12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)
|
|
- Ann-Kristin Mikkelsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne f (A) når: f (x) e x : ekstremt viktig i teori av differensiallikninger, se Ch 54 i boka (ikke pensum) f (x) cos (x) eller sin (x): mindre viktig 3 f (x) ln (x), x osv I diskret matematikk (teori av differenslikninger, eller rekurrensrelasjoner) er det veldig viktig å beregne f (A) når: f (x) x n (n er et vilkårlig helt tall) f (x) er et polynom Den generelle løsningen er teoretisk elegant og krever kunnskaper i MAT- (Kompleks analyse) Teorem (Ikke pensum!) La f (z) være en kompleks funksjon, analytisk i et område Ω C, og la A være en m m matrise (med reelle eller komplekse elementer), slik at dens egenverdier ligger i Ω La Γ være en lukket enkel kurve, som ligger i Ω og avrunder (ved å gå mot urviseren) alle egenverdier til A Da er f (A) f (z) (zi n A) dz πi Γ Men å beregne f (A) ved hjelp av denne formelen er veldig vanskelig! Det er lettere å beregne f (A) når f er et polynom, men problemet er å beregne A n hvis n er et vilkårlig helt tall (eller et konkret stort tall) La oss betrakte et enkelt tilfelle: a a A a a er en matrise, og n 5: a a a a 5 Resultatet er så stort at vi kan bare vise det kolonnevis: 98
2 Kolonne nr : a 5 +4a 3 a a +3a a a a +3a a a +a a a a +a a a +a a a 3 a 4 a +a 3 a a +3a a a +a a a +4a a a a +a a a 3 +a a 3 +3a a a +a a 4 Kolonne nr : a 4 a +a 3 a a +3a a a +a a a +4a a a a +a a a 3 +a 3 a +3a a a +a a 4 a 3 a a +a a a a +a a a +3a a a a +3a a a +4a a a 3 +a 5 Det er enda vanskeligere å beregne e A Men i noen tilfeller er det relativt enkelt: Eksempel A er en diagonalmatrise: a b e e a e b A er en triangulær matrise: e e a a b c b a e a a c (bea be c ) e c e a be a e a, a c, 3 (merkelig!) A er en anti-symmetrisk matrise: e a a cos (a) sin (a) sin (a) cos (a) I tilfellene ovenfor er det er også mulig å beregne f (A) der f (x) x n : Eksempel 3 A er en diagonalmatrise: a b n a n b n A er en triangulær matrise: n a b c n a b a a n b an c n a c c n a n nba n a n, a c, 99
3 3 (merkelig!) A er en anti-symmetrisk matrise: n a a n cos ( ) nπ a n sin ( ) ( nπ a a n sin ( ) nπ a n cos ( ) nπ a n cos nπ ) sin ( ) nπ sin ( ) nπ cos ( ) nπ For å løse problemet, har vi to nøkkelsetninger Først trenger vi en definisjon: Definisjon 4 (Def 5) Gitt to m m matriser A og B Vi sier at B er similær til A hviss B P AP der P en invertibel m m matrise La oss skrive dette slik: A B eller A P B Teorem 5 (Ikke pensum, ikke gitt i boka) Similæriteten er en ekvivalensrelasjon Bevis (kort) A I A A P B B P A ( ) ( ) 3 A P B & B Q C A P Q C Teorem 6 (For f (x) x n se Ex 55 og ovenfor) Hvis A P B (dvs B P AP og A P BP ), så er dvs f (A) P f (B), f (B) P f (A) P, f (A) P f (B) P (Se Ex 7) Hvis A er en diagonalmatrise λ A λ, λ m så er f (A) f (λ ) f (λ ) f (λ m )
4 Bevis (For f (x) x 5 ) Gitt B P AP Da er m 4: A 5 B 5 ( P AP ) 5 P AP P AP P AP P AP P AP P AAAAAP P A 5 P λ λ λ 3 λ 4 λ λ λ 3 λ 4 λ λ λ 3 λ 4 λ λ λ 3 λ 4 (λ ) 5 (λ ) 5 (λ 3 ) 5 (λ 4 ) 5 λ λ λ 3 λ 4 Merknad 7 Similære matriser har flere similæritetsinvarianter (se Table 5 og Table 85 i boka) Anta at A er similær til B Da er: det A det B A er invertiblel B er invertiblel 3 rank (A) rank (B) 4 nullity (A) nullity (B) 5 tr (A) tr (B) 6 A og B har det samme karakteristisk polynom 7 A og B har de samme egenverdiene 8 A og B har de samme algebraiske og geometriske multiplisiteter (se Th 55 i boka)
5 Definisjon 8 (Def 5) En m m matrise A er diagonaliserbar ( diagonalizable), hviss A P D der D er en diagonalmatrise, dvs P AP D λ λ λ m Vi sier at P diagonaliserer ( diagonalizes) A Merknad 9 Vi sier ofte at A kan diagonaliseres Eksempel (Ex 5 og 5) Matrisen kan diagonaliseres La A P 3 Da er P AP 3 Sammenlign med løsningen i boka! Matrisen A 3 5 kan ikke diagonaliseres (se Seksjon 54) Egenverdier og egenvektorer La oss se nærmere på formelen P AP D λ λ λ m AP P P AP P D,
6 Hvis matrisen P består av m kolonner P c c c m, er AP Ac Ac Ac m, P D λ c λ c λ m c m, dvs Ac i λ i c i Definisjon (Def 5) En ikke-triviell (c ) vektor c R m kalles en egenvektor som tilsvarer en egenverdi λ, hviss La oss flytte Ac til venstre: Ac λc λc Ac (λi A) c Siden λi A er en kvadratisk matrise, og c, kan ikke λi A være invertibel, derfor det (λi A) Vi har faktisk bevist et teorem: Teorem (Th 5) Tallet λ er en egenverdi til A hviss det tilfredsstiller den karakteristiske likningen ( the characteristic equation) det (λi A) Definisjon 3 (Nedenfor Th 5) Polynomet p (λ) det (λi A) λ m + a m λ m + + a λ + a kalles det karakteristiske polynomet ( the characteristic polynomial) til A 3 Det karakteristiske polynomet Nedenfor er noen nyttige formler for koeffi sientene til det karakteristiske polynomet De skal hjelpe dere til å kontrollere resultatene i Oblig 5 3 Generelle matriser Gitt n n matrisen A a ij Anta at alle egenverdier til A er reelle Dette betyr at det karakteristiske polynomet er lik p (t) det (ti A) (t λ ) α (t λ ) α (t λ k ) α k, 3
7 der I er n n identitetsmatrisen, λ i er reelle egenverdier (alle λ i er forskjellige fra hverandre), α i er deres algebraiske multiplisiteter (se Th 55 i boka), og α + α + + α k n Merknad 4 Vanligvis brukes variabelen λ for det karakteristiske polynomet: p (λ) det (λi A) (λ λ ) α (λ λ ) α (λ λ k ) α k Vi bruker t i stedet, for å skille variabelen t fra egenverdiene λ i (som er konkrete reelle tall) Merknad 5 Det anbefales av praktiske grunn å bruke polynomet til å beregne p (t) det (A ti) p (t) ( ) n p (t) Polynomet p (t) har samme røtter λ i som p (t) Det defineres også egenrom (eigenspaces) E (λ i ) Null (λ i I A) (se Def ovenfor Ex 56 i boka) og de geometriske multiplisitetene (se Th 55) β i dim (Null (λ i I A)) nullity (λ i I A) Merknad 6 Det anbefales av praktiske grunn å bruke matrisene A λ i I i stedet: β i dim (Null (A λ i I)) nullity (A λ i I) En annen form for p (t) er p (t) (t λ ) (t λ ) (t λ n ) der λ i er egenverdiene til A skrevet så mange ganger som deres algebraiske multiplisiteter Minner også om at trasen til A (se Def 38 i boka) er lik tr (A) a + a + + a nn La p (t) t n + c n t n + c n t n + + c t + c Teorem 7 c n tr (A) (λ + λ + + λ n ), c ( ) n det (A) ( ) n λ λ λ n 4
8 3 matriser La n, og Teorem 8 A a a a a p (t) t + c t + c p (t), c tr (A) (λ + λ ), c det (A) λ λ matriser La n 3, og Teorem 9 A a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 p (t) t 3 + c t + c t + c p (t), c tr (A) (λ + λ + λ 3 ), c a a a a + a a 3 a 3 a 33 + a a 3 a 3 a 33 λ λ + λ λ 3 + λ λ 3, c det (A) λ λ λ matriser (ikke pensum!) La n 4, og Teorem A a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 43 a 44 p (t) t 4 + c 3 t 3 + c t + c t + c p (t), c 3 tr (A) (λ + λ + λ 3 + λ 4 ), c a a a a + a a 3 a 3 a 33 + a a 4 a 4 a 44 + a a 3 a 3 a 33 + a a 4 a 4 a 44 + a 33 a 34 a 43 a 44 λ λ + λ λ 3 + λ λ 4 + λ λ 3 + λ λ 4 + λ 3 λ 4, a a a 3 c a a a 3 a 3 a 3 a 33 + a a a 4 a a a 4 a 4 a 4 a 44 + a a 3 a 4 a 3 a 33 a 34 a 4 a 43 a 44 + a a 3 a 4 a 3 a 33 a 34 a 4 a 43 a 44 (λ λ λ 3 + λ λ λ 4 + λ λ 3 λ 4 + λ λ 3 λ 4 ), c det (A) λ λ λ 3 λ 4 5
9 4 Diagonalisering av matriser Nedenfor er oppsummeringen av Th 5, 53 og 55 Teorem La A være en n n matrise Vi antar som vanlig at alle egenverdiene er reelle Matrisen A kan diagonaliseres (er diagonaliserbar) hvis og bare hvis det finnes n lineært uavhengige egenvektorer For alle i, β i α i 3 Matrisen A kan diagonaliseres hvis og bare hvis for alle i β i α i 4 For å diagonalisere matrisen, sett n lineært uavhengige egenvektorer som kolonner i en matrise P, og da blir A P DP, D P AP, der D er en diagonalmatrise som inneholder egenverdiene (hver λ i treffes α i ganger) på hoveddiagonalen 5 Hvis alle α i, dvs matrisen har n forskjellige egenverdier, er da også β i, og matrisen er diagonaliserbar 5 Eksempler I eksemplene nedenfor undersøker vi om en matrise A kan diagonaliseres Hvis svaret er ja, anvender vi resultatet til å finne formelen for A n 5 Ex 5, 5 og 56 A p (t) det 3 8, 3 t 8 t (t + ) (t 3) λ : 4 A + I 8 t x x G J, t, 6
10 λ 3: A 3I 8 4 x t x, t G J, Endelig: P D, P AP, A n ( P DP ) n P D n P 3 n 3 n ( ) n ( ) n ( ) n 5 Ex n A n ( ) 3 n ( ) n ( ) n + 3 n 3 n Det er ikke tillatt å bruke kolonneoperasjoner i dette kurset, unntatt for å beregne determinanter t t p (t) det t det t t t det t t 4 7t 8 t det t 4 7t 8 t t 3 8t + 7t 4 Nedenfor Ex 53 er det beskrevet en metode hvordan å finne heltallsløsninger λ til den karaktersitiske likningen t 3 8t + 7t 4 Siden λ 4, kan λ være ±, ±4 λ 4 passer: dvs λ 4, λ,3 ± 3 t 3 8t + 7t 4 (t 4) ( t 4t + ), Spørsmål Undersøk om A kan diagonaliseres uten å finne egenvektorer 7
11 53 Ex 57, 58, 5 og 55 A 3, p (t) (t ) (t ) λ, α β : A I x y z t t t t G J, t, λ, α, β?: A I x y z β s r s r G J + s,, r + s, P P AP, P 3, D Finner nå A n : A n ( P DP ) n P D n P P n n n n n n P 8
12 n + n n + n n n n n n n n n n n n n n n n n + + n n n n n n n n Hvis n 3, er A Ex 5 Matrisen kan ikke diagonaliseres p (t) det A 3 5 t t 3 5 t (t ) (t ) Siden den algebraiske multiplisiteten til λ,3 er lik, er det lurt å sjekke λ først: A I G J, 3 5 x x x 3 t Den geometriske multiplisiteten Derfor kan ikke A diagonaliseres!, t dim E () dim (Null (A I)) < 6 Diagonalisering av operatorer (Ch 85) Minner en viktig formel fra Ch 85: 9
13 Teorem 3 (Th 85) Hvis T er en operator, dvs V W, og vi har to basiser G og H, så er T H T H H P H G T G G P G H P H G T G P G H P T G P der P P G H 6 Ex 853 utvidet T : P P, B (, x, x ), f a + bx + cx, T (f) c + (a + b + c) x + (a + 3c) x, c T (f) B a + b + c a b a + 3c 3 c T B 3 3 f B, La G (g, g, g 3 ) ( + x + x, + x, x ), P B G, P G B (P B G ) n T G, T n G n, n T n B P B G T n G P G B, n n n n + n n + n n n n n n n n n n n + n
14 T 3 G T 3 B P B G P G B,
13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5
3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne
Detaljer16 Ortogonal diagonalisering
Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
DetaljerA 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:
5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta
DetaljerDiagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1
Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerEksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
Detaljer15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt
Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
DetaljerR: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og
EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon:
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat 4 Lineær algebra Dato: Torsdag 4 juni 25 Tid: Kl 9: 3: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller Oppgavesettet
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær
DetaljerKap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former
Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerVi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på
Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske
Detaljerx 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder
4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
DetaljerNotat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger
Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
DetaljerLøsningsforslag MAT 120B, høsten 2001
Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
Detaljer10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet
Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
Detaljer1 Gauss-Jordan metode
Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
Detaljer12 Lineære transformasjoner
2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f
DetaljerKapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer
Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerEksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1
Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra
Detaljer7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet
7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt
DetaljerLøsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at
Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 379 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar 05 Oppgave. (A) Vi leser av at A = 3 5, B = ( 0 5 ), C = 0 5 9 og har dermed at π x = Ax + BT =
DetaljerMAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet
DetaljerMinste kvadraters løsning, Symmetriske matriser
Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerMA1202/MA S løsningsskisse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0/MA0 0S løsningsskisse Rettet. august 0 Oppgave a) Vi finner det karakteristiske polynomet, λ 0 λ λ λ λ detλi A) λ 0 λ λ
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2
MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 3
MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE OPPGAVE Hvordan løses oppgave? 5 4 Hvordan løses oppgave? 6 5 Formatering av svarene 8 5. Rasjonale tall............................. 8 5. Matriser
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
DetaljerMAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse
MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt
Detaljer= 3 11 = = 6 4 = 1.
MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at
DetaljerØving 5 Diagonalisering
Øving 5 Diagonalisering En matrise A er diagonaliserbar dersom den er similær med en diagonalmatrise, dvs. det eksisterer en invertibel matrise P og diagonal matrise D slik at P.D.P -1. I øving 4 lærte
DetaljerMA2501, Vårsemestre 2019, Numeriske metoder for lineære systemer
MA5 Vårsemestre 9 Numeriske metoder for lineære systemer Introduksjon Vi vil approksimere løsningen av lineære systemet av n ligningene og n ukjente: a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b ()
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4
DetaljerEKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)
EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater
DetaljerKap. 5 og Notat 2 Oppsummering
Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering Vi lar A være en reell n n matrise, med mindre noe annet sies. x R n er en egenvektor for A tilh. egenverdien λ R betyr at A x = λ x og x 0. Hvis A er triangulær, er egenverdiene
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
DetaljerForelesning 14 Systemer av dierensiallikninger
Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som
DetaljerEmne 9. Egenverdier og egenvektorer
Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /4-6/4 Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no April, 00 Oppgave 4.8. a Bytt om første og andre rad. b Legg til ganger rad til rad. c Bytt om første og andre rad. d Legg til
Detaljer2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =
Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 06 Anbefalte øvingsoppgaver fra boken: 9.3 : 53, 6, 64, 7, 75. Det er bare oppgaven under
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
Detaljer7.4 Singulærverdi dekomposisjonen
7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side).
UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Examination in: MAT 2 Lineær algebra Day of examination: 9. desember 2. Examination hours: 4.3 8.3. This problem set consists of 6 pages.
DetaljerPensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.
Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise
DetaljerGenerelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.
Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer
Detaljer5.6 Diskrete dynamiske systemer
5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Haust 2011
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk 3 Haust 0 Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap 5, s 7-73 5 Eigenrommet som svarar til λ = 5 er det
DetaljerEKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid:
EKSAMEN EMNE: MA6 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): 5 Antall oppgaver: Antall vedlegg:
DetaljerMAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser våren 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i MA22/MA622 Lineær algebra med anvendelser våren 29 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9
Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også
DetaljerRom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012.
Rom og lineæritet Erik Bédos Matematisk Institutt, UiO 202. Lineær algebra er et viktig redskap i nær sagt alle grener av moderne matematikk. De fleste emnene i matematikk på masternivå bygger på en forståelse
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =
DetaljerNORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER
NORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER SIE 3080 STOKASTISKE OG ADAPTIVE SYSTEMER Oddvar Hallingstad 0. februar 00 Vi skal her utlede noen nyttige formler for arbeidet med kovariansmatriser
DetaljerEksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi
Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6
MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE Hvordan å løse oppgaven? 4 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall............................. 9. Matriser og vektorer.........................
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerEksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra
Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra
DetaljerLøsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk. Høsten 2018
Løsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk Oppgave 1. ( 9 3 ) = 9 8 7 3 2 1 = 3 4 7 = 84 Høsten 2018 {1, 5, 9}, {1, 6, 8}, {2, 4, 9}, { 2, 5, 8}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}, {3, 5, 7},
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerGenerelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU
Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april 2015 4 Generelle vektorrom 41 Reelle
DetaljerOBLIG 2 - MAT 1120 Høsten 2005
> with(linearalgebra): with(linalg):with(plots): Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerOppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:
HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene
Detaljera) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er matrisen inverterbar når v T u 1.
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Oppgave 1 a) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerLøsningsforslag eksamen R2
Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e
Detaljer