ELE Matematikk valgfag

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "ELE Matematikk valgfag"

Transkript

1 EKSAMENSOPPGAVE - Skriftlig eksamen ELE 79 Matematikk valgfag Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: Kl Innlevering: Kl Vekt: 00% av ELE 79 Antall sider i oppgaven: Innføringsark: Tillatte hjelpemidler: 5 inkl. forsiden Ruter BI-definert eksamenskalkulator. Enkel kalkulator.

2 Alle svar skal begrunnes. Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Mandag. juni 08, kl Oppgavesettet er på sider. Alle 6 underpunkter vektes likt. Vedlagte formelsamling er på sider. Oppgave Vi har følgende matriser x 7 A = x, x = og b = 4 x 8 x 4 (a) Skriv ut det lineære likningssystemet Ax = b (b) Bruk Gausseliminasjon til å omforme den utvidede matrisen til likningssystemet i (a) til en matrise på trappeform. Bruk trappeformen til å løse likningssystemet. Vi kaller kolonnevektorene i A (fra venstre mot høyre) for u,u,u,u 4. (c) Finn en basis for span{u, u, u, u 4 }. Avgjør om det finnes -vektorer som ikke ligger i span{u, u, u, u 4 }. (d) Finn tall c, c, c, c 4, alle ulik 0, slik at c u + c u + c u + c 4 u 4 = 0 (nullvektor). Vi har følgende matriser B = , v = 7 og v =. (e) Vis at v og v er egenvektorer til B. Finn en ( )-matrise P og dens inverse P slik at D = P BP er en diagonalmatrise. Oppgave Vi har to simultant fordelte diskrete stokastiske variabler X og Y. Punktsannsynlighetene p(x,y)=p(x = x,y = y) som er større enn 0 er oppgitt i tabellen: p(, )=0,06 p(, )=0,08 p(, 4)=0,06 p(, )=0,09 p(, )=0, p(, 4)=0,09 p(, )=0, p(, )=0,6 p(, 4)=0, p(4, )=0,0 p(4, )=0,04 p(4, 4)=0,0 (a) Finn de marginale sannsynlighetstetthetene til X og Y ved å oppgi alle verdier større enn 0 for p X (x) og p Y ( y). (b) Beregn forventningene E(X ) og E(Y ). (c) Avgjør om X og Y er uavhengige. (d) Bestem kovariansen Cov(X,Y ) og forventningen E(X Y).

3 Runar Ile Institutt for samfunnsøkonomi Oppgave Vi lar y betegne en funksjon av t, dvs y = y(t). (a) Løs differensiallikningen y y y = 500 med initialbetingelsene y(0)= og y 0 (0)=. (b) Løs differensiallikningen t y 0 = e y (med t > 0). Oppgave 4 Vi har to frie (eksogene) variabler x og x og en avhengig (endogen) variabel y og fire observasjoner: y x x (a) Finn 0,, slik at den lineære regresjonsmodellen y = 0 + x + x er den beste tilpasningen til observasjonene etter minste minste kvadraters metode. Her kan du få bruk for at = (b) La " = y X være vektoren av feilledd. Beregn lengden k"k. Vis ved beregning at den lineær regresjonsmodellen y = + x x gir en dårligere tilpasning til observasjonene. Oppgave 5 (a) Løs differensiallikningen y 00 5 y y = 0 med initialbetingelsene y(0)=e og y()=0. (b) Vi har variasjonsproblemet maks 0 ln( y y 0 )e t dt, Bruk Euler-likningen til å løse dette. y(0)=e () y()=0 () [Hint: Eulerlikningen kan skrives som en annen ordens homogen differensiallikning.] (c) Vi har kontrollproblemet maks ln(u)e t dt, 0 8 > < y 0 = y u () y(0)=e () > : y()=0 () Bruk Pontryagins maksimumsprinsipp til å finne en normal løsning på kontrollproblemet (angi både y og u).

4 Handelshøyskolen BI ELE79 Matematikk valgfag Formelsamling Sannsynlighetsregning Binomisk fordeling a) X Binom(n, p) med n, 0 p b) p(x = i) = n i pi ( p) n i for i =0,...,n c) E(X) =np, Var(X) =np( p) Geometrisk fordeling a) X Geom(p) med 0 <p b) p(x = i) =p( p) i for i =,,... c) E(X) =/p, Var(X) =( p)/p Poisson-fordeling a) X Poisson( ) med > 0 b) p(x = i) =e i /i! for i =0,,,... c) E(X) =, Var(X) = Uniform fordeling a) X Uniform(a, ( b) med a<b /(b a), a x b b) f(x) = 0, ellers c) E(X) =(a + b)/, Var(X) =(b a) / Eksponentialfordeling a) X Exp( ( ) med > 0 x e x 0 b) f(x) = 0, ellers c) E(X) =/, Var(X) =/ Normalfordeling a) X Normal(µ, ) med > 0 b) f(x) = p e (x µ) / c) E(X) =µ, Var(X) = Matrisemetoder hvor A er en symmetrisk matrise har partiellderiverte gitt ved =Ax + Lineær regresjon En lineær regresjon med modellen y = 0 + x + x + + n x n basert på et datasett med N observasjoner gitt ved 0 0 y x... x n y y = B A,X= x... x n C. A y N x N... x Nn har beste tilpasning gitt ved vektoren =(X T X) X T y forutsatt at det(x T X) 6= 0. Variasjonsregningog kontrollteori Variasjonsregning Variasjonsproblemet max b a F (t, y, y 0 )dt med initialbetingelsene y(a) =y 0 og y(b) =y har Euler-likning F 0 y d dt (F 0 y 0)=0 Partiell derivasjon Funksjonen f(x) =x T Ax + Bx + c

5 Optimal kontrollteori Kontrollproblemet max b a F (t, y, u) dt med 8 >< y 0 (t) =G(t, y, u) () y(a) =y 0 () >: y(b) =y () har Hamilton-funksjon H(t, y, u, p) =p 0 F (t, y, u)+pg(t, y, u) med p 0 =(normal løsning) eller p 0 =0(degenerert løsning) med første ordens Pontryaginbetingelser ( Hu 0 = 0 (4) p 0 (t) = Hy 0 (5) Integrasjonsmetoder a) Delvis integrasjon: u 0 v dt = uv uv 0 dt b) Substitusjonen u = u(t): f(u)u 0 dt = f(u) du