Γ = u dl = u φ adφ = 2πωa 2 = 6.28m 2 /s. r = 1 (ru r )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Γ = u dl = u φ adφ = 2πωa 2 = 6.28m 2 /s. r = 1 (ru r )"

Transkript

1 À ËÃÇÄ Æ Á ËÌ Î Æ Ê ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ä Ò Ò ÓÖ Ð Ñ Ò Ì ÐÙ ÝÒ Ñ ¾¼¼½ Î ÇÔÔ Ú ½ I hele oppgaven er u z = 0, og vi har ingen z-avhengighet, så u(r,φ) = u r (r,φ)e r +u φ (r,φ)e φ. a) For viskøs strøm må hastigheten til væsken på sylinderoverflaten være lik hastigheten til overflaten selv (heftebetingelsen): u r (a,φ) = 0, u φ (a,φ) = ωa. Hastigheten uendelig langt vekk fra sylinderen forsvinner: u r (r,φ) 0, u φ (r,φ) 0 as r. Siden dl = adφe φ for en sirkel med radius a, blir sirkulasjonen rundt sylinderoverflaten: 2π Γ = u dl = u φ adφ = 2πωa 2 = 6.28m 2 /s. r=a 0 b) På grunn av sylindersymmetri er alle verdier av φ likeverdige, så hastighetskomponentene avhenger ikke av φ, u r = u r (r), u φ = u φ (r). Kontinuitetsligningen (dvs. massebevaring) gir da u r r + u r r = 1 (ru r ) = 0, r r med løsning ru r (r) = A konstant. Når vi setter inn grensebetingelsen u r (a) = 0. finner vi A = au r (a) = 0, så A = 0 og følgelig u r (r) = 0 for alle r (r a). Dette resultatet kan også finnes uten å regne. Vi tenker oss at vi deler volumet utenfor sylinderen i tynne konsentriske sylindriske skall. Massebevaring medfører da at det må strømme like mye olje inn i som ut av hvert skall. Siden det ikke kan strømme olje ut av (eller inn i) sylinderen, kan det imidlertid ikke strømme olje inn i (eller ut av) skallet umiddelbart utenfor sylinderen heller. Hvis vi gjentar dette argumentet for hvert enkelt sylindrisk skall, finner vi at vi ikke kan ha noen strøm i r-retningen i det hele tatt. Videre gir da φ-komponenten av Navier Stokes ligning: ( 2 u φ 0 = µ r u φ r r u ) φ r 2. For eksempel ved innsetting finner vi at u φ (r) = C/r er en løsning av denne ligningen, som oppfyller randbetingelsen u( ) = 0. Integrasjonskonstanten C bestemmes av randkravet (heftebetingelsen) i r = a: u φ (a) = C a = ωa = C = ωa2 = Γ 2π. c) Av r-komponenten av Navier Stokes ligning har vi: som ved integrasjon gir: p r = ρu2 φ = ργ2 r 4π 2 r 3, p = p 0 ργ2 8π 2 r 2 = p ρω2a4 r 2. Siden u 0 når r, reduserer Bernoullis ligning seg til: p p 0 = 1 2 ρu2 = 1 2 ρu2 φ = 1 2 ρω2a4 r 2, som gir samme svaret. [Dette kunne vi også ha innsett ved å bemerke at resultatet for viskøs strøm ikke avhenger av viskositeten µ, og følgelig også må gjelde for ikke-viskøs strøm.] 1

2 d) Symmetrien i problemet er som før, og vi har fortsatt inkompressibel strøm, så vi må fortsatt ha u r (r) = 0 og u φ = u φ (r). Grensebetingelsene (heftebetingelsen) for viskøs strøm blir da u φ (a) = ωa på sylinderoverflaten og u φ (b) = 0 på rørveggen. e) Ligningen foru φ (r) er fortsatt som gitt i b), og ved (for eksempel) innsetting av den oppgitte løsningen u φ (r) = A/r +Br i Navier-Stokes ligning i φ-retningen kontrollerer man at dette virkelig er løsning. Konstantene A og B bestemmes av randkravene i r = a og r = b: A +Ba = ωa a A b +Bb = 0 = A = ωa2 b 2 b 2 a 2 B = ωa2 b 2 a 2 f) Av det oppgitte uttrykket for u i sylinderkoordinater, har vi: ( uφ ζ = ( u) z = r + u ) φ = 2B = 2ωa2 r b 2 a 2 = 66.7s 1, så strømmen er ikke lenger hvirvelfri. Sirkulasjonen rundt en sirkel med radius r blir: 2π ( A Γ(r) = u dl = )rdφ r +Br = 2π ( A+Br 2) = 2πB(b 2 r 2 ) = 2πωa 2b2 r 2 b 2 a 2. 0 Kontroll: Γ(a) = 2πωa 2 som før og Γ(b) = 0, siden u φ (b) = 0. g) Av oppgitt formel finner vi: ( uφ τ = µ r u ) φ r r=b = 2µA b 2 (= 2µB) = 2µω a2 b 2 a 2 = 0.867Pa. Fortegnet i formelen for τ er valgt for å gjenspeile at oljen søker å trekke røret i strømretningen Samlet kraft på rørveggen blir da F = 2πLbτ. Dreiemomentet som behøves til å holde på røret er motsatt lik oljens dreiemoment på det, altså: ÇÔÔ Ú ¾ M = Fb = 2πb 2 Lτ = 4πµAL = 4πµωL a2 b 2 b 2 a 2 = 0.436Nm. a) Leddene i Navier Stokes ligning kan karakteriseres som følger: ρ u/ t: akselerasjonsledd; ρ(u )u: treghetsledd; p: trykkledd; µ 2 u: viskøst ledd. Reynoldstallet R x = ρux/µ = Ux/ν, der U er hastighetsskalaen. Dimensjonsanalyse gir [ρ(u )u] = [ρ]u 2 /L og [µ 2 u] = [µ]u/l 2, så siden [x] = L, er R x = treghetsledd viskøst ledd = ρux µ b) For fri strøm dominerer den viskøse kraften ved lave hastigheter (lave reynoldstall), mens tregheten dominerer ved høye. På grunn av grensebetingelsen u = 0 ved veggen, vil hastigheten alltid være lav nær denne, og viskositeten kan aldri neglisjeres her. Dette er årsaken til at vi alltid har et viskøst grensesjikt, selv om viskositeten kan neglisjeres i resten av strømmen. c) For todimensjonal strøm lyder x-komponenten av Navier Stokes ligning: u u ( x +v u y = 1 p 2 ) ρ x +ν u x u y 2 Hvis strømmen varierer på en lengdeskala L i x-retningen og på en skala δ (grensesjikttykkelsen) i y-retningen, med δ L, har vi 2 u x 2 U L 2 2 u y 2 U δ 2 hvorav resultatet følger. d) Siden grensesjiktet er tynt, kan ikke trykket være svært forskjellig fra trykket utenfor, hvor vi har ikke-viskøs strøm, så p(x,y) p 0 (x,y) (for flere detaljer, se Tritton 11.2). Vi har videre { < 0 ugunstig trykk-gradient p 0 = 0 nøytral trykk-gradient x > 0 gunstig trykk-gradient En gunstig trykk-gradient virker stabiliserende på strømmen, en ugunstig virker destabiliserende. 2

3 e) Siden η = 0 når y = 0, blir u(x,0) = u 0 f (0) = 0, så f (0) = 0. Videre: v(x,0) = u 0 (x)[f(0) 0 f (0)] = u 0 (x)f(0), så vi må ha f(0) = 0. Dessuten er u(x, ) = u 0 = u 0 f ( ), så f ( ) = 1. f) Når R x vokser, blir grensesjiktet ustabilt. Ved R x 1500 (for nøytral trykk-gradient) får vi en enkel ustabil bølge-modus (Tollmien-Schlichting bølge). Deretter vil vi få et frekvensbånd av ustabile moder. Den videre prosess er kjent som en K-type overgang, en får først tre-dimensjonale (transverselle) ustabiliteter og så stiger kompleksiteten i strømningsmønsteret stadig, i det ustabilitetene selv blir ustabile, til en får en situasjon med fullt utviklet turbulens, først i begrensede områder (turbulente flekker). Turbulente grensesjiktet er todelte, med et indre viskøst undersjikt og utenfor dette et sjikt med et logaritmisk hastighetsprofil. Fullt utviklede turbulente grensesjikt oppstår for reynoldstall av størrelsesorden til g) Av definisjonen av viskøs skjærspenning har vi ved veggen (y = η = 0): ( u τ W = µ y + v ) x y=0 Siden v(x,0) = 0 har vi også ( v/ x) y=0 = 0, slik at: τ W = µ ( ) ( u = µ u 0 f (η) η ) = µu 0f (0) y y=0 y η=0 (x) = f (0)µu 0 u0 ρ µx = f (0) u2 0ρ Rx. Vi ser at τ W 0 når R x. Men eksperimentelt forblir τ W endelig i denne grensen (typisk τ W = cρu 2 0, med c = , bare svakt avhengig av R x ). Teorien for turbulente grensesjikt gir en endelig τ W. h) Siden 360km/h = 100m/s og 90km/h = 25m/s, finner vi (med x som vingekorden): R x = u { 0x 2 10 ν = 7 passasjerfly modellseilfly. Vi ser at strømmen rundt nesten hele vingen må være turbulent for passasjerflyet, mens den kan være nært laminær for modellseilflyet (sml. f ovenfor). i) Med en vingekorde for modellen på x = 0.15m blir skalaen 1:20. For å få samme reynoldstall, R x, må vi følgelig ha en u 0 som er 20 større, dvs. u 0 = 2000m/s. Men dette gir Mach-tallet M = u 0 /c = 6.0, dvs. solid overlydhastighet. For slike verdier av M kan luften på ingen måte betraktes som inkompressibel, og vi kan ikke bruke dynamisk similaritet til å sammenligne måleresultater for forskjellige verdier av M. 3

Løsningsforslag Øving 12

Løsningsforslag Øving 12 Løsningsforslag Øving 1 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 013 Oppgave 9-89 Løsning Vi skal finne et uttrykk for trykket som funksjon av x og y i et gitt hastighetsfelt. Antagelser 1 Strømningen er stasjonær.

Detaljer

Løsningsforslag Øving 10

Løsningsforslag Øving 10 Løsningsforslag Øving 0 TEP400 Fluidmekanikk, Vår 03 Oppgave 8-30 Løsning Volumstrømmen av vann gjennom et rør er gitt. Trykkfallet, tapshøyden og pumpens effekt skal bestemmes. Antagelser Strømningen

Detaljer

Den blokkerende misoppfatning

Den blokkerende misoppfatning Den blokkerende misoppfatning Olav Nygaard og Anja Glad Zernichow Vi vet alle at dersom det sitter en propp i et rør, så kan ikke vannet renne gjennom det. Lengden på proppen betyr ingenting for dens evne

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Når Merge sort og Insertion sort samarbeider

Når Merge sort og Insertion sort samarbeider Når Merge sort og Insertion sort samarbeider Lars Sydnes 8. november 2014 1 Innledning Her skal vi undersøke to algoritmer som brukes til å sortere lister, Merge sort og Insertion sort. Det at Merge sort

Detaljer

HVORDAN NÅ DINE MÅL. http://pengeblogg.bloggnorge.com/

HVORDAN NÅ DINE MÅL. http://pengeblogg.bloggnorge.com/ HVORDAN NÅ DINE MÅL http://pengeblogg.bloggnorge.com/ Innledning Dersom du har et ønske om å oppnå mye i livet, er du nødt til å sette deg ambisiøse mål. Du vil ikke komme særlig langt dersom du ikke aner

Detaljer

Bremselengde. (Elevhefte) Hensikt:

Bremselengde. (Elevhefte) Hensikt: Bremselengde (Elevhefte) Hensikt: Du skal nå lære om sammenhengen mellom fart og bremselengde. Du skal lære om friksjon og friksjonskoeffisient Lære om hvilke faktorer som påvirker total stopplengde for

Detaljer

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett.

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett. Hvor i All Verden? Del 1 Introduksjon Hvor i All Verden? er et reise- og geografispill hvor man raskest mulig skal fly innom reisemål spredt rundt i Europa. I denne første leksjonen vil vi se på hvordan

Detaljer

Det finnes mange måter og mange hjelpemidler til å illustrere brøk. Ofte brukes sirkelen som symbol på en hel.

Det finnes mange måter og mange hjelpemidler til å illustrere brøk. Ofte brukes sirkelen som symbol på en hel. Brøk Hvis vi spør voksne mennesker som ikke har spesiell interesse for matematikk om hva de syntes var vanskelig i matematikk på skolen, får vi ofte svaret: Brøk. Vår påstand er at hvis innføring av brøk

Detaljer

5/2/2014 Clubhouse International 1

5/2/2014 Clubhouse International 1 I løpet av årene har det verdensomspennende klubbhusfellesskapet lagt stadig større vekt på "fellesskapet" når det gjelder å definere hva som gjør et klubbhus til et klubbhus. Vi har innsett at det som

Detaljer

Skrivefeil i dette dokumentet kan forekomme, hvis du skulle ønske å hjelpe meg med å rette den ta kontakt på tore@bibelundervisning.

Skrivefeil i dette dokumentet kan forekomme, hvis du skulle ønske å hjelpe meg med å rette den ta kontakt på tore@bibelundervisning. Hva gir deg verdi? Skrivefeil i dette dokumentet kan forekomme, hvis du skulle ønske å hjelpe meg med å rette den ta kontakt på tore@bibelundervisning.com Hva er det som gir deg verdi og hvor får du din

Detaljer

De fire regningsartene

De fire regningsartene De fire regningsartene Det går ikke an å si at elevene først skal ha forstått posisjonssystemet, og deretter kan de begynne med addisjon og subtraksjon. Dette må utvikles gradvis og om hverandre. Elevene

Detaljer

Eksempel på løsning DEL 1

Eksempel på løsning DEL 1 Eksempel på løsning DEL 1 Eksamen MAT0010 Matematikk 10. årstrinn (Elever) 0.05.011 Bokmål Innledning Formålet med Eksempel på løsning av Del 1 i Eksamen MAT0010 Matematikk, 10. årstrinn, er blant annet

Detaljer

Tid og Frekvens. Nicolai Kristen Solheim

Tid og Frekvens. Nicolai Kristen Solheim Tid og Frekvens Nicolai Kristen Solheim Abstract I denne oppgaven har vi målt tid på forskjellige måter for å få et bevisst forhold til tid og forskjellige målemetoder. Vi har startet fra helt grunnleggende

Detaljer

FELLESEIE ER IKKE SAMEIE

FELLESEIE ER IKKE SAMEIE FELLESEIE ER IKKE SAMEIE 1 DET ØKONOMISKE FORHOLDET MELLOM EKTEFELLER Informasjonsbrosjyre om det økonomiske forholdet mellom ektefeller etter ekteskapsloven (lov 4. juli 1991 nr. 47) INNHOLD Innledning

Detaljer

Beslutninger på lang sikt prosjektanalyse

Beslutninger på lang sikt prosjektanalyse kapittel 4 Beslutninger på lang sikt prosjektanalyse Investeringsbeslutninger er langsiktige og gjerne betydelige i størrelse. Det krever helt andre analyseverktøy enn beslutninger på kort sikt. Når vi

Detaljer

Er det slik at få individer står for det meste av sykefraværet?

Er det slik at få individer står for det meste av sykefraværet? Er det slik at få individer står for det meste av sykefraværet? Av Søren Brage, Inger Cathrine Kann og Ola Thune 1 Sammendrag Det har lenge vært framholdt at rundt ti prosent av de sysselsatte står for

Detaljer

3.1 Mølla er grovt sett bygget opp av fem hoveddeler:

3.1 Mølla er grovt sett bygget opp av fem hoveddeler: 3 Teknikk For å få en forståelse av hvordan en vindmølle fungerer, hva reaktiv effekt er og hvorfor det må fasekompenseres må den grunnleggende teorien om møllenes komponenter være på plass. Tallene som

Detaljer

Kort introduksjon til begrepene arbeid, varme og energi (til læreren)

Kort introduksjon til begrepene arbeid, varme og energi (til læreren) Kort introduksjon til begrepene arbeid, varme og energi (til læreren) Short English summary This document is a short introduction to the concepts of work, heat, and energy. It starts with the industrial

Detaljer

Økt utvinning på eksisterende oljefelt. gjør Barentshavsutbygging overflødig

Økt utvinning på eksisterende oljefelt. gjør Barentshavsutbygging overflødig Rapport 3/2003 Petroleumsvirksomhet Økt utvinning på eksisterende oljefelt gjør Barentshavutbyggingen overflødig ISBN 82-7478-244-5 ISSN 0807-0946 Norges Naturvernforbund Boks 342 Sentrum, 0101 Oslo. Tlf.

Detaljer

Hva er det? Steg 1: Få flere ting til å vise seg på tavlen. Sjekkliste. Test prosjektet. Introduksjon

Hva er det? Steg 1: Få flere ting til å vise seg på tavlen. Sjekkliste. Test prosjektet. Introduksjon Hva er det? Introduksjon Et bilde av en tilfeldig ting vises på tavlen. Men bildet er forvrengt, slik at du må gjette hva det er ved å klikke på et av alternativene som vises under. Desto raskere du gjetter

Detaljer

Hvorfor er ikke hvitt en farge? Hvorfor blir speilbildet speilvendt? Hvor kommer fargene i regnbuen fra? Hvorfor er solnedgangen rød?

Hvorfor er ikke hvitt en farge? Hvorfor blir speilbildet speilvendt? Hvor kommer fargene i regnbuen fra? Hvorfor er solnedgangen rød? Hvorfor er ikke hvitt en farge? Hvorfor blir speilbildet speilvendt? Hvor kommer fargene i regnbuen fra? Hvorfor er solnedgangen rød? Er en tomat rød i mørket? Dette kapittelet kan gi deg svar på disse

Detaljer

På en grønn gren med opptrukket stige

På en grønn gren med opptrukket stige Helgekommentar Moss Avis, 10. desember 2011 På en grønn gren med opptrukket stige Av Trygve G. Nordby Tirsdag denne uken våknet jeg til klokkeradioen som fortalte at oppslutningen om norsk EU medlemskap

Detaljer

1. Hva er fotballferdighet?

1. Hva er fotballferdighet? 1. Hva er fotballferdighet? Hva er fotballferdighet? Fotballferdighet defineres som: Hensiktsmessige handlingsvalg og handlinger (utførelse) for å skape og utnytte spillsituasjoner til fordel for eget

Detaljer

Følsomme lusetellinger ved forslag til ny forskrift. Anders Løland

Følsomme lusetellinger ved forslag til ny forskrift. Anders Løland Følsomme lusetellinger ved forslag til ny forskrift Notatnr Forfatter SAMBA/01/12 Anders Løland Dato 11. januar 2012 Norsk Regnesentral Norsk Regnesentral (NR) er en privat, uavhengig stiftelse som utfører

Detaljer

Passord: slik lager du et som er godt

Passord: slik lager du et som er godt Passord: slik lager du et som er godt 5 gode råd for å lage gode passord: - Passordet bør inneholde minst 8 tegn - Du bør bruke både små og store bokstaver, tall og gjerne spesialtegn - Passordet bør ikke

Detaljer

Oppsummering om kretser med R, L og C FYS1120

Oppsummering om kretser med R, L og C FYS1120 Oppsummering om kretser med R, L og C FYS1120 Likestrømskretser med motstander Strøm og spenning er alltid i fase. Ohms lov: V = RI Effekt er gitt ved: P = VI = RI 2 = V 2 /R Kirchoffs lover: Summen av

Detaljer

Om virkninger av bruk av oljeinntekter på næringsstrukturen 1

Om virkninger av bruk av oljeinntekter på næringsstrukturen 1 Forelesningsnotat nr 10, mars 2010, Steinar Holden Om virkninger av bruk av oljeinntekter på næringsstrukturen 1 1 Innledning... 1 2 Kort om oljen i norsk økonomi... 1 3 Virkningene på næringsstrukturen...

Detaljer

9 MEKANISKE EGENSKAPER OG TESTING AV DEM (Testing of metals)

9 MEKANISKE EGENSKAPER OG TESTING AV DEM (Testing of metals) 9 MEKANISKE EGENSKAPER OG TESTING AV DEM (Testing of metals) 9.1 Materialegenskaper Vi kan dele materialegenskaper inn i grupper som: Mekaniske egenskaper som er utrykk for materialers reaksjon på ytre

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer