Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle."

Transkript

1 Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget for resten av kompendiet ved å se litt nærmere på tallfølger og generelle differenslikninger. 1.1 Tallfølger og konvergens Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Definisjon 1.1 En tallfølge er en uendelig oppramsing av tall x 0, x 1, x 2,..., x n,.... En tallfølge betegnes ofte ved {x n } n=0 Tallene x 0, x 1,... kalles leddene i tallfølgen, og tallet x n kalles det n-te leddet (eller det generelle leddet). Vi kjenner igjen symbolet som uendelig. Den uendelige oppramsingen av en tallfølge angis som oftest ved en regel som sier hvordan det n-te leddet i tallfølgen ser ut. Regelen er gjerne gitt ved en formel (når vi setter inn en verdi for n i formelen, kan vi regne ut hva det n-te leddet er). 1

2 Eksempel 1.2 Tallfølgen 0, 1, 2, 3,..., n,... kan forkortet skrives {n} n=0, dvs. formelen for det n-te leddet er x n = n. Bemerkning 1.3 Noen ganger starter tallfølgen med et annet ledd enn det 0-te leddet, og vi skriver ofte {x n } for en tallfølge. Hvis x n er angitt ved en formel er det da underforstått at vi starter med det første leddet der formelen for x n gir mening. Hvis vi ønsker å studere en tallfølge som starter med det k-te leddet, skriver vi {x n } n=k. Vi vil ofte bruke ordet følge istedenfor tallfølge. Eksempel 1.4 Følgen 0, 1, 2, 3,..., n,... kan også angis ved {n 1} n=1. Eksempel 1.5 Følgen { 1 } = 1, 1, 1,..., 1,... har det n-te leddet gitt ved n 2 3 n 1. Vi kan ikke sette inn n = 0 (siden vi ikke kan dele på 0), så det første n leddet i følgen her er x 1 = 1 = 1. 1 Vi har allerede møtt flere eksempler på følger i populasjonsdynamikken: Eksempel 1.6 I eksempelet om PiggAv-ordningen i Kompendium 1 fant vi at andel bilister som kjører piggfritt i år n etter 1990 er (tilnærmet) x n = 73 73(0.63) n (1.1) og andel som kjører med pigg i år n etter 1990 er (tilnærmet) y n = (0.63) n. (1.2) Dette er eksempler på to følger {x n } og {y n } der formlene for det n-te leddet er gitt ved henholdsvis (1.1) og (1.2). Vi regnet ut de 18 første leddene i hver av disse følgene i Kompendium 1. Vi tar med et par spesielle følger vi skal møte som har egne navn: En konstant følge er en følge der alle leddene er like, for eksempel følgen {7} = 7, 7, 7, 7,... 2

3 En alternerende følge er en følge der leddene har alternerende fortegn, dvs. fortegnet skifter fra et ledd til det neste. Vi gjenkjenner en alternerende følge ved at det n-te leddet har ( 1) n som faktor. For eksempel {( 1) n } = 1, 1, 1, 1, 1,... eller { ( 1)n n } = 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5,... Siden en følge er en uendelig oppramsing, kan det være naturlig å stille spørsmålet: stopper følgen? Mer presist spør vi oss da om leddene x n i følgen nærmer seg et tall når n går mot uendelig (n blir større og større). Dette har vi allerede sett på i Kompendium 1: Eksempel 1.7 I Kompendium 1 så vi at følgene {x n } (1.1) og {y n } (1.2) (PiggAv-eksempelet) nærmer seg tallene x = 73 og y = 27, dvs. disse følgene stopper opp. Vi bruker språket vi innførte i Kompendium 1: Definisjon 1.8 Følgen {x n } konvergerer mot tallet x hvis leddene i følgen nærmer seg x når n går mot uendelig. Vi sier at grenseverdien til tallfølgen {x n } er x og skriver lim x n = x. n Hvis leddene i følgen ikke nærmer seg et bestemt tall når n går mot uendelig sier vi at følgen divergerer. Bemerkning 1.9 Det at leddene i følgen nærmer seg et tall x når n går mot uendelig betyr litt mer presist at bare n er stor nok, så kan vi få alle leddene i følgen fra denne n-en av til å være så nærme x vi bare vil. Eksempel 1.10 Følgen {n} i Eksempel 1.2 stopper ikke opp: Siden n blir så stor vi bare vil bare n er stor nok, dvs. lim n n =, så er {n} divergent. 3

4 Følgen { 1 } i Eksempel 1.5 stopper opp, siden leddene går mot 0, dvs. n 1 lim n n = 0. Dette betyr at vi kan få leddene i følgen { 1 } til å være så nærme 0 vi n bare vil, bare n er stor nok. For eksempel, hvis vi ønsker at leddene 1 skal ha avstand høyst minst fra 0, kan vi få til det ved å la n være Den konstante følgen {a} = a, a, a,... konvergerer mot a. I den alternerende følgen {( 1) n } hopper leddene frem og tilbake mellom 1 og 1, så denne følgen divergerer. Derimot konvergerer { ( 1)n n } mot 0 selv om leddene skifter fortegn fra et ledd til neste. 1.2 Differenslikninger Når vi har en formel for det n-te leddet i en følge, kan vi regne ut alle leddene (hvis vi ønsker) og vi kan ofte bestemme om den konvergerer eller divergerer. I anvendelser der en følge er løsning på et problem, får vi ofte oppgitt følgen på en annen måte, nemlig som en differenslikning (vi sparer forkor-telsen difflikning til vi kommer til Kompendium 3 og emnet Differensiallikninger): Eksempel 1.11 Den italienske matematikeren Leonardo Pisano (ca ), bedre kjent som Fibonacci, er blitt viden kjent for sin kaninmodell. Han beskrev utviklingen av en kaninpopulasjon som vokser etter følgende enkle prinsipp: Hvert par av kaniner føder et nytt par kaniner hver måned og de begynner med det når de er to måneder gamle. La oss anta at vi starter med ett par kaniner (og at vi ser bort fra at kaniner dør etterhvert!). Måneden etter har vi fortsatt bare ett par, men så begynner det å skje ting. Etter to måneder har det første paret fått barn og vi har to par kaniner, måneden etter får de et nytt par kaniner, mens de eldste ungene enda ikke har begynt å få unger slik at vi da har tre par kaniner. 4

5 Etter tre måneder får også de førstefødte ungene unger og tilveksten blir to par. Til sammen har vi da fem par kaniner. Vi kan lage en generell beskrivelse av det som skjer. Vi lar x n være antall kaniner etter n måneder. Da har vi likningen x n+2 = x n+1 + x n, n 0, (1.3) som vi kan forklare slik: Antall kaniner etter n+2 måneder består av samtlige kaniner vi hadde forrige måned (x n+1 ), i tillegg til at alle kaniner som levde for to måneder siden har fått unger og derfor tilført et tilsvarende antall (x n ) nye kaninpar. Starter vi med x 0 = x 1 = 1 får vi den såkalte Fibonacci-følgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,... (1.4) Hvert ledd i følgen fremkommer altså som summen av de to foregående leddene: osv. x 2 = x 1 + x 0 = = 2, x 3 = x 2 + x 1 = = 3, x 4 = x 3 + x 2 = = 5, x 5 = x 4 + x 3 = = 8, Likningen (1.3) er et eksempel på en differenslikning. Vi kan strengt tatt regne ut alle leddene i følgen (kalt Fibonacci-tallene) ved hjelp av likningen, men da må vi starte fra x 0 og x 1 og regne oss oppover. Hvor mange kaniner er det etter 4 år (48 måneder)? Hadde vi hatt formelen for denne følgen, kunne vi bare ha satt inn n = 48 istedenfor å regne ut alle de foregående leddene før vi kom til x 48. Det er ikke helt enkelt å se for seg hva slags formel som beskriver det n-te leddet i denne følgen, men det viser seg at Fibonacci-følgen er beskrevet av formelen x n = 5 5 [(1 + 5 ) n+1 ( 1 5 ) n+1 ]. (1.5) 2 2 Du synes kanskje ikke det blir noe enklere å sette inn n = 48 i denne formelen? 5

6 Men er det ikke litt rart at dette uttrykket med flere rottuttrykk er et helt tall (antall kaniner) hver gang vi setter inn et naturlig tall n? Sjekk dette for noen verdier (f.eks. at n = 2 gir 2)! Vi skal utlede formelen (1.5) senere i kompendiet. Definisjon 1.12 En differenslikning (for en følge) er en likning som angir hvordan hvert ledd i en følge (fra et visst ledd av) kan beregnes ved hjelp av de foregående leddene i følgen. Hvis man bare trenger de k foregående leddene (der k N) kalles den en k-te ordens differenslikning. For eksempel er (1.3) en andre ordens differenslikning: (1.3) sier jo at hvert ledd (fra ledd 2 og oppover) fås ved å addere de to foregående leddene. Det vil være uendelig mange følger som oppfyller likningen (1.3). I tillegg til Fibonacci-følgen vil for eksempel følgen 1, 3, 4, 7, 11, 18, 39,... også oppfylle likningen (1.3) (finn flere!). Eksempel 1.13 Likningen x n+1 = 3x 2 n n + 1, n 0, er en første ordens differenslikning. Hvis x 0 = 1 er da x 1 = = 4, x 2 = = 48, x 3 = = 6911, osv. en følge som oppfyller likningen. Det fins et hav av interessante differenslikninger som dukker opp i anvendelser. I MAT1001 skal vi stort sett studere differenslikninger av en bestemt type, nemlig de lineære: Definisjon 1.14 La k N. En k-te ordens lineær differenslikning (med konstante koeffisienter), er en likning på formen x n+k = a 1 x n+k 1 + a 2 x n+k a k x n + f(n), n 0, (1.6) der a 1,..., a k er reelle tall, f(n) er et gitt uttrykk i n og a k 0 (ellers ville likningen ha hatt lavere orden). 6

7 Det at a 1,..., a k alle er konstanter betyr at vi har konstante koeffisienter. Dersom a 1,..., a k tillates å avhenge av n vil likningen fremdeles være en k-te ordens lineær differenslikning, men disse mer generelle likningene skal vi ikke studere i MAT1001. Eksempel 1.15 Likningen (1.3) x n+2 = x n+1 + x n er en andre ordens lineær differenslikning: vi har k = 2, a 1 = 1, a 2 = 1 og f(n) = 0 i (1.6). Eksempel 1.16 Differenslikningen x n+1 = 5x n, n 0 er en første ordens lineær differenslikning (der k = 1, a 1 = 5 og f(n) = 0 i (1.6)). Den sier at leddene i følgene som er gitt ved denne likningen fås ved å multiplisere det umiddelbart foregående leddet med 5. Ordet lineær (som vi så på i Kompendium 1) kommer fra at leddene i følgen skal opptre på lineær form (vi skal ikke ha noen av leddene i 2. potens for eksempel). Eksempel 1.17 Likningen fra Eksempel 1.13 er ikke lineær siden uttrykket x 2 n opptrer i likningen. Derimot er differenslikningen x n+2 = 3x n x n + n 2 + 2, n 0, (1.7) lineær (og andre ordens). Definisjon 1.18 Vi løser en differenslikning ved å finne alle følgene som oppfyller likningen. Disse tallfølgene utgjør den generelle løsningen til differenslikningen. 7

8 For de differenslikningene vi skal møte i MAT1001 kan den generelle løsningen angis ved en formel for det n-te leddet: Eksempel 1.19 Differenslikningen x n+1 = 5x n, n 0 i Eksempel 1.16 har uendelig mange løsninger. For eksempel 1, 5, 25, 125, 625,... og 2, 10, 50, 250,.... Den generelle løsningen (som vi skal lære å finne) vil være alle følger {x n } slik at x n = C 5 n, for en C R (og alle n 0). Vi skriver vanligvis bare at den generelle løsningen er x n = C 5 n, C R (underforstått alle følger {x n } slik at x n =... ). Definisjon 1.20 Når vi plukker ut en av løsningene i den generelle løsningen, kaller vi denne løsningen en spesiell løsning (også kalt en partikulær løsning). Vi er ofte interessert i å finne én spesiell løsning, som er bestemt av at vi vet noe om de første leddene i følgen. Definisjon 1.21 En k-te ordens differenslikning der vi i tillegg vet verdiene på de k første tallene i følgen kalles en differenslikning med k initialbetingelser. Hvis vi har en k-te ordens differenslikning med k initialbetingelser vil vi alltid ha nøyaktig én løsning, siden vi da kan regne oss oppover og finne 8

9 alle leddene i denne spesielle følgen. Problemet da er at denne prosessen er tidkrevende, og at vi helst vil ha en formel for det n-te leddet, for eksempel for å kunne avgjøre om følgen konvergerer eller ikke. Eksempel 1.22 Likningen x n+2 = x n+1 + x n, x 1 = 1, x 2 = 1 er en andre ordens lineær differenslikning med to initialbetingelser, og det er kun én følge i hele verden som oppfyller dette, nemlig Fibonacci-følgen. Eksempel 1.23 Likningen x n+1 = 5x n, x 0 = 2 er en første ordens lineær differenslikning med én initialbetingelse, og følgen {x n } = 2, 10, 50,..., 2 5 n,... er den eneste løsningen til denne likningen. La oss ramse opp noen flere eksempler på differenslikninger: a) x n+1 = 4x n 7 n b) x n+2 x n = π c) x n+3 = x n+2 ln(n 2 + 1) + x n+1 3nx n Når vi skal igang med å løse differenslikninger, skal vi som sagt begrense oss litt, for eksempel skal vi ikke studere likningen gitt i c) ovenfor, og heller ikke løse likningen gitt i a). Derimot skal vi lære å finne alle løsninger til likning b). Det fins differenslikninger som er uløselige (i den forstand at man ikke vet hvordan man kan angi en formel for det generelle leddet). I MAT1001 skal vi lære å løse, og se på anvendelser av, følgende differenslikninger første ordens lineære homogene differenslikninger 9

10 noen typer første ordens lineære inhomogene differenslikninger andre ordens lineære homogene differenslikninger noen typer andre ordens lineære inhomogene differensliknigner Med lineære mener vi her alltid lineære med konstante koeffisienter. Ordet homogen traff vi også på i Kompendium 1. Det har en helt analog betydning her: Definisjon 1.24 En lineær differenslikning av typen (1.6) kalles homogen hvis f(n) = 0. Hvis f(n) 0 kalles likningen inhomogen. Eksempel 1.25 Likningen (1.7) er en andre ordens lineær inhomogen differenslikning, mens likningen i Eksempel 1.16 er en første ordens lineær homogen differenslikning. Vi skal ta for oss de ulike typene likninger i tur og orden. 1.3 Om anvendelser av differenslikninger For hver type differenslikning vi skal lære å løse vil vi ta for oss anvendelser. Da kan det være fint å ha følgende bemerkninger i bakhodet: Problemene vi skal studere i dette kompendiet vil gi opphav til en differenslikning der løsningen er en tallfølge. I denne typen problemer studerer vi et fenomen som skjer i milepæler (adskilte tidsrom), noe som kan måles i hver generasjon n der n er et naturlig tall. Vi har da at hvert ledd x n i tallfølgen vil svare til fenomenets tilstand i generasjon n, kort sagt leddet x n svarer til n-te generasjon. Antagelsen om adskilte tidsrom har vi allerede møtt i Kompendium 1, i populasjonsdynamikken. Her så vi på dynamikken mellom flere (under)populasjoner, som ga oss et system av likninger som kunne løses ved hjelp av matriser. Systemene vi møtte der er systemer av differenslikninger. Nå skal vi studere én differenslikning / ett fenomen om gangen. 10

11 Vi har brukt anførselstegn rundt generasjon siden det er et ord som naturlig hører til begrepet populasjon. I fenomenene vi nå skal studere, som for eksempel kan være utviklingen av en populasjon eller en ball som spretter opp og ned, tenker vi generelt på en generasjon som tidsrommet mellom hver milepæl. For eksempel vil et fenomen der det samme forholdet mellom tre etterfølgende generasjoner gjentas i det uendelige gi opphav til en andre ordens differenslikning (som for Fibonaccis kaniner). 1.4 Nå skal du kunne definisjonen av en tallfølge og vite hva det vil si at en tallfølge konvergerer eller divergerer definisjonen av en konstant tallfølge, alternerende tallfølge og Fibonaccifølgen forklare Fibonaccis kaninproblem og hvor Fibonacci-tallene kommer fra definisjonen av en differenslikning, herunder begrepene orden, lineær, konstante koeffisienter, homogen og inhomogen, og gi eksempler på ulike typer differenslikninger med hensyn på disse begrepene forskjellen på den generelle løsningen og en spesiell løsning av en differenslikning glede deg til fortsettelsen! 11

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Våren 2009 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012 200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer

Kapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen

Kapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen Kapittel 5 Trær og nettverk Vi har sett at anvendelser av differenslikninger studerer fenomener som skjer i adskilte tidsrom, dvs. vi ser på diskrete anvendelser (jfr. Seksjon 1.3). I dette kapittelet

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Tidligere eksamensoppgaver

Tidligere eksamensoppgaver Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet differenslikninger, og noen om komplekse tall, gitt ved UiO. Den første oppgaven gir

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Programmering i Java med eksempler

Programmering i Java med eksempler Simulering av differenslikninger Programmering i Java med eksempler Forelesning uke 39, 2006 MAT-INF1100 Differenslikn. p. 1 Løsning av differenslikninger i formel Mulig for lineære likninger med konst.

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012 MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret

Detaljer

Øving 6 Tallfølger og differenslikninger

Øving 6 Tallfølger og differenslikninger Øving Tallfølger og differenslikninger Teori Se også Mathematicakompendiet kap. En tallfølge er en liste av elementer satt opp i en bestemt rekkefølge { a[0]a[]a[]...a[n]... } = {a[n]} 0. Vi kaller elementet

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer

Forelesning 29: Kompleksitetsteori

Forelesning 29: Kompleksitetsteori MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 29: Kompleksitetsteori 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

MAT jan jan feb MAT Våren 2010

MAT jan jan feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner Kapittel 1 Funksjoner Kurset MAT1001 dreier seg kort sagt om å lage matematiske problemer av virkeligheten og deretter løse problemene. Hittil i kurset har vi allerede møtt mange problemer, og de har så

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Programmering i Java med eksempler

Programmering i Java med eksempler Differenslikn. p.124 Simulering av differenslikninger Programmering i Java med eksempler Forelesning uke 39, 2005 MAT-INF1100 Differenslikn. p.224 Differenslikning av orden 2 (1) Vi kjenner formler for

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 5. desember 2011. Tid for eksamen: 9:00 13:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430 MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

Rekker, Konvergenstester og Feilestimat

Rekker, Konvergenstester og Feilestimat NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag

SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et

Detaljer

Fibonaccitallene og det Gylne Snitt

Fibonaccitallene og det Gylne Snitt Fibonaccitallene og det Gylne Snitt 4. mai 2009 1 Fibonacci Er navnet kjent? Leonardo Fibonacci var en italiensk matematiker som levde i Pisa rundt år 1200. Han er anerkjent som en av middelalderens største

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

Simulering av differenslikninger

Simulering av differenslikninger Differenslikn. p.1/22 Simulering av differenslikninger Programmering i Java med eksempler Forelesning 20 september 2004 MAT-INF1100 Differenslikn. p.2/22 Differenslikning av orden 2 (1) Vi kjenner formler

Detaljer

Tidligere eksamensoppgaver

Tidligere eksamensoppgaver Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere ekamensoppgaver innenfor temaet lineær algebra gitt i tilsvarende kurs som MAT1001 ved UiO. Utvalget er gjort med hensyn

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

MAT Grublegruppen Uke 37

MAT Grublegruppen Uke 37 MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

MAT 1001, høsten 2015 Oblig 2

MAT 1001, høsten 2015 Oblig 2 MAT 1001, høsten 2015 Oblig 2 Innleveringsfrist: Torsdag 5. november kl. 14:30 Det er lov til å samarbeide om løsning av oppgavene, men alle skal levere inn sin egen versjon. Husk å skrive på navn og kurskode

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

Svingninger i en elektrisk RCL-krets med og uten påtrykt vekselspenning.

Svingninger i en elektrisk RCL-krets med og uten påtrykt vekselspenning. 1 Noen gruppeoppgaver for uke 20 våren 2008 i FYS2130: Svingninger i en elektrisk RCL-krets med og uten påtrykt vekselspenning. Vi har på forelesninger i uke 19 vist hvordan vi kan løse den andre ordens

Detaljer

R2-01.09.14 - Løsningsskisser

R2-01.09.14 - Løsningsskisser R - 0.09.4 - Løsningsskisser Algebra Oppgave Finn den eksplisitte formelen for n te ledd i tallfølgene: a), 4, 6, 8, 0,... b),, 5, 7, 9,... c), 4, 9, 6, 5,... d),, 4, 5 4, 6 5,... a) Vi ser at følgen med

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN

Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Emnekode: MA 40 Emnenavn: Analyse Dato: 9. desember 999 Varighet: 09.00-5.00 Antall sider inklusivt forside: Tillatte hjelpemidler: Merknader: 2 Alle, også

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

Analysedrypp II: Kompletthet

Analysedrypp II: Kompletthet Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig

Detaljer

Reelle tall på datamaskin

Reelle tall på datamaskin Reelle tall på datamaskin Knut Mørken 5. september 2007 1 Innledning Tirsdag 4/9 var tema for forelesningen hvordan reelle tall representeres på datamaskin og noen konsekvenser av dette, særlig med tanke

Detaljer

Simulering av differenslikninger

Simulering av differenslikninger Forelesning uke 37, 2007 Løsning av differenslikninger i formel Mulig for lineære likninger med konst. koeff. og enkelte inhomogeniteter. Eksempel: (b, c er konstante) x n+2 + bx n+1 + cx n = cos(n), x

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Våren 2009 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017

Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 4. oktober 2017 Problem og hovedidé Problem: Finn løsning(er) r på en ligning

Detaljer

Vi skal nå lære hvordan vi kan finne en formel for å bestemme det n te elementet i en tallfølge av 2. grad.

Vi skal nå lære hvordan vi kan finne en formel for å bestemme det n te elementet i en tallfølge av 2. grad. Differensligninger Vi startet med en repetisjon om løsning av. ordens differensligninger.. ordens differensligning. a n = c 1 a n-1 + c a n-, der c 1 og c er konstanter. Vi ser her at neste ledd i følgen

Detaljer

Ikke lineære likninger

Ikke lineære likninger Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0

Detaljer

Sammensetningen h = f g er en funksjon fra A til C, h: A -> C og er definert ved h(a) = f(g(a)) Viktig: f g g f

Sammensetningen h = f g er en funksjon fra A til C, h: A -> C og er definert ved h(a) = f(g(a)) Viktig: f g g f Sammensetningen av to funksjoner. Gitt mengdene A, B og C. La f og g være funksjonene der g: A -> B f: B -> C Da kan vi lage sammensetningen h av f og g. Den betegnes som h = f g (lese som «f ring g»).

Detaljer

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M = Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri

Detaljer

Derivasjonen som grenseverdi

Derivasjonen som grenseverdi Gitt graf. Start/stopp. Fra sekant til tangent. Veien til formelen for den deriverte til funksjon f i et punkt Animasjonens jem: ttp://ome.ia.no/~cornelib/animasjon/ matematikk/mate-online-at/ablgrenz/

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11 Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x

Detaljer

Potensrekker. Binomialrekker

Potensrekker. Binomialrekker Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever

Detaljer

Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11)

Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Knut Mørken 22. november 2004 Vi har tidligere i kurset sett litt på numerisk derivasjon

Detaljer

Mengder, relasjoner og funksjoner

Mengder, relasjoner og funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag I kapittel 9 i kompendiet forklarte vi at maximum-likelihood er en av de viktige anvendelsene av ikke-lineær optimering. Vi skal se litt mer på hva

Detaljer

Matematisk induksjon

Matematisk induksjon Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a

Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a P n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + + f (n) (a) (x

Detaljer

Matematikk 3MZ AA6544 / AA6546 Elever / privatister Oktober 2002

Matematikk 3MZ AA6544 / AA6546 Elever / privatister Oktober 2002 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MZ AA6544 / AA6546 Elever / privatister Bokmål Eksempeloppgave etter læreplan godkjent juli 000 Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og

Detaljer

K Andre Ordens Differensialligninger

K Andre Ordens Differensialligninger K 6.6 - Andre Ordens Differensialligninger Innhold: H-P Ulven, 03.04.09 Terminologi Utvikling av regel for løsning av y ay by 0 (Tilfelle: y Ce r 1x De r x ) Utvikling av regel for løsning av y ay by 0

Detaljer

Kontinuitet og grenseverdier

Kontinuitet og grenseverdier Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Diofantiske likninger Peer Andersen

Diofantiske likninger Peer Andersen Diofantiske likninger av Peer Andersen Peer Andersen 2013 Innhold Når en diofantisk likning har løsning... 3 Generell løsning av den diofantiske likningen... 4 Løsningsmetode når vi kjenner en spesiell

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102 Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet

Detaljer

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Polynomisk interpolasjon

Polynomisk interpolasjon Polynomisk interpolasjon Hans Munthe-Kaas 1. jaunar 2002 Abstract Dette notatet tar for seg interpolasjon med polynomer. Notatet er ment som et tillegg til læreboken i I162, og forsøker å framstille dette

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode Løsningsforslag Oppgave 1 Samanlikning med analytisk løsning y = 3 2 x y, y(0) = 1. a) Kandidat til løsning: y = e x3/2. Vi deriverer

Detaljer

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310)

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) TERJE SUND Innledning I matematisk optimering søker en å bestemme maksimums- og minimumspukter for funksjoner som avhenger av reelle variable og av andre

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Mappeoppgave om sannsynlighet

Mappeoppgave om sannsynlighet Mappeoppgave om sannsynlighet Statistiske eksperimenter Første situasjon Vi kom frem til å bruke Yatzy som et spill vi ønsket å beregne sannsynlighet ut ifra. Vi valgte ut tre like og to par. Etter en

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)

Detaljer