1. Matteoppgaver til Kapittel 2. x i x yi y. (a + bxi ),

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1. Matteoppgaver til Kapittel 2. x i x yi y. (a + bxi ),"

Transkript

1 FRIVILLIGE MATTEOPPGAVER FOR STK1000 KAPITTEL 2 STEFFEN GRØNNEBERG Sammenrag. Følgene oppgaver er til glee for matteinteresserte STK1000- stuenter som ønsker å gå litt ypere inn i e matematiske aspektene av kurset enn et pensumet ellers legger opp til. I motsetning til resten av oppgavene vi ellers gir er ikke oppgavene eksamenspensum, men er helt frivillige er lag til fornøyelse for e interesserte. Oppgavene skal kunne løses av matteinteresserte stuenter som bare har matte fra vieregåene skole. er 1. Matteoppgaver til Kapittel 2 Oppgave 1. Vi skal her vise et matematiske resultatet at (Korrelasjon) 2 = r 2 = 1 ( ) ( ) x i x yi y n 1 s x s y 1 n 1 (a + bxi ^y) 2 = Anel y-variasjon forklart av regresjonslinjen = (yi ^y) 2 ^y = 1 n (a + bxi ), 1 n 1 er vi har gitt at b = r s y, s x fra likningene på sie 137 i boken. i. La oss først introusere notasjonen a = y b x ^y i = a + bx i for en preikerte verien av en i'te x-verien. Vis at ^y = 1 n ^yi = y. ii. Ve hjelp av forrige punkt, vis at (^yi ^y) 2 = b 2 (n 1)s 2 x. iii. Ve hjelp av forrige punkts utregning, vis at (^yi ^y) 2 (yi ^y) 2 = r2, som var et som skulle vises. Hint: Husk at (y i ^y) 2 = (n 1)s 2 y. Oppgave 2. I forrige uke jobbet vi me to talloppsummeringer som begge prøver å formalisere hva vi intuitivt tenker på som miten av et atasett. Mens meianen var en observasjonen (eller gjennomsnittet av e to observasjonene) som har like mange observasjoner til høyre som til venstre for seg, var gjennomsnittet tilnærmet balansepunktet til et histram av atasettet, vs gjennomsnittet er nær Date: 27. august

2 2 STEFFEN GRØNNEBERG et punktet er man kunne ha balansert et histram på ngeren hvis man kunne ha løftet et ut av arket. Se gur 1.25 i boken for en tegning av hva jeg mener. Vi gjore et poeng ut av at gjennomsnittet ikke var resistent, men at meianen var et. Denne egenskapen kommer til å ha overraskee store konsekvenser for resten av kurset, et er erfor vert å invistere litt ti for å skjønne hva som skjer her. Vi forklarte ikke hvorfor gjennomsnittet ikke var resistent, mens meianen var et, men ga et eksempel som illustrasjon. Vi skal her vise at ette er tilfellet. Anta vi har observasjoner x 1, x 2,..., x n hvor vi for konkrethet antar at n er et oetall. Basert på isse observasjonene beregner vi meianen M n gjennomsnittet x n. Merk at vi har lagt til et tegn båe på meianen gjennomsnittet som sier hvor mange observasjoner vi har. Vanligvis skriver vi bare M for meianen av observasjonene x = 1 n xi, men vi skal i oppgaven tenke oss at vi får en observasjon til, som vi kaller x n+1. For å skille e to gangene vi har n n + 1 observasjoner bruker vi erfor heller notasjonen M n mot M n+1 mot x n = 1 n n x i x n+1 = 1 n+1 x i. n + 1 Pass på å ikke blane sammen x n+1, som er en observasjon, me x n+1 som er gjennomsnittet av x 1, x 2,..., x n, x n+1. i. Vi ser først på meianen. La oss si vi har observert x 1 = 2, x 2 = 4, x 3 = 6, x 4 = 8, x 5 = 10. Hva er meianen? ii. Anta at vi nå har samme observasjoner som forrige punkt, men av vi så har en sjette observasjon x 6 = Altså er atasettet vårt x 1 = 2, x 2 = 4, x 3 = 6, x 4 = 8, x 5 = 10, x 6 = Hva er nå meianen? Har et noe å si at x 6 er akkurat en million, ikke f.eks hunre millioner? iii. La oss generalisere e to forrige punktene. Det vil si, vi skal bruke grunnieen i e to forrige punktene til å vise at fenomenet vi observerte gjeler for en hver samling observasjoner, er ikke noe velig spesikt for tallene 2, 4, 6, 8, 10, Oppskriften for å nne meianen til atasettet x 1, x 2,..., x n begynner me at man skal sortere et, se sie 42 i boken. La oss si at ette skrittet er gjort, man har funnet at en minste observasjonen er r 1, en nest minste er r 2 så viere, opp til en største observasjonen som vi kaller r n. I eksemplene over var observasjonene alleree i stigene rekkefølge, så vi trengte ikke å gjøre ette skrittet.

3 FRIVILLIGE MATTEOPPGAVER FOR STK1000 KAPITTEL 2 3 Vi antok i beskrivelsen over at n er et oetall. Alle oetall må 1 kunne skrives på formen n = 2m + 1 for et heltall m. Den observasjonen me like mange anre observasjoner som er høyere som lavere er erfor r m+1, vi har at Meian = M n = r m+1. La oss så si at vi legger til en observasjon x n+1 som er enten større eller minre enn alle tiligere observasjoner. Forklar at meianen M n+1 til et nye utviete atasettet er r m + r m+1 2 hvis x n+1 er minre enn alle tiligere observasjoner, eller r m+1 + r m+2 2 hvis x n+1 er større enn alle tiligere observasjoner. Sien ette er helt uavhengig av størrelsen til x n+1 klarer vi ikke å rokke meianen til atasettet velig mye ve bare en eneste ny observasjon, uansett om en er ekstremt langt vekk fra alle anre observasjoner. Altså kan vi konkluere me at meianen resisent. iv. Vi skal så se på gjennomsnittet. Hvis man stoler på tolkningen av at gjennomsnittet er tilnærmet lik balansepunktet til histrammet kan man intuitivt se hva som går galt. Et balansepunkt foranres lite hvis man legger på litt vekt nær gjennomsnittet, men hvis man tenker seg at man putter litt vekt langt ute på kantene sier fysisk intuisjon oss at ette lett tipper over balansen. Vi skal ikke gjøre enne forklaringen presis (men man kan vise ette via Newtons lover) skal heller bruke enkel algebra for å komme til samme konklusjon om at en ny observasjon langt vekk fra gjennomsnittet foranrer gjennomsnittet mye. Som en forbereelse til ette generelle argumentet, svar på spørsmålene i i punkt (i) (ii) over, men isteen for meianen, regn ut gjennomsnittet kommenter resultatet. v. La x n være gjennomsnittet basert på x 1, x 2,..., x n, mens x n+1 er gjennomsnittet av x 1, x 2,..., x n, x n+1. Altså er x n = 1 n x i, n mens x n+1 = 1 n+1 x i. n + 1 Vi er interessert i å sammenlikne forskjellen mellom x n x n+1. Forskjell mellom to tall kan uttrykkes ve eres ieranse. Vi ar altså interessert i hvoran x n x n+1 oppfører seg i forhol til hva x n+1 er. Vis at x n x n+1 = 1 n + 1 (x n+1 x n ). 1 Oetall er e tallene som ikke er partall. Partall er enert som at e eles på to, vs at e ikke har noe rest når e eles på to. Disse tallene må erfor kunne skrive som 2p for et heltall p. Sien man bare kan ha en eller to i rest når man eler et tall på to kan erfor alle oetall skrives som 2m + 1, rett slett fra hva et vil si at man har en i rest.

4 4 STEFFEN GRØNNEBERG Konkluer me at x n+1 er lik x n bare når x n+1 = x n, at x n+1 er minre enn x n bare når x n+1 < x n at x n+1 er større enn x n bare når x n+1 > x n. Hint: Vi har at x n+1 = 1 n+1 x i = 1 n + 1 n + 1 (x 1 + x x n + x n+1 ) = 1 n + 1 (x 1 + x x n ) + 1 n + 1 x n+1 = 1 n + 1 n x i + 1 n + 1 x n+1. vi. La oss så tenke oss at vi kan bestemme selv hva x n+1 skal være. Vi tenker på ette som en variabel (nå ikke i statistisk forstan, men i matematisk forstan). La oss erfor i heller kalle x n+1 for x, la Altså for en konkret x n+1 -veri er f(x) = 1 n + 1 x 1 n + 1 x n. x n x n+1 = f(x n+1 ), så hvoran f oppfører seg vil altså svare på hva som skjer me gjennomsnittet sett at man har en ny observasjon. La oss så anta at vi jobber me atasettet i oppgave (i). Altså har vi n = 5, Skriv ne funksjonen x 1 = 2, x 2 = 4, x 3 = 6, x 4 = 8, x 5 = 10. f(x) = 1 n + 1 x 1 n + 1 x n. for enne konkrete situasjonen. Dette er en rett linje på formen f(x) = a + bx. Tegn en skisse av enne linjen, beregn f( ) si hva enne verien betyr. vii. En rett linje som ikke er på formen f(x) = a, et vil si ikke er en horisontal linje, vil allti gå mot uenelig når x minus uenelig når x. Hvis man har lyst til å forklare ette uten å bruke uenelighetskonseptet kan man si at man vil allti kunne nne x verier som gjør at f(x) blir vilkårlig stor eller vilkårlig liten, så lenge b 0 når f(x) = a + bx. Hvorfor viser ette at gjennomsnittet alri er resistent? viii. La oss nå si at vårt observerte atasett faktisk er som i oppgave (ii), et vil si x 1 = 2, x 2 = 4, x 3 = 6, x 4 = 8, x 5 = 10, x 6 = Meianen foranres altså ikke i et heletatt i forhol til hva slags veri x 6 er, noe gjennomsnittet helt klart gjør ( fra våre tiligere anstrengelser vet vi essuten nå hvor mye, uansett hva x 6 skulle være). Det at meianen er resistent presenteres som utelukkene en positiv ting. Men er et ikke rart å si at sentret til x 1,..., x 6 er meianen uansett hvor stor verien til x 6 skulle være? Kritiser båe meianen gjennomsnittet som mål på senter me startpunkt i ette.

5 FRIVILLIGE MATTEOPPGAVER FOR STK1000 KAPITTEL 2 5 ix. Til slutt, la oss se hva som skjer hvis vi prøver å følge samme skritt som gjennomsnittsanalysen over, men nå for meianen. Det vil si, vi stuerer hvoran f(x n+1 ) = M n M n+1 oppfører seg. Det har seg nemlig slik at grunnieen vår i analysen av gjennomsnittet over, et vil si å introusere f(x), leer til en fruktbar angrepsmåte for å stuere resistensegenskapene til alle mulige talloppsummeringer, en generalisering av enne tanken er en sentral teknikk innen fagfeltet robust statistikk. En litt mer matematisk sostikert versjon av enne iéen har leet til ere bøker (!), i faglitteraturen kalles f(x) en empiriske inuensfunksjonen til talloppsummeringen man jobber me. For å nne en empiriske inuensfunksjonen til meianen må vi ta hensyn til at vi i punkt (iii) bare jobbet me tilfellet hvor en nye observasjonen x n+1 var utenfor rekkevien til atasettet (et vil si større enn en største observasjonen eller minre enn en minste observasjonen). Ve å så ta hensyn til e tre resterene tilfellene, forklar at 0.5(r m+1 + r m+2 ), hvis x n+1 > r m+2 0.5(r m + r m+1 ), hvis x n+1 < r m M n+1 = x n+1, hvis x n+1 = M n (husk at M n = r m+1 ) 0.5(r m+1 + x n+1 ), hvis r m+1 x n+1 r m+2 0.5(x n+1 + r m+1 ), hvis r m x n+1 r m+1 konkluer me at en empiriske inuensfunksjonen til meianen er 0.5(r m+2 r m+1 ), hvis x > r m+2 0.5(r m r m+1 ), hvis x < r m f(x) = 0, hvis x = M n. 0.5(x r m+1 ), hvis r m+1 x r m+2 0.5(x r m+1 ), hvis r m x r m+1 Hvoran ser f(x) ut? Hva er en største minste verien f(x) kan ta? Hvorfor er et en viktig vesensforskjell mellom inuensfunksjonen til meianen inuensfunksjonen til gjennomsnittet at en ene er begrenset, mens en anre er ubegrenset? Oppgave 3. Det er i utgangspunktet ingen innlysene grunn til f(x) = a + bx faktisk er en rett linje, erme bør man rettferiggjøre at f(x) = a + bx passer me hva vi intuitivt mener me en rett linje. En enkel rettferiggjøring er å plotte 2 mange funksjoner på formen f(x) = a + bx for forskjellige valg av a b, for så å se at et blir en rett linje. Man kan eretter tenke seg til at ette må være generelt. Dette er noe utilfresstillene sien man må stole på ette gjetteskrittet, man kan ønske seg noe ena mer overbevisene. Det er vert å merke seg at man nemlig har to forskjellige språklige nivåer når man snakker om rette linjer. For et første er en rett linje et matematisk objekt som er enert fullstenig ve hjelp av matte. I enne matematiske verenen har ikke orene rett linje noe mer betyning enn ens matematiske enisjon (som kan rett slett være alle funksjoner på formen f(x) = a + bx). I enne verenen gir 2 Å plotte en funksjon f(x) vil si å velge et utvalg av x-verier, la oss si x 1, x 2,..., x n, for så å kjøre hver en x i igjennom f-funksjonen. Man kan så tegne opp punktene (x 1, f(x 1 )), (x 2, f(x 2 )),..., (x N, f(x N )) for å få et inntrykk av hvoran sammenhengen mellom x-verier y-verier er.

6 6 STEFFEN GRØNNEBERG et ikke noen mening å betvile om slike funksjoner er en rett linje, sien e er rett slett enert til å være et. Det anre språklige nivået er at vi har et inntrykk av hva en rett linje er i vår fysiske veren. Selv om vi ikke vet om fullstenig rette linjer kan nnes i virkeligheten, tenker vi på em intuitivt bruker em som et intellektuelt verktøy for å komme til viktige svært praktisk relevante konklusjoner om virkeligheten. Det vi ønsker er altså at et er samsvar mellom isse to språklige nivåene til en tilfresstillene gra. Man kan tenke på ette samsvaret som at man lager en matematisk formalisering av noe vi har intuisjon om i veren, enne formaliseringen kalles å lage en matematisk moell. Matematiske moeller er overalt runt oss, å gota koblingen mellom virkeligheten moellen er så selvfølgelig at man ofte ikke tenker på et (tenk f.eks på koblingen mellom ere fysiske objekter tall). For å sjekke om en matematiske moellen av en rett linje gitt av f(x) = a + bx samsvarer me vår intuisjon om en rett linje må vi bestemme oss for hva slags fellestrekk mellom moell virkelighet som må være til stee hvis vi skal bli overbevist om at et første er en moell av et anre. Det er her vert å merke seg at statistikk så lager matematiske moeller, men at isse har en mye mer komplisert kobling mellom matematisk iealisering fysisk virkelighet enn hva vi trenger for rette linjer. Spennene nok bruker man tanker om enne koblingen til å løse praktiske statistiske problemer! Vi skal esverre ikke tenke mye på koblingen mellom virkelighet statistisk moell i STK1000, men et er viktig å vite om problemet. Og akkurat i statistikk er et spesielt viktig å hole styr på at et virkelig er en viktig istingsjon mellom matematisk moell virkelighet for å så prøve å ta hensyn til ette så got man kan. Også for rette linjer er ette tilfellet. Relativitetsteorien er her prototypeeksemplet, som viser at hvoran veren ser ut (som at rette linjer eksisterer på en måten vi intuitivt oppfatter em) ikke behøver å være slik virkeligheten er. Hvis man tenker seg om, vil e aller estes intuitive forståelse av at en funksjon f(x) ser ut som en rett linje når en plottes bety at en opprettholer følgene egenskap. Funamental linjeegenskap Funksjonen f(x) foranrer seg like mye på alle like store intervaller. Det vil si: For alle tall x 1, x 2, x 3, x 4 slik at x 1 x 2 er like langt fra hveranre me samme oren som x 3 x 4, vs x 1 x 2 = x 3 x 4 vil så f(x 1 ) f(x 2 ) være like langt fra hveranre me samme oren som f(x 3 ) f(x 4 ), et vil si f(x 1 ) f(x 2 ) = f(x 3 ) f(x 4 ). Man gå så langt som å si at hvis en persons intuisjon om rette linjer ikke opprettholer enne egenskapen, vet han ikke hva man mener når man snakker om rett linjer. Me ette mener jeg ikke at et jeg har skrevet opp som en funamentale linjeegenskapen må være et man har intuisjon om, men at intuisjonen må være helt tilsvarene enne egenskapen. En annen beskrivelse av rette linjer i virkeligheten er at et er noe som blir horisontalt hvis man roterer hoet i riktig vinkel. Dette ville vært en jevngo beskrivelse, ville leet til anre skritt enn et vi skal gjøre uner. Her måtte man i tillegg ha forsikret seg om at en matematiske beskrivelsen av rotasjon så samsvarer me et man intuitivt tenker me rotasjon, erfor foretrekker jeg beskrivelsen min over.

7 FRIVILLIGE MATTEOPPGAVER FOR STK1000 KAPITTEL 2 7 Det nnes sikkert mange anre beskrivelser som er jevngoe, i siste punkt i oppgaven ber jeg eg om å komme frem til en annen jevngo beskrivelse som leer til enklere utregning. i. Vis at hvis f(x) = a + bx vil en funamentale linjeegenskapen være opprettholt. Det vil si, anta at u har gitt re tall x 1, x 2, x 3, x 4 slik at x 1 x 2 = x 3 x 4, vis at a må så f(x 1 ) f(x 2 ) = f(x 3 ) f(x 4 ). ii. Forrige punkt viser at f(x) = a + bx opprettholer en beskrivelse man kan anse som overbevisene for at et er en rett linje, vi er på en måte ferig. Men ette er fortsatt litt utilfrestillene. Vi vil egentlig gå lenger, si at en funamentale linjeegenskapen ikke bare er opprettholt, men at et bare er funksjoner på formen f(x) = a + bx som opprettholer en så en funamentale linjeegenskapen er et uttrykk for essensen av hva en linje er at f(x) = a + bx bare er en annen måte å uttrykke enne essensen. De følgene punktene skal vise at ette er faktisk tilfellet. Anta vi har en funksjon f(x) som opprettholer en funamentale linjeegenskapen. Vi altså ønsker å vise at et a må et nnes tall a, b slik at f(x) = a + bx. Anta en funksjon f(x) opprettholer en funamentale linjeegenskapen. Vis at ette er et samme som at g(x) = f(x) f(0) så opprettholer en funamentale linjeegenskapen. Konkluer me at vi uten tap av generalitet kan anta at f(0) = 0 ve å isteenfor jobbe me g(x) hvis et trengs. OBS: Hvis f(x) faktisk er på formen a + bx, vil f(0) = a, slik at g(x) = bx g(1) = b. Altså er g(x) linjen som starter i null, er litt enklere å jobbe me. De resterene skrittene er å vise at g(x) = g(1)x, vi skal først anta x er heltall, så at x er mellom 0 1, for så å sette isse to tilfellene sammen slik at et passer for alle reelle tall x. iii. Anta gitt samme f(x) g(x) som forrige punkt. Vis at g(1) = g(2) g(1), slik at g(2) = 2g(1). Hint: Velg x 2 = 0. iv. Generaliser forrige punkt, slik at g(1) = g(3) g(2) gir g(3) = 3g(1) oppover til g(n) = ng(1) for et positivt heltall n. Vis så at g( n) = ng(1) som følger av valgene x 1 = n, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = n sammen me at g(n) = ng(1). v. Vis at for to tall u v er g(u + v) = g(u) + g(v). Generaliser til g( u i ) = g(ui ) for vilkårlige men gitte tall u 1, u 2,..., u N. vi. For ethvert reelt tall y kan man skrive y = n+x, er n er et heltall 0 x < 1. Anta så at vi vet at for slike x-verier så er g(x) = xg(1). Hvorfor kunne vi a konkluert me at g(y) = yg(1)? vii. Vi skal så vise at for 0 x < 1 er g(x) = xg(1). For ette minner jeg på at alle esimaltall x mellom 0 1 kan skrives som ( i 1 x = q i, 10) hvor hver q i er en av våre ti vanlige Hinu-Arabiske siere (vs, 0, 1, 2,..., 9). For eksempel er π 3 = så q 1 = 1, q 2 = 4, q 3 = 1, q 4 = 5 så viere oppover. Det er erimot ingen matematisk grunn til at vi bruker ti sier, vi kunne like så got ha brukt to.

8 8 STEFFEN GRØNNEBERG Da bruker vi et binære tallsystemet. Vi er nå bare interessert i esimaltall x mellom 0 1, man kan så vise at et et nnes r 1, r 2,... som enten er 1 eller 0, slik at ( i 1 x = r i, 2) som er en såkalte binærutviklingen av x. Vis at g( 1 2 ) = g(1) g( 1 2 ), som gir at g( 1 2 ) = 1 2 g(1). Vis så at g( 1 4 ) = g( 1 2 ) g( 1 4 ) som gir g( 1 4 ) = 1 4g(1). Generaliser til at ( ) i ( ) i 1 1 g( ) = g(1). 2 2 viii. Bruk forrige punkt g( u i ) = g(u i ) til å vise at for x mellom 0 1 er ( ( ) ) ( i 1 ( ) ) i 1 g(x) = g r i = g r i = xg(1). 2 2 Konkluer me at for alle reelle tall y er g(y) = yg(1), så man har f(x) = f(0) + (f(1) f(0)) x et vil si f(x) = a + bx me a = f(0) b = f(1) f(0). ix. Prøv å nn en beskrivelse av rette linjer som er jevngo me me et jeg har kalt en funamentale linjeegenskapen. Vis at f(x) = a + bx opprettholer enne beskrivelsen, prøv å vis at et bare er funksjoner på formen f(x) = a + bx som passer i beskrivelsen in. En kritikk på min funamentale linjeegenskap er at en ikke klarer å jobbe me vertikale linjer på formen x = c. Rotasjonsbeskrivelsen av linjer lier ikke av enne svakheten, kan u nne en jevngo beskrivelse som så klarer ette tilfellet? Oppgave 4. En helt sentral operasjon i statistikk er å plusse sammen tall. Boken bruker summasjonstegnet Sigma, et vil si, for å si pluss sammen alle isse tallene. Hvis man så har tall x 1, x 2,..., x n kan man skrive summen av em som xi. Det vil si, xi = x 1 + x x n. Vi skal her vise følgene grunnleggene regler for summasjonstegnet. (A) For et tall a tall x 1, x 2,..., x n er (ax i ) = a x i. Altså kan man sette konstanter utenfor summasjonstegnet (hvor konstanter vil si tall som ikke avhenger av i). (B) For tall x 1, x 2,..., x n y 1, y 2,..., y n er (x i + y i ) = ( x i ) + ( y i ), som gir en måte å splitte opp kombinere summasjoner. (C) For to tall a b, tall x 1, x 2,..., x n y 1, y 2,..., y n, er (ax i +by i ) = a x i + b y i, som er en kombinasjon av e to reglene over. Etter å ha vist isse tre skal vi bruke em til å komme frem til et resultat som vil være av nytte i neste oppgave hvor vi skal vise hvorfor regresjonslikningene er slik e er. Formålet me en nåværene oppgaven er:

9 FRIVILLIGE MATTEOPPGAVER FOR STK1000 KAPITTEL 2 9 Isteet for å tenke på n x i ut i fra sine eler, et vil si at en er bygget opp av summen av e iniviuelle tallene x 1, x 2,..., x n, er et ofte mulig å tenke på helheten (abstrahere) for å se hva slags regler som a opprettholes. Dette er et eksempel på et generelt prinsipp som ofte gjør et lettere å hole styr på regne me mange tall på en gang. Å vise en ientitet vi får bruk for i neste oppgave, som viser hvorfor minste kvaraters linje er på formen en er på. Som starthjelp ( for å vise hva som menes at man skal gjøre) viser jeg en første reglen. Vi vet at (axi) = ax1 + ax2 + + axn. Altså kan vi faktorisere ut a, få ax 1 + ax ax n = a (x 1 + x x n ). Man kan så skrive x 1 + x x n som x i, man kan konkluere me at (axi ) = a x i. i. Vis regel 2, men helst ikke me mer etaljer enn over. Svaret itt bure være på noen få linjer. ii. Vis regel 3, men helst ikke me mer etaljer enn over. Svaret itt bure være på noen få linjer. iii. Vis at (xi x) 2 = x 2 i 1 ( ) 2 xi. n Hint: Start me at (x i x) 2 = x 2 i 2x i x + x 2. Vis så at man kan bruke regel 3 over for å få at (xi ( ) ( ) x) 2 = x 2 i 2 x xi + x 2. Husk så at x = 1 n xi legg merke til at xi = 1 x i, sien man allti har lov til å gange ethvert tall me en ( x i er bare et tall! ). Sien n n = 1 vil altså xi = 1 x i = n xi = n 1 xi = n x. n n iv. Vis at (xi x)(y i y) = ( xi y i ) n x y. Hint: Skriv ut (x i x)(y i y) = x i y i x i y xy i + x y bruk tilsvarene triks som forrige punkt. v. Bruk e to siste punktene til å vise at for alle tall x 1, x 2,..., x n y 1, y 2,..., y n er (xi x)(y i y) (xi x) 2 = n x i y i ( x i ) ( y i ) n x 2 i ( x i ) 2. Konkluer me at Hint: Husk at n x i y i ( x i ) ( y i ) n x 2 i ( x i ) 2 r = 1 n 1 = r s y s x. ( ) ( x i x yi y s x s y ),

10 10 STEFFEN GRØNNEBERG så fra regel 1 har vi Oppgave 5. Gitt observasjoner r = 1 1 (xi x)(y i y). n 1 s x s y (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) oppgir bokens seksjon 2.3 at blant alle tall a b er et akkurat valgene b = r s y s x, a = y b x (1) som gjør (avstan fra a + bxi til observert punkt y i ) 2 = y i (a + bx i ) 2 = (y i a bx i ) 2 minst. Altså, hvis man vil nne en linje som passer best til observasjonene (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ), velger å enere best som at en har minst summert kvarert feil, er enne beste likningen gitt ve ^y = ( y r s y x) + r s y x s x s x I boken kommer enne likningen ut fra løse luften. Vi skal her se hvorfor en er som en er. For å gjøre et trenger vi følgene punkter fra Kalkulus. (A) Hvis en funksjon f(x, y) er enert for alle x R, y R er passene glatt (for eksempel er knekkpunkter ikke tillatt) vil en funksjon av to variable f(x, y) bare kunne ha maksimums- eller minimumspunkter (et vil si e (x, y)-kombinasjonene er f(x, y) er størst eller minst, hvis slike punkter nnes) er hvor båe f(x, y) = 0 (2) x f(x, y) = 0. (3) y Det kan altså got være at f(x, y) ikke har noen maksimums eller minimumspunkter, men hvis en har et, må likningene (2) (3) være opprettholt. Her leses f(x,y) x f(x,y) y som en partiell eriverte av f(x, y) me hensyn på x, som en partiell eriverte av f(x, y) me hensyn på y. Heligvis er partiell eriverte som konsept ikke noe nytt rent matematisk, men er bare en anvenelse av vanlige eriverte. Her betyr nemlig f(x,y) x at man eriverer f(x, y) me hensyn på x lar y være en konstant, mens f(x,y) y betyr at man eriverer me hensyn på y lar x være en konstant. Det vil si at hvis vi har lyst til å nne f(x,y) x, kan man lage seg en ny funksjon g(x) = f(x, y) hvor y er et faststatt tall man har at f(x, y) x = g (x). Og hvis man har lyst til å nne f(x,y) y, kan man lage seg en ny funksjon h(y) = f(x, y) hvor enne gang man har latt x være et fastsatt tall, man har f(x, y) = h (y). y

11 FRIVILLIGE MATTEOPPGAVER FOR STK1000 KAPITTEL 2 11 For eksempel, hvis f(x, y) = 2x 2 y vil f(x, y) = 4xy 2 x f(x, y) = 4x 2 y. y Altså, hvis man leter etter maksimums- minimumspunktene til en slik funksjon f(x, y), kan man sette opp alle løsningene til likningene (2) (3) sammenlikne isse. For eksemplet over har ikke f(x, y) et maksimumspunkt, sien hvis man velger en x eller y som er stor nok, vil f(x, y) overstige enhver veri. Derimot har en et minimumspunkt, man kan se at 4xy 2 = 0 4x 2 y = 0 bare har en løsning, nemlig x = 0, y = 0, som er minimumsverien til f(x, y). Verien en tar i sin minimumsveri er f(0, 0) = 2. Eksistens av minimums- maksimumspunkter slipper vi heligvis å tenke på i vår oppgave, takket være neste punkt. (B) Hvis en ikke-negativ funksjon f(x, y) bare har ett punkt (x 0, y 0 ) hvor begge partsielleriverte er null, en er en ubegrenset funksjon (et vil si at for passene valg av x y kan man få f(x, y) til å være så stor man bare vil), må (x 0, y 0 ) være et minimumspunkt. (C) Man lærer på vieregåene at hvis man har to funksjoner, nå i en variabel, som heter f 1 (x) f 2 (x) vil x [f 1(x) + f 2 (x)] = x f 1(x) + x f 2(x). (4) Dette er en regel man kanskje ikke tenker så mye over, men som man bruker hele tien. Anta man har lyst til å erivere f(x) = x 2 + x. Hvis man lar f 1 (x) = x 2 f 2 (x) = x kan man skrive f(x) = f 1 (x) + f 2 (x), så kan man bruke regelen over. Det er klart man vet at xx = 1. Derfor vil f(x) = 2x + 1. x Anta så at man i steet for to funksjoner har n funksjoner g 1 (x), g 2 (x),..., g n (x) ser på summen av em. Det vil si, man jobber me n g(x) = g 1 (x) + g 2 (x) + + g n (x) = g i (x). x x2 = 2x Da kan man bruke regelen i likning (4) ere ganger for å erivere g(x). Sett først f 1 (x) = g 1 (x), konkluer me at f 2 (x) = g 2 (x) + g 3 (x) + + g n (x) x [f 1(x) + f 2 (x)] = x f 1(x)+ x f 2(x) = x g 1(x)+ x [g 2(x) + g 3 (x) + + g n (x)]. Vi vil så nne x [g 2(x) + g 3 (x) + + g n (x)]. Dette kan gjøres ve å bruke regelen i likning (4) en gang til, men nå lar man f 1 (x) = g 2 (x), f 2 (x) = g 3 (x) + g 4 (x) + + g n (x).

12 12 STEFFEN GRØNNEBERG Fortsett slik til man kommer frem til at x [g 1(x) + g 2 (x) + + g n (x)] = x g 1(x) + x g 2(x) + + x g n(x), som vil si x n g i (x) = n x g i(x). Altså kan man allti bytte plass på erivasjonstegn summasjonstegn! Vi har lyst til å nne a, b-kombinasjonen som gjør f(a, b) = (y i a bx i ) 2 minst. Funksjonen f(a, b) er glatt n, så man kan bruke punkt 1 over til å søke etter maksimum minimumspunkter. Dessuten er f(a, b) en ubegrenset ikke negativ funksjon. Det vil si at hvis et bare er én løsning på e to likningene f(a, b) = 0 a f(a, b) = 0, b må enne løsningen være minimumspunktet til f(a, b) takket være punkt 2 over. i. Bruk punkt 3 i introuksjonen av enne oppgaven til å vise at a f(a, b) = 2 (y i a bx i ) b f(a, b) = 2 x i (y i a bx i ). ii. Vis at likningssettene f(a, b) = 0 a kan skrives som f(a, b) = 0 b yi = na + b x i xi y i = a x i + b x 2 i. iii. Løs for a b vis at man har én eneste løsning, gitt av ( ) x 2 a = i ( yi ) ( x i ) ( x i y i ) n x 2 i ( x i ) 2 (5) b = n x i y i ( x i ) ( y i ) n x 2 i ( x i ) 2. (6) iv. Bruk konklusjonen i forrige oppgave til å vise at man så kan skrive likningssystemet i likning (5) (6) som b = r s y s x a = y r s y s x x, konkluer me at ette er samme som likning (1).

13 FRIVILLIGE MATTEOPPGAVER FOR STK1000 KAPITTEL 2 13 v. I min introuksjonsbeskrivelse av regresjonsligningssettet skrev jeg at man valgte å enere best tilpasset linje som en me minst kvarert feil. Dette valget vil ha konsekvenser på linjetilpassingen. Man kunne så valgt anre kriterier, valget av kriterie her vil selvsagt påvirke viere konklusjoner. Det er to naturlige spørsmål man kan stille seg i forhol til å enere best som at man minimerer summen av alle kvarete avstaner. For et første, hvorfor summerer man? Dette virker velig intuitivt, men man kan tenke seg alternativer. For et anre, hvorfor opphøyer man i annen? Dette virker ikke velig selvfølgelig. Det viser seg at hvis man antar at observasjonene er normalforelt, vil man kunne rettferiggjøre å enere best ve minst kvarert feil ve ganske ype prinsipper et stykke utenfor pensum. Men innenfor pensum har vi ingen go rettferiggjørelse for å bruke akkurat enne enisjonen av best i forhol til for eksempel å minimere et kanskje mer naturlige kriteriet (avstan fra a + bxi til observert punkt y i ) = y i (a + bx i ), et vil si, summert feil. Desverre kan man ikke lenger skrive ne et uttrykk for en a- b-kombinasjonen som minimerer summert feil, man blir nøt til å la en såkalt numerisk optimeringsrutine nne a b- kombinasjonen som gjør summert feil minst. Valget man tar når man spesiserer best som å ha minst kvarert feil, minst summert feil, eller noe mer sostikert, vil ha konsekvenser for hvoran en tilpassee linjen ser ut. En emonstrasjon av isse konsekvensene kan nnes på som sammenlikner kvarert feil summert feil. Eksprimenter me Java-appleten skriv en kort iskusjon omkring forskjellene mellom å minimere summert kvarert feil i forhol til summert feil. Department of Mathematics, University of Oslo, P.O. Box 1053 Blinern, N-0316 Oslo, Norway aress: steffeng@math.uio.no

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 2.8.2 Vi merker oss først at funksjonen f er båe kontinuerlig og eriverbar på intervallet [1,2],

Detaljer

Logaritmer og eksponentialfunksjoner

Logaritmer og eksponentialfunksjoner Logaritmer og eksponentialfunksjoner Dette er fra e to første forelesningene i MA02 våren 2008. Noe er skrevet mer ut, men mange etaljer er utelatt. De er utelatt me vilje, for at u skal fylle em ut selv!

Detaljer

Determinanter. Kapittel 6. Determinanter for 2 2-matriser. La oss beregne arealet av dette parallellogrammet. Vi tegner på noen hjelpelinjer:

Determinanter. Kapittel 6. Determinanter for 2 2-matriser. La oss beregne arealet av dette parallellogrammet. Vi tegner på noen hjelpelinjer: Kapittel 6 Determinanter En matrise inneholer mange tall og erme mye informasjon så mye at et kan være litt overvelene Vi kan konensere ne all informasjonen i en kvaratisk matrise til ett enkelt tall som

Detaljer

OPPGAVEHEFTE I STK1000 TIL KAPITTEL 5 OG 6. a b

OPPGAVEHEFTE I STK1000 TIL KAPITTEL 5 OG 6. a b OPPGAVEHEFTE I STK1000 TIL KAPITTEL 5 OG 6 1. Regneoppgaver til kapittel 5 6 Oppgave 1. Mange som kommer til STK1000 med dårlige erfaringer fra tidligere mattefag er livredd ulikheter, selv om man har

Detaljer

Anbefalte oppgaver uke 36

Anbefalte oppgaver uke 36 Anbefalte oppgaver uke 36 Høsten 2017 Løsningsforslag 1 Vi begynner me å skrive om ligningen litt, først til x y x + y = x2 + y, (1) y og så eller Nå eriverer vi, og får slik at xy y 2 = x 3 + xy + x 2

Detaljer

Vekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur

Vekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur Vekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur KÅRE BÆVRE Høsten 2005 1 Vekstrater og eksponensiell vekst 1.1 Vekstrater i iskret ti Vekstraten til en størrelse Y angir hvor stor

Detaljer

M1_01. Funksjonene f og g er definert ved f( x)= x 1. g( f( x)) er da lik. b ( x + 3) d ( x + 2) e x MA M1 Side 1

M1_01. Funksjonene f og g er definert ved f( x)= x 1. g( f( x)) er da lik. b ( x + 3) d ( x + 2) e x MA M1 Side 1 Funksjonene f og g er efinert ve f( )= 1 og g ( ) = ( +3). M1_01 g( f( )) er a lik a ( 1)( + 3) b ( + 3) 1 c ( ) ( + ) e + 8 MA13001 M1 Sie 1 En funksjon f er efinert ve: M1_0 f( )= 1 hvis < 1 f( )= +1

Detaljer

Teknisk appendiks ECON 2915 Vekst og næringsstruktur

Teknisk appendiks ECON 2915 Vekst og næringsstruktur Teknisk appeniks ECON 2915 Vekst og næringsstruktur KÅRE BÆVRE Høsten 2005 Versjon 1 Dette notatet er ment som en støtte for stuenter som tar kurset ECON 2915 - Vekst og utvikling. Her behanles en el sentrale

Detaljer

Forelesning 2: Førsteordens lineære differensiallikninger

Forelesning 2: Førsteordens lineære differensiallikninger Forelesning 2: Førsteorens lineære ifferensiallikninger Tron Stølen Gustavsen 16. januar, 2009 Innhol Lesning 1 2.1. Likninger me konstante koeffisienter 1 2.2. Generelle koeffisienter 4 Referanser 5 Lesning.

Detaljer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer FY1006/TFY4215 Tillegg 4 1 TILLEGG 4 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Før vi i neste kapittel går løs på treimensjonale potensialer, skal vi i kapittel 4 i ette kurset gå gjennom noen viktige kvantemekaniske

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 Høst 014 Løsningsforslag Øving 03.7. Økningen i uksen, F, kan approksimeres som se sie 131 i boka F F =

Detaljer

x, og du dx = w dy (cosh u) = sinh u H sinh w H x = sinh w H x. dx = H w w > 0, så h har ikke flere lokale ekstremverdier.

x, og du dx = w dy (cosh u) = sinh u H sinh w H x = sinh w H x. dx = H w w > 0, så h har ikke flere lokale ekstremverdier. NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 00 Løsningsforslag - Øving 3 Avsnitt 3. u 49 a) Fra tabell 3.4 på sie i boka: (cosh u) = sinh u. Her har vi at u = w H, og u = w y H. Det følger

Detaljer

Løsningsforslag. b) Hva er den totale admittansen til parallellkoblingen i figuren over? Oppgi både modul og fasevinkel.

Løsningsforslag. b) Hva er den totale admittansen til parallellkoblingen i figuren over? Oppgi både modul og fasevinkel. Løsningsforslag FYS / FY / FYS Elektromagnetisme, torsag 8. esember Ve sensurering vil alle elspørsmål i utgangspunktet bli gitt samme vekt (uavhengig av oppgavenummer), men vi forbeholer oss retten til

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 sforslag forkunnskapstest Faktoriser, hvis mulig, uttrkket +. (A) ( + 5)( ) (B) ( 5)( + ) (C) ( + )( )

Detaljer

Litt mer om kjeglesnitt og Keplers lover om planetbanene

Litt mer om kjeglesnitt og Keplers lover om planetbanene Litt mer om kjeglesnitt og Keplers lover om planetbanene Det er ikke meningen at enne teksten skal stå for seg selv. Den er ment som en hjelp mens u leser 11.6 og eler av kapittel 8 i læreboka. Hvis u

Detaljer

Vektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning

Vektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det

Detaljer

1b) Schwarzschil-metrikken er iagonal, og vi har at g tt = 1, c = r, c ; g rr =, r r r r, =,1, r, ; g =,r ; g '' =,r sin : (9) At raielle baner eksist

1b) Schwarzschil-metrikken er iagonal, og vi har at g tt = 1, c = r, c ; g rr =, r r r r, =,1, r, ; g =,r ; g '' =,r sin : (9) At raielle baner eksist Eksamen i klassisk feltteori, fag 74 50, 8. esember 1998 Lsninger 1a) Vi antar at x +, x x =0; (1) og at c = g x x. Sa gjr vi en koorinattransformasjon x 7 ex,ogskal vise at ex + e, ex ex =0; () er c =

Detaljer

Beregning av massesenter.

Beregning av massesenter. Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5 - Beregning av assesenter Definisjoner i ri C Figuren til venstre viser et lite utsnitt av en sk av så partikler, er i er assen til en partikkel

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )

Detaljer

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009 Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at

Detaljer

Kapittel 23 KURSREGNING, FORHOLD OG PROPORSJONER

Kapittel 23 KURSREGNING, FORHOLD OG PROPORSJONER Valuta Kjøp Antall AUD Australske ollar 4,1050 1 CAD Canaiske ollar 4,6630 1 CHF Sveitsiske franc 493,5000 100 CYP Kypriotiske pun 1,3950 1 DKK Danske kroner 97,8700 100 EUR Euro 7,785 1 GBP Pun sterling

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

1 Mandag 8. februar 2010

1 Mandag 8. februar 2010 1 Mandag 8. februar 2010 Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for funksjoner

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for ata- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemientikasjon (10 sp) Dato: Manag 15 esember 2014 Lenge på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemiler: Kun

Detaljer

1 dx cos 1 x =, 1 x 2 sammen med kjerneregelen for derivasjon. For å forenkle utregningen lar vi u = Vi regner først ut den deriverte til u,

1 dx cos 1 x =, 1 x 2 sammen med kjerneregelen for derivasjon. For å forenkle utregningen lar vi u = Vi regner først ut den deriverte til u, TMA0 Høst 205 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg 3.5.30: Vi bruker erivsjonsregelen for cos x, x cos x =, x 2 smmen me kjerneregelen for erivsjon. For å forenkle utregningen

Detaljer

Matematisk induksjon

Matematisk induksjon Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

4 Matriser TMA4110 høsten 2018

4 Matriser TMA4110 høsten 2018 Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere

Detaljer

MAT1030 Plenumsregning 5

MAT1030 Plenumsregning 5 MAT1030 Plenumsregning 5 Ukeoppgaver Mathias Barra - 13. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:29) Oppgave 4.18 Uttrykk følgende påstander i predikatlogikk, og finn deres sannhetsverdier. (a) Det

Detaljer

INEC1800 ØKONOMI, FINANS OG REGNSKAP EINAR BELSOM

INEC1800 ØKONOMI, FINANS OG REGNSKAP EINAR BELSOM INEC1800 ØKONOMI, FINANS OG REGNSKA EINAR BELSOM HØS 2017 FORELESNINGSNOA 6 rouksjonsteknologi og kostnaer* Fokuset i ette notatet er på beriftenes atfer uner ulike markesformer, fra tilfellet er beriften

Detaljer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer FY1006/TFY4215 Tillegg 4 1 TILLEGG 4 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Før vi i neste kapittel går løs på treimensjonale potensialer, skal vi i kapittel 4 i ette kurset gå gjennom noen viktige kvantemekaniske

Detaljer

Beskrivende statistikk.

Beskrivende statistikk. Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut

Detaljer

Løsningsforslag til øving 14

Løsningsforslag til øving 14 Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY13 Elektromagnetisme Vår 29 Løsningsforslag til øving 14 Oppgave 1 Den påtrykte strømmen I genererer et H-felt H ni på langs overalt inne i spolen (pga Amperes lov

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Oppsummering matematikkdel ECON 2200

Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Eksamen i Ikkelineær dynamikk, fag TFY 4305 Onsdag 30. november 2005 Løsninger

Eksamen i Ikkelineær dynamikk, fag TFY 4305 Onsdag 30. november 2005 Løsninger Eksamen i Ikkelineær ynamikk, fag TFY 4305 Onsag 30. november 2005 Løsninger 1) Den generelle løsningen av ligningen u t + cu x =0eru(x, t) =f(x ct), er f er en vilkårlig funksjon av en variabel. Hvoran

Detaljer

Posisjonsystemet FRA A TIL Å

Posisjonsystemet FRA A TIL Å Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:

Detaljer

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 = Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Mandag 12. oktober 2015 før forelesningen 12:30 Antall oppgaver: 7 + 3 Løsningsforslag 1 Deriver de følgende

Detaljer

(coshu) = sinhudu. dx. Her har vi at u = w Hx, og du dx = w dy. dx = H w w. H sinh w H x = sinh w H x.

(coshu) = sinhudu. dx. Her har vi at u = w Hx, og du dx = w dy. dx = H w w. H sinh w H x = sinh w H x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 3 Avsnitt 3. 49 a) Fra tabell 3.4 på sie 222 i boka: (coshu) = sinhuu. Her har vi at u = w H, og u = w y H. Det følger

Detaljer

MAT feb feb feb MAT Våren 2010

MAT feb feb feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for

Detaljer

Kapittel 2. Utforske og beskrive data. Sammenhenger mellom variable Kap. 2.1 om assosiasjon og kryssplott forrige uke. Kap. 2.2, 2.3, 2.

Kapittel 2. Utforske og beskrive data. Sammenhenger mellom variable Kap. 2.1 om assosiasjon og kryssplott forrige uke. Kap. 2.2, 2.3, 2. Kapittel 2 Utforske og beskrive data Sammenhenger mellom variable Kap. 2.1 om assosiasjon og kryssplott forrige uke. Kap. 2.2, 2.3, 2.4 denne uken To kryssplott av samme datasett, men med forskjellig skala

Detaljer

MAT Grublegruppen Uke 37

MAT Grublegruppen Uke 37 MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at

Detaljer

EKSAMEN TMA4100 HØST 2014 LØSNINGSFORSLAG. du/dx = e x du = e x dx, Her har vi brukt analysens fundamentalteorem til å derivere telleren.

EKSAMEN TMA4100 HØST 2014 LØSNINGSFORSLAG. du/dx = e x du = e x dx, Her har vi brukt analysens fundamentalteorem til å derivere telleren. EKSAMEN TMA400 HØST 04 ØSNINGSFORSAG Oppgave. Uner rottegnet står et + e x, og en eriverte til ette uttrykket er e x, som står utenfor rottegnet. Sett erfor u +e x. Da får vi og vi kan løse intergralet:

Detaljer

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel Tall og algera Løsninger til innlæringsoppgavene. a 8 + ( ) 8 ( ) +. a Temperaturen er C. Så reuseres en me C. Da lir temperaturen C C 8 C Temperaturen er C. Så reuseres en me x. Da lir temperaturen

Detaljer

Øving 2. Oppgave 1: Diverse algebra med føring. Oppgave 2: Ligningssystem som tekstoppgave. Oppgave 3: Grafgjenkjenning

Øving 2. Oppgave 1: Diverse algebra med føring. Oppgave 2: Ligningssystem som tekstoppgave. Oppgave 3: Grafgjenkjenning Øving 2 Oppgave 1: Diverse algebra med føring Finn x som løser ligningene: a) x 2 + 9 = 25 b) x 2 = 2x + 8 c) 2x 2 + 12x = 32 d) x 1 = 1/x e) 2x 4 = x + 2 f) Gå gjennom føringen av oppgave a) og e) med

Detaljer

ADDISJON FRA A TIL Å

ADDISJON FRA A TIL Å ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Analyser av indekser på Skoleporten 2017

Analyser av indekser på Skoleporten 2017 Christian Wenelborg Analyser av inekser på Skoleporten 2017 Analyser på fylkes- og nasjonalt nivå for 7. trinn, 10. trinn og Vg1 Rapport 2018 Mangfol og inkluering Christian Wenelborg Analyser av inekser

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk

Detaljer

OPPGAVEHEFTE I STK1000 TIL KAPITTEL Regneoppgaver til kapittel 7. X 1,i, X 2 = 1 n 2. D = X 1 X 2. På onsdagsforelesningen påstod jeg at da må

OPPGAVEHEFTE I STK1000 TIL KAPITTEL Regneoppgaver til kapittel 7. X 1,i, X 2 = 1 n 2. D = X 1 X 2. På onsdagsforelesningen påstod jeg at da må OPPGAVEHEFTE I STK000 TIL KAPITTEL 7 Regneoppgaver til kapittel 7 Oppgave Anta at man har resultatet av et randomisert forsøk med to grupper, og observerer fra gruppe, mens man observerer X,, X,2,, X,n

Detaljer

TMA4100 Høst Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

TMA4100 Høst Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Høst 206 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 2 2..0: Vi bruker eisjoe for ikke-vertikale tagetlijer sie 97 i læreboke). Tagetlije gjeom et pukt

Detaljer

Lineærtransformasjoner

Lineærtransformasjoner Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i REA306 Matematikk S1-08.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag I kapittel 9 i kompendiet forklarte vi at maximum-likelihood er en av de viktige anvendelsene av ikke-lineær optimering. Vi skal se litt mer på hva

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Høst 2017

MA1201 Lineær algebra og geometri Høst 2017 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1201 Lineær algebra og geometri Høst 2017 Løsningsforslag Øving 1 Med forbehold om feil. Kontakt gjerne mads.sandoy@ntnu.no

Detaljer

Analyser av indekser på Skoleporten 2016

Analyser av indekser på Skoleporten 2016 Christian Wenelborg Analyser av inekser på Skoleporten 2016 Analyser på fylkes- og nasjonalt nivå for 7.trinn, 10. trinn og Vg1 Rapport 2017 Mangfol og inkluering Christian Wenelborg Analyser av inekser

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

η = 2x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 3 x x 3 4 2x 1 + x 3 + 5x 4 1 w 1 =3 x 1 x 2 x 3 2x 4 w 2 =4 x 1 x 3 w 3 =1 2x 1 x 3 5x 4

η = 2x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 3 x x 3 4 2x 1 + x 3 + 5x 4 1 w 1 =3 x 1 x 2 x 3 2x 4 w 2 =4 x 1 x 3 w 3 =1 2x 1 x 3 5x 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MA-IN-ST 233 Konveksitet og optimering Eksamensdag: 31. mai 2000 Tid for eksamen: 9.00 13.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg:

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer

Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan

Detaljer

y(x + y) xy(1) (x + y) 2 = x(x + y) xy(1) (x + y) 3

y(x + y) xy(1) (x + y) 2 = x(x + y) xy(1) (x + y) 3 Løsning Øvingsoppgaver Funksjoner i ere variabler MET 1180 Matematikk April 017 Oppgave 1. (a) Vi har at f = 3 og f = +. Hessematrisen blir dermed 6 (b) Ved kvotientregelen har vi at f = f = og de andreordens

Detaljer

MAKE MAKE Arkitekter AS Maridalsveien Oslo Tlf Org.nr

MAKE MAKE Arkitekter AS Maridalsveien Oslo Tlf Org.nr en omfatter 1 Perspektiv I en omfatter 2 Perspektiv II en omfatter 3 Perspektiv III en omfatter 4 Perspektiv IV en omfatter 5 Perspektiv V en omfatter 6 Perspektiv VI en omfatter 7 Perspektiv VII en omfatter

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018 9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

Løsningsforslag. Innlevering i BYFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 10. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 6. Oppgave 1

Løsningsforslag. Innlevering i BYFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 10. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 6. Oppgave 1 Innlevering i BYFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 10. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 6 Løsningsforslag Oppgave 1 x 1 +6x +x 3 = 8 x 1 +3x = 3x 1 +9x +x 3 = 10. a) Totalmatrise: 6 1 8 1 3

Detaljer

1 Sec 3-2: Hvordan beskrive senteret i dataene. 2 Sec 3-3: Hvordan beskrive spredningen i dataene

1 Sec 3-2: Hvordan beskrive senteret i dataene. 2 Sec 3-3: Hvordan beskrive spredningen i dataene 1 Sec 3-2: Hvordan beskrive senteret i dataene 2 Sec 3-3: Hvordan beskrive spredningen i dataene Todeling av statistikk Deskriptiv statistikk Oppsummering og beskrivelse av den stikkprøven du har. Statistisk

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx

Detaljer

Reelle tall på datamaskin

Reelle tall på datamaskin Reelle tall på datamaskin Knut Mørken 5. september 2007 1 Innledning Tirsdag 4/9 var tema for forelesningen hvordan reelle tall representeres på datamaskin og noen konsekvenser av dette, særlig med tanke

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

1 Mandag 22. februar 2010

1 Mandag 22. februar 2010 1 Mandag 22. februar 2010 Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen. Videre skal vi se på en variant

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med

Detaljer

2.2 Korrelasjon. Våre øyne ikke gode til å bedømme hvor sterk en sammenheng er Trenger kvantitativt mål på sammenheng Korrelasjon et slikt mål

2.2 Korrelasjon. Våre øyne ikke gode til å bedømme hvor sterk en sammenheng er Trenger kvantitativt mål på sammenheng Korrelasjon et slikt mål 2.2 Korrelasjon Våre øyne ikke gode til å bedømme hvor sterk en sammenheng er Trenger kvantitativt mål på sammenheng Korrelasjon et slikt mål Korrelasjon Korrelasjon: Kvantitativt mål på lineær sammenheng

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

Egenverdier og egenvektorer

Egenverdier og egenvektorer Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon

Detaljer

Øvingsforelesning 7. Resten av kombinatorikk, litt modulusregning, rekurrenser og induksjon og MP13 eller MP18. TMA4140 Diskret Matematikk

Øvingsforelesning 7. Resten av kombinatorikk, litt modulusregning, rekurrenser og induksjon og MP13 eller MP18. TMA4140 Diskret Matematikk Resten av kombinatorikk, litt modulusregning, rekurrenser og induksjon og MP13 eller MP18 Øvingsforelesning 7 TMA4140 Diskret Matematikk 15. og 17. oktober 2018 Dagen i dag Generaliserte permutasjoner

Detaljer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer FY1006/TFY4215 Tillegg 4 1 TILLEGG 4 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Før vi i neste kapittel går løs på treimensjonale potensialer, skal vi i kapittel 4 i ette kurset gå gjennom noen viktige kvantemekaniske

Detaljer

Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab.

Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab. EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : tirsdag 4. desember 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.

Detaljer

Notat om Peanos aksiomer for MAT1140

Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle

Detaljer

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

Brukerkurs i Gauss feilforplantning

Brukerkurs i Gauss feilforplantning Brukerkurs i Gauss feilforplantning Knut S. Gjerden 9. august 2011 evt. gaussisk feilforplantning eller bruk av Gauss lov for feilforplantning. Samt litt generelt om fysikkting.

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Forelesning 6 STK3100

Forelesning 6 STK3100 Forelesning STK3 september 7 S O Samuelsen Plan for forelesning: Mer om evians GLM resiualer 3 Test for H : Offset Observert forventet informasjon Optimeringsrutiner Iterative revektee minste kvarater

Detaljer