TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

Transkript

1 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 sforslag forkunnskapstest Faktoriser, hvis mulig, uttrkket +. (A) ( + 5)( ) (B) ( 5)( + ) (C) ( + )( ) (D) Uttrkket kan ikke faktoriseres. Gitt polnomet Hvis vi har at a + b + c, a =. a + b + c = ( α)( β), så ser vi at høresien er null når vi setter inn enten = α eller = β. Da må også venstresien være null, og vi får aα + bα + c =, aβ + bβ + c =, et vil si α og β er nullpunkter til a + b + c. Nå vet vi hva vi skal gjøre: Alternativene (A), (B) og (C) gir tre forslag på valg av α og β, (A) α = 5, β =. (B) α = 5, β =. (C) α =, β =. Vi sjekker forslag (A). Setter først = α = 5 inn i uttrkket og får ( 5) + 5 = 5 5 =. Setter eretter = β = inn i uttrkket og får + = =. Dette vil si at riktig svar er (A). 8. august 4 Sie av 9

2 sforslag forkunnskapstest Hvilke av følgene likheter er glige? Her kan u hake av ere svar, men u får minuspoeng ersom u velger et alternativ som er feil. (A) ab a = a b c c (B) p ( q + r ) = pq + p+r (C) = (D), = ( + 5 ) ( + 5 ) ( ) + 5 Vi sjekker om venstresien er lik høresien i e forskjellige alternativene. (A) (B) a b a c = ab a c = ab a c = a b c. p ( q + r ) = p q + p r = p+q + p+r pq + p+r. (C) = 4 = =,7.... (D) = + 5 = +, =,. Riktig svar er (A) og (D). Hvilken av e re oppgitte funksjonene tilfresstiller for >? (A) f() = + (B) f() = + (C) f() = sin (D) f() = ln (A) f () = for alle. f () = for alle. Riktig svar. f () > og f () 8. august 4 Sie av 9

3 sforslag forkunnskapstest (B) f () = +, vs f () er ikke større enn null for alle >. f () = for alle. Ikke riktig svar. (C) f () = cos. f () = sin. Cosinus- og sinusfunksjonene oscillerer mellom og. Ikke riktig svar. (D) f () = > for alle >. f () = for alle >. Ikke riktig svar. 4 La J være antall jeiriere, og S antall stormtropper i galaksen. Hvilken ligning uttrkker at et er 7 ganger så mange stormtropper som jeiriere? (A) J = 7S (B) S = 7J (C) J = S + 7 (D) S = J + 7 Det er 7 ganger så mange stormtropper (S) som jeiriere (J). Det betr at antall stormtropper = 7 ganger antall jeiriere. }{{}}{{} S J Altså er S = 7J (B) riktig svar. 5 Bestem ligningen som angir en rette linjen som går gjennom (,b) og (a,). Se guren. b a (A) = b a + b (B) = b a b (C) = a b + b (D) = a b b 8. august 4 Sie av 9

4 sforslag forkunnskapstest For en riktige løsningen skal punktene me koorinater =, = b og = a, = tilfrestille ligningen for linja. Vi setter inn =, og forventer a å få = b (hvis vi har plukket riktig alternativ). Dette stemmer for forslagene (A) og (C), men ikke for (B) og (D). Viere setter vi inn = a i forslagene (A) og (C), og forventer a å få =. (A) = b a a + b =. (C) = a b a + b = a b + b. Riktig svar er (A). 6 Hvor mange raianer tilsvarer en vinkel på? (A) π (B) π (C) π 6 (D) π 5 Vi vet at π raianer = 8. Da er Riktig svar er (C). = 8 6 = π 6 raianer. 7 Gitt funksjonene f() = g() = + + ( ) h() = i() = sin er vi har følgene re grafer merket -4 i guren uner. Hvilke grafer korresponerer til hvilke funksjoner? (A) = f(), = g(), = h(), 4 = i() (B) = h(), = f(), = i(), 4 = g() (C) = f(), = g(), = h(), 4 = i() OBS! Gjentakelse av (A)! (D) = h(), = g(), = f(), 4 = i() 8. august 4 Sie 4 av 9

5 sforslag forkunnskapstest (a) (b) (c) () Vi ser at () og () er parabler og sien e er speilvent me hensn på -aksen må en ene være lik minus en anre. Da skal () og () svare til f() og g(). I tillegg ser vi at i = er () positiv og () negativ. Samtiig er g() = + + = og f() = =, slik at g() svarer til () og f() svarer til (). Da må () og (4) svare til h() og i(). Observer at i = er () forskjellig fra null og (4) lik null. Samtiig er h() = ( ) = = og i() = sin =, slik at h() svarer til () og i() svarer til (4). Riktig svar er (D). 8. august 4 Sie 5 av 9

6 sforslag forkunnskapstest 8 Regn ut (A) 8 ( + 4) + C (B) 4 + C +4 (C) 8 9 ( + 4) + C (D) 6 9 ( + 4) + C Husk at hvis g() = f(), så er g() = f(). Så, for å nne riktig svar er et nok å erivere forslagene gitt i (A), (B), (C) og (D). Neenfor bruker vi at + 4 = ( + 4) og at = +4 ( + 4). (A) (B) (C) (D) Riktig svar er (C). g() = 8 ( + 4) = + 4. g() = 4 ( + 4) = ( + 4). g() = 8 9 ( + 4) = g() = 6 9 ( + 4) = Alternativ metoe: Vi kan også evaluere integralet irekte ve å bruke substitusjonsmetoen. Vi velger u = + 4, og har a at u = eller u =. Denne substitusjonen gir = 4 ( + 4) = 4 u u = 4 ( ) u + C = 8 9 u 8 + C = 9 ( + 4) + C. Vi har her valgt å sette C = 4 C sien begge isse leene kun uttrkker en ukjent integrasjonskonstant. 8. august 4 Sie 6 av 9

7 sforslag forkunnskapstest 9 Bestem g(f()) når f() = + og g() = /( + ). (A) 4 (B), (C) 9 (D), Først evaluerer vi funksjonen f i =. Deretter evaluerer vi funksjonen g i resultatet. Riktig svar er (C). f() = + = 4, g(f()) = g(4) = = 9. Merk at alternativ (D) er tilnærmet lik (C), men bare opp til to esimalers nøaktighet. Finn () når () = e 5 + cos og () =. (A) () = e 5 + sin (B) () = e 5 + sin (C) () = e 5 sin (D) () = e 5 + sin Her kan vi erivere forslagene i (A), (B), (C) og (D), og se om et vi får stemmer me oppgitt () og (). Alternativt kan vi integrere () og se hva vi får. Da bentter vi oss av Funamentalteoremet, (t) t = () (). I vårt tilfelle er () =, slik at () = Vi har at (t) t = ( e t 5t + cos t ) t = e t t 5 t et = e t. Det vil si e t er en antieriverte av e t. t t+ t t = t. Det vil si t er en antieriverte av t. t sin t = cos t. Det vil si sin t er en antieriverte av cos t. cos t t. 8. august 4 Sie 7 av 9

8 sforslag forkunnskapstest Derfor har vi at () = ( e e ) ( ) 5 + (sin sin ) = e 5 + sin. Riktig svar er (B). Dersom u vil obbeltsjekke at ette er riktig svar kan u erivere svaret og se om et blir et samme som oppgitt (), og om () =. Anta u har et sjakkbrett og ominobrikker. Anta viere at hver ominobrikke ekker nøaktig to felt på sjakkbrettet. Er et mulig å legge ominobrikkene på brettet på en slik måte at alle feltene bortsett fra to iagonaltmotståene hjørnefelt er ekket? (A) Ja. (B) Nei. (C) Kanskje i en 4-imensjonal veren. (D) Jeg trenger mer betenkningsti. En ominobrikke kan legges enten vertikalt eller horisontalt og må ekke nøaktig to felt. Da må et være slik at hver ominobrikke allti ekker ett svart og ett hvitt felt. Totalt har vi 64 felt, hvite og svarte. Vi krever at to iagonaltmotståene hjørnefelt skal være frie (et vil si ikke ekket), for eksempel to hvite felt. Oppsummert har vi 8. august 4 Sie 8 av 9

9 sforslag forkunnskapstest frie hvite felt, hvite felt skal ekkes, og svarte felt skal ekkes. Vi kan ekke hvite og svarte felt me ominobrikker, som hver ekker ett svart og ett hvitt felt hver. De resterene to svarte feltene kan ikke ekkes som ønsket. Riktig svar er (B), nei. 8. august 4 Sie 9 av 9