dp ρ L D dp ρ v V Både? og v endres nedover et rør, men produktet er konstant. (Husk? = 1/V). Innsatt og med deling på V 2 gir dette:

Transkript

1 SIK005 Strømning og transportprosesser Kompressibel strømning Rørstrømning Både i forbindelse med vår naturgassproduksjon på kontinentalsokkelen og i miljøsammenheng er strømningsberegninger på gass av stor betydning. et er derfor ønskelig å utvide emnet noe i forhold til det som er angitt i eankoplis. Basis for kompressibel strømning er som for det inkompressible tilfellet, bevegelsesligningene, eller for endimensjonal strømning, energiligningen. Antas det turbulent strømning med α, kan denne på differensiell form skrives v dv+ g dz + + δ W s+ δf 0 ρ La oss nå konsentrere oss om rørstrømning hvor arbeid ikke utføres og hvor høydedifferanser blir av underordnet betydning. ette siste er ofte tilfelle for gasstrømning på grunn av lav tetthet. Altså med g dz 0, dw s 0 og med δf 4 f v δl får vi: v dv f ρ v δ L 0 enne ligningen kan ikke integreres direkte da både v og P vil variere med L. Imidlertid kan vi introdusere massestrømmen pr. m rørtverrsnitt. enne vil være konstant så lenge tversnittet er konstant. massestrøm v rørtverrsnitt v ρ eller v Både? og v endres nedover et rør, men produktet er konstant. (Husk? /). Innsatt og med deling på gir dette: d 4 f + + δ L 0 (. 5) Nå har vi fått fjernet den variable koeffisienten foran dl og det eneste som står igjen er å finne en relasjon mellom P og. (I parantes: f er også konstant da Re /µ konst.)

2 Integrerer mellom posisjonene og ln + + f L 0 Integral-leddet vil variere etter hva slags tilstandsendring man har. Isoterm strøm av ideell gass P RT P RT ρ innsatt og integrert + P P RT ln L ( - ) + f 0 Og da p konstant, siden T er konstant: L ln P + P P P RT ( - ) + f 0 (. 8 i eankoplis) Eksempel Pumping av gass i rørledning på havbunnen er ofte tilnærmet isoterm idet varmetapet til sjøvannet gjør at gassen snart stiller seg inn på sjøvannets temperatur. Beregn trykkfallet i en rørledning på 0 km, med I 0.6 m som frakter 50 m 3 /s av metan (regnet ved 88 K og 00 kpa). Transporten antas isoterm ved 6 C og starttrykket er 3000 kpa. Anta ideell gass. CH4 6 og µ 0,0 0-3 kg/m s, e/ assestrøm av metan 50 ρ P 50 Arør RT A π rør 8. kg/ m s Re µ 0.00

3 ed e/ 0.00 er f L (8. ) f 4 kg / m s Får da: P ln + P RT ( P - P) I utgangspunktet fordrer dette prøve/feile løsning, eventuelt løsning i feks atlab. Som vi har vært inne på for inkompressibel strømning så kan ofte det kinetiske leddet neglisjeres ( ln(p /P ) 0). ette kan også være tilfelle for gass-strømning om ikke hastighetene er for høye. Får da: RT - P (.8 ) 6 P ( 3 ) -( / 6) 887 kpa P 0 å så se om vår antakelse om neglisjerbar kinetisk energi stemmer: P ln P Faktisk er trykktapet så lite at en inkompressibel beregning ville ha vært tilstrekkelig. (Bruk da midlere tetthet.) 6 Kritisk trykkfall. Når trykkfallet i et rørstrekk eller over en innsnevring blir høyt, kan gassens hastighet nå lydhastigheten(sonisk hastighet). i snakker da om kritisk eller strupet strømning. Isotermt. P λ ln + P P P RT L ( - ) + 0 La oss se hva som skjer med strømningsraten når trykkfallet øker, dvs når P minker. Når P P blir 0. ette er innlysende og trivielt. Imidlertid er grenseverdien for når P 0 også 0 (løs ligningen mhp. og bruk L'Hospitals regel).

4 Siden vi ved alle andre P har en som ikke er 0 så må et maksimum eksistere mellom P P og P 0. eler ligningen på og deriverer mhp. P. Legg merke til at friksjonsleddet faller bort. Altså er det trykkfallet som bestemmer om man får kritisk strømning, og den maksimale strømningen er uavhengige av friksjonen i ledningen: - + P RT ( P )+ RT d -3 ( - )(-) 0 P P aksimum finnes for d/ 0 (merkede verdier for maksimum) P P RT P RT Her er P det trykket som gir maksimal strømning. Nå er RT P P (isotermt) P og hastigheten blir: v ρ v ' v v P ette er den maksimale strømningshastigheten som kan oppnås ved isoterm drift. en kalles ofte "isoterm lydhastighet" selv om den ikke eksakt er lik lydhastigheten under de gitte forhold. Trykket P ' kan finnes ved å sette inn for ( P '/ ') i energiligningen øverst og løse for P '. Hvis P < P ' kalles trykkfallet overkritisk og strømningshastigheten gis av hastigheten v ' uansett verdien på P.

5 Isentropisk strømning Isentropisk strømning vil si adiabatisk friksjonsfri strømning. an kan tro at dette er et skjeldent forekommende tilfelle, men ofte er friksjonen i gass-strømmer relativt liten og man kan starte med en isentropisk tilnærming og deretter innføre korreksjonsfaktorer; noe vi skal se på senere. I det ideelle tilfellet at strømningen er adiabatisk og reversibel har vi: P konst. Her er Cp/Cv. Integrerer vi / får vi: + P P - + P samtidig som P P Innsatt i energiligningen gir dette: + P P P + ln - + f P + P L 0 Skal isentropisk strømning realiseres må friksjonsleddet være lik 0. På samme måte som for isoterm strømning kan dette vises å gi en maksimal hastighet v P Her er P og henholdsvis det trykk og det spesifikke volum som gir kritisk(sonisk ) hastighet, og derved maksimal massestrøm. enne hastigheten tilsvarer lydhastigheten under de gitte forhold (P, ). i har altså sonisk strømning. Adiabatisk strømning For adiabatisk strømning hvor vi også har friksjon kan man få et tilnærmet riktig svar ved å bruke

6 ligningene for isentropisk strømning med? som angitt, og så inkludere friksjonsleddet. an bør ellers bruke P k konst. hvor < k <?, som kalles polytropisk endring. Imidlertid er k normalt ikke kjent. En alternativ måte å løse problemet på er gitt i Coulson & Richardson, vol, men tas ikke med her. Lydhastigheten Lydhastigheten er forplantningshastigheten til en trykkfront av infinitesimal styrke. ette vil si at endringen over trykkfronten er tilnærmet reversibel. Alle gassens egenskaper vil endre seg over denne trykkfronten T + dt T v + dv dv v 0 + d P + P front La oss tenke oss et lite kontrollvolum lagt rundt denne fronten og at vårt aksesystem beveger seg med frontens hastighet. La nå samtidig fronten bevege seg inn i et stillestående fluid. a blir bildet: T + dt Kontrollvolum T v c dv v c + d P + P front åre balanseligninger må gjelde Kontinuitet: c c - dv + d () Impuls: Ac P A - (P + ) A (c - dv c) () generert ut - inn Impulsbalansen gir: cdv (3)

7 Eliminerer dv mellom impuls og massebalanse: c - (4) d Nå er forplantningshastigheten av en trykkbølge relatert til et fluids elastisitetsmodul e endring i spenning i fluidet resulterende relativevolumendring d - (4) og (5) gir: e - (5) d eller e c d - (6) c e (7) Settes? / og benyttes /d (d?/d) (/d?) fås: c er altså her lydhastigheten. c - d dρ (8) enne utledningen gjelder bare for infinitesimale, altså for isentropiske forhold slik at den korrekte ligning blir: P c s ρ For normale trykkfronter vil vi alltid ha irreversibiliteter slik at? S 0 over fronten. Strømning i varierende tverrsnitt i skal nå se på hvordan et kompressibelt medium oppfører seg i rør med varierende tverrsnitt, f.eks. dyser. Bruker da kontinuitetsligningen generelt eller vi kan derivere den: ρ v A konst. eler på ρ v A v A dρ + ρ A dv + ρ v da 0

8 da dv dρ A v ρ (9) og bruker denne sammen med energiligningen for isentropisk strømning + vdv0 ρ (neglisjerer gdz) eliminerer og d? fra (8), (9) og (0) og innfører a machtallet v/c dv da () v A a - ette er en ligning som viser hvordan hastigheten endrer seg i et rør når tverrsnittet forandres. Når a<, dvs for underlydshastigheter(subsoniske forhold), vil nevneren på høyre side være negativ og gasshastigheten vil øke med minkende tverrsnitt. ette er intuitivt riktig. Er imidlertid a> så vil nevneren på høyre side bli positiv og vi ser da at hastigheten øker når tverrsnittet øker. a < synkende A gir økende v a > økende A gir økende v Og for i det hele tatt å oppnå supersoniske hastigheter, overlydshastigheter, så må vi ha kritisk strømning et eller annet sted. Fra dette punktet må tverrsnittet ekspandere. Ser på isentropisk strømning i dysen gitt i figuren. (0) Setter opp energiligningen (0), og integrerer mellom snitt og. Tar ikke med friksjonsleddet til å begynne med. yser er i utgangspunktet utformet for å ha minimal friksjon og vi justerer for friksjon til slutt med en konstant. v v Antas nå at v << v og integreres under isentropiske forhold, fås v P - ( P - - P -)

9 og nødvendig tverrsnitt A kan finnes fra kontinuitetsligningen (kg/s) konst. A v Hvis trykket P 3 er lavt nok, vil P innta en minimumsverdi som korresponderer med sonisk strømning i trangeste tverrsnitt. For en gitt ' vil det til ethvert trykkforhold, P /P svare et nødvendig trangeste tverrsnitt. Hva skjer nå med A når trykkforholdet synker? - P ( ) P A ( - P P ( - ) P -) ( - ) w ( P - w - -) eriverer A mhp. trykkforholdet w P /P og setter da /dw 0. Finner da et ekstremalpunkt i wc w ( +) ette er et minimum og A går altså gjennom et minimum når w synker. ette tilsvarer å finne maksimum ' når A er gitt og w synker. Trykkforholdet som gir denne maksimale strømning kalles det kritiske trykkforholdet, w c. aksimal strømning finnes ved tilbakesubstitusjon i ligning (4) og den tilsvarende hastighet v c blir som vi har sett tidligere er dette lydhastigheten. vc P Altså har gjennomstrømningen ' et maksimum også for dyser, svarende til sonisk hastighet i trangeste tverrsnitt. Hastigheten vil derimot kunne stige videre inn i det supersoniske området som vi har sett. Ekspansjonen videre i en divergerende del av dysen er også tilnærmet isentropisk. Isentropisk ekspansjon gjennom en dyse med både konvergerende og divergerende del kan da beskrives som: -

10 Fra Coulson & Richardson; Chemical Eng., ol.. Hva skjer nå om nedstrømstrykket P B ligger mellom P E og P E3? a er P B for høyt til å kunne gi en fullstendig isentropisk ekspansjon i den supersoniske delen og et trykksprang vil oppstå. Et slikt trykksprang kalles et sjokk eller en sjokkbølge.

11 enne sjokkbølgen har en hastighet lik gasshastigheten i posisjon z, men motsatt rettet. Fronten vil altså stå i ro i forhold til dysen. Både på opp- og nedstrøms-siden av sjokkbølgen kan man regne isentropisk tilstandsendring. Over sjokket er det irreversibiliteter slik at S nedstr. > Soppstr. Trykkendringen vil også føre en overgang fra supersonisk til subsonisk strømning. En annen mulighet er at strømmen i den divergerende delen beholder sin supersoniske karakter, men "løsner" fra veggene. en blir da til et jetstrøm.