogene delen kan ganges med C: w(x) = Ce 1,2t + 0, 05t b) Deriver w og sett inn b) w = w h + w p der w p = At + B, Bestem A og B. Oppgave : a) K (t) (P K )(gjenstår å lære) og dermed: K (t) = m(p K ) der m > 0 b) Man kan bruke enten separasjonsmetode eller løse K + mk = mp ved K = K h + K p. c) ca. 29,2 prosent Oppgave : a) Den partikulære delen er en konstant(1,2). Innsett y(t) = K i ligninge og vi får: K = 0, 4. b) Fordi den homogene delen av likningen(y + 3y = 0) er lineær og kan ha flere løsninger med å gange den homogene løsningen med "C". Ja: y(t) = Ce 3t + 0, 4 (lineær differensiallikning). c) y(0) = 1 gir: y(t) = 0, 6e 3t + 0, Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 10

11 Oppgave : 1 a) i) y = (1/2)x 2 + C ii)y = tan(x + ln x 1) b) i) y = C 1 + C 2 e x + 2e 3x ii) y = 2 cos 3x sin 3x + 2x 1 c) a) er ikke lineær og b) er lineær. Løsning: a) y = sin x + C b) y = Cesin x Oppgave : a) Endringen i vannvolumet tanken: V = v 1 v 2. b) V (T ) = 15 + T 0 (2 t t )dt og V (7) = ln(50) Oppgave : Det vil si y 0 tilfredsstiller likningen, det vi si, med å sette inn y 0 i likningen får vi 0: L[y 0 ] = 0. Den generelle løsningen er da y = y h + y p = Cy 0 + y 1. Bemerk at dersom y 0 er en løsning til den homogene likningen og hvis likningen er lineær, er Cy 0 er også en løsning Anvendelser i naturvitenskap og teknologi 15. april 2016 Side 11

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)

Detaljer

Differensialligninger

Differensialligninger Oslo, 30. januar, 2009 (http://folk.uio.no/lindstro/diffoslonyprint.pdf) Vanlige ligninger og differensialligninger En vanlig (algebraisk) ligning uttrykker en sammenheng mellom det ukjente tallet x og

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Høst 2010

TMA4110 Matematikk 3 Høst 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Høst 010 Løsningsforslag Øving 4 Fra Kreyszig (9. utgave) avsnitt.7 3 Vi skal løse ligningen (1) y 16y

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430 MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.

Detaljer

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 45. Oppgaver til seminaret 11/11. Oppgaver til gruppene uke 46

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 45. Oppgaver til seminaret 11/11. Oppgaver til gruppene uke 46 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 45 Avsn. 6.1: 19, 31 Avsn. 7.9: 9, 17, 22 På settet: S.1, S.2 Oppgaver til seminaret 11/11 Oppgaver til gruppene uke 46 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 6.1 4, 5, 29

Detaljer

Definisjoner og løsning i formel

Definisjoner og løsning i formel Differensiallikninger Definisjoner og løsning i formel Forelesning uke 45, 2006 MAT-INF1100 Difflik. p. 1 Differensiallikninger Struktur i presentasjonen Lysarkene gjennomgår hovedpunkter fra Kalkulus

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet

Detaljer

Difflikninger med løsningsforslag.

Difflikninger med løsningsforslag. Repetisjon i Matematikk : Difflikninger med løsningsforslag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Eksamensrepetisjon REA4 Matematikk Difflikninger med løsningsforslag. Difflikninger med løsningsforslag. Dette

Detaljer

Prøve i R2. Innhold. Differensiallikninger. 29. november Oppgave Løsning a) b) c)...

Prøve i R2. Innhold. Differensiallikninger. 29. november Oppgave Løsning a) b) c)... Prøve i R2 Differensiallikninger 29. november 2010 Innhold 1 Oppgave 3 1.1 Løsning..................................... 3 1.1.1 a).................................... 3 1.1.2 b)....................................

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MEK1100 Differensiallikninger Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning i formel 3-4 spesielle

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

Optimal kontrollteori

Optimal kontrollteori Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7 Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 7. oktober 2011 Kapittel 6.4. Areal til omdreiningslegemer 3 Overflate-areal av en rotasjonsflate

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Separable differensiallikninger.

Separable differensiallikninger. Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 46 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag:

Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag: Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl. 09-15 Løysingsforslag: 1a Her er r 2 løysing av det karakteristiske polynomet med multiplisitet 2 pga. t-faktor. Det karakteristiske

Detaljer

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102 Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise

Detaljer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. januar 2005. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på

Detaljer

Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark

Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Prøve i Matte ELFE KJFE MAFE Dato: 2. desember 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 3 5 og B = [ 5 7 2 ] Regn

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2

Detaljer

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310)

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) TERJE SUND Innledning I matematisk optimering søker en å bestemme maksimums- og minimumspukter for funksjoner som avhenger av reelle variable og av andre

Detaljer

y = x y, y 2 x 2 = c,

y = x y, y 2 x 2 = c, TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 29.11.2011 REA302 Matematikk R2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001 side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001 Eksamen i : Fys-1001 Mekanikk Eksamensdato : 06.12.2012 Tid : 09.00-13.00 Sted : Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

Fagdag 7 - Start kapittel 6 - Differensialligninger. Arbeidsark

Fagdag 7 - Start kapittel 6 - Differensialligninger. Arbeidsark Fagdag 7 - Start kapittel 6 - Differensialligninger Arbeidsark Versjon: 11.04.09 - Var dessverre en del trykkfeil... Plan/innhold: Innledning Terminologi (6.1) Hva en differensialligning, orden, grad og

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. V.008. Løsningsforslag til eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. mai 008 kl. 0900-1400 Vi har ligningen der α er

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 6 juni 2017 Tid for eksamen: 14:30 18:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark Tillatte

Detaljer

Differensjalligninger av førsteorden

Differensjalligninger av førsteorden Differensjalligninger av førsteorden Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 2, 2014 Forelesning (29.10.2014): kap 7.9 og 18.3 Førsteordens ordinæredifferensjalligninger Initialverdiproblem

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x Løysingsforslag til eksamen i matematikk, mai 4 Oppgåve a) i) ii) f(x) x x + x(x + ) / ( f (x) x (x + ) / + x (x + ) /) g(x) ln x sin x x (x + ) / + x (x + ) / (x + ) x + + x x x + x + + x x + x + x +

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng

Detaljer

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Through the Looking-Glass and What Alice Found There, Lewis Carroll

Through the Looking-Glass and What Alice Found There, Lewis Carroll Kapittel 4 Modellering Let s pretend that you re the Red Queen, Kitty! Do you know, I think if you sat up and folded your arms, you d look exactly like her. Now do try, there s a dear! And Alice got the

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller

Detaljer

Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm

Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm Kapittel 9 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.1 Divergensfri strøm 9.1.1 Strømfunksjonen I kompendiet, kap. 4.6 og kap. 9, er det påstått at dersom et todimensjonalt strømfelt v(x y) = v x (x

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening

R2 kapittel 8 Eksamenstrening R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i boka Uten hjelpemidler Oppgave E a F (4) = f (4) = 4 4 b f x x [ F x ] F F ( ) Oppgave E5 ( )d = ( ) = (4) () = 6 = 7 Grafen til f ligger over x-aksen

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47. Oppgaver til seminaret 24/11

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47. Oppgaver til seminaret 24/11 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 47 På settet: S.1, S.2, S.3, S.4, S.5 Oppgaver til seminaret 24/11 Oppgaver til gruppene uke 48 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 6.6 3 Avsn. 6.7 3, 7 Avsn. 7.9 28, 29

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: mars 017 Tid for eksamen: 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning

Detaljer

Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( )

Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( ) Del Oppgave a) Deriver funksjonen f( x) = x cos( x) b) Deriver funksjonen ( ) ( 4 x f x = e + ) c) Gitt funksjonen f( x) = x 4x + x+ ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x =? ) Stiger eller synker

Detaljer

og variasjon av parameterene Oppsummering.

og variasjon av parameterene Oppsummering. Inhomogene differensiallikninger av andre orden Ubestemte koeffisienters metode og variasjon av parameterene Oppsummering. MAT-INF1100 October 30, 2007 NYTT TEMA Innhomogene likninger: Oppdeling i partikulær

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. a) Finn den deriverte av disse funksjonene: b) Finn disse ubestemte integralene: c) Finn disse bestemte integralene:

Høgskolen i Oslo og Akershus. a) Finn den deriverte av disse funksjonene: b) Finn disse ubestemte integralene: c) Finn disse bestemte integralene: Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: i) f(x) = x x 2 + 1 ii) g(x) = ln x sin x x 2 b) Finn disse ubestemte integralene: i) (2x + ) dx ii) 6 cos(x) sin 5 (x) dx c) Finn disse bestemte integralene:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid

Detaljer

Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel Integrerende faktor

Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel Integrerende faktor Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel 6.4 - Integrerende faktor Teori: Differensialligninger på formen y fx y gx (lineære i y av første orden) er ikke separable hvis ikke fx og gx er tallkonstanter.

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)

Detaljer

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii) 1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.

Detaljer

Tidligere eksamensoppgaver

Tidligere eksamensoppgaver Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet differenslikninger, og noen om komplekse tall, gitt ved UiO. Den første oppgaven gir

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

d) Vi skal nne alle lsningene til dierensialligningen y 0 + y x = arctan x x pa intervallet (0; ). Den integrerende faktoren blir R x e dx = e ln x =

d) Vi skal nne alle lsningene til dierensialligningen y 0 + y x = arctan x x pa intervallet (0; ). Den integrerende faktoren blir R x e dx = e ln x = Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 far du trening i a lse ulike typer dierensialligninger, og her far du bruk for integrasjonsteknikkene du lrte i forrige kapittel. Men vel

Detaljer

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1. Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer

x t + f y y t + f z , og t = k. + k , partiellderiverer vi begge sider av ligningen x = r cos θ med hensyn på x. Da får vi = 1 sin 2 θ r sin(θ)θ x

x t + f y y t + f z , og t = k. + k , partiellderiverer vi begge sider av ligningen x = r cos θ med hensyn på x. Da får vi = 1 sin 2 θ r sin(θ)θ x TMA4105 Matematikk 2 Vår 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: Torsdag 10 januar 2008 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 6

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

9 + 4 (kan bli endringer)

9 + 4 (kan bli endringer) Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Onsdag 29. april 25 Antall oppgaver: 9 + 4 (kan bli endringer) Finn de ubestemte integralene a) 2x 3 4/x dx b) c) 2 5

Detaljer

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i fag MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I Høst 2008

Løsningsforslag til eksamen i fag MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I Høst 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 9 Løsningsforslag til eksamen i fag MA111/MA611 Grunnkurs i analyse I Høst 2 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved

Detaljer

K Andre Ordens Differensialligninger

K Andre Ordens Differensialligninger K 6.6 - Andre Ordens Differensialligninger Innhold: H-P Ulven, 03.04.09 Terminologi Utvikling av regel for løsning av y ay by 0 (Tilfelle: y Ce r 1x De r x ) Utvikling av regel for løsning av y ay by 0

Detaljer