1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene

Transkript

1 T kapittel Tall og algera Løsninger til innlæringsoppgavene. a 8 + ( ) 8 ( ) +. a Temperaturen er C. Så reuseres en me C. Da lir temperaturen C C 8 C Temperaturen er C. Så reuseres en me x. Da lir temperaturen C x C x C ( C) C+ C 8 C Temperaturen har falt me 8 C.. a ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ). a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). a 8 ( ) ( ) ( ). a ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) 7 Ashehoug Sie av

2 .7 a ( ) ( ) 8 8 ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ).8 a 8 8 ( 8 ) ( ) 8 + ( ) a : : (+ ) ( 7) ( ) 9 ( ) 8+ 9 ( 8) + 9 ( ) a + 9 : : ( ) ( ) 9 97 ( ) 8 : (7 + 89) Ashehoug Sie av

3 . a e. a 7 7 : :,,,,, :, : : 7 : : : De som ønsket seg færre prøver og e som mente et var passelig, utgjør til sammen av elevene ve skolen. Resten ønsket seg flere prøver, og e utgjør 7 av elevene ve skolen.. a : 7 : Ashehoug Sie av

4 . a : : :. a En treel av er 7 Det er 7 jenter i klassen..7 a Det er 7 gutter i klassen. Anelen gutter er erfor : 7 : 7 Det er gutter i klassen, og elever totalt. To sjueler av guttene var orte, et vil si 8 gutter. Anelen elever som var orte, er erfor Alternativt kan vi eregne to sjueler av gutteanelen irekte: Ashehoug Sie av

5 .8 a 9 7 Én million Hunre millioner 8.9 a : :,,,. a,, 9,, 8 Én tusenel,,. a : :, :, : 9 ( 9) + 9 :, : ( ) + 7. Elektronet flytter seg strekningen s m på tien t, s. Gjennomsnittsfarten er a s m m ( ) m/s + m/s 7 v m/s t, s s. a ,,,,,,,, 8 Ashehoug Sie av

6 . a 9,8,8 8,99,99,, 99,,,,. a +,, ( ) 9,, 8 8 7, 7, 7, 7 7,, 7 + ( ),, :,,. a,,,,8,9 8,, 7,8,,8 Ashehoug Sie av

7 .7 a e f km m m,7 km,7 m 7 m mm m m mm m, m 9 nm m m 9 nm m, m.8 a W W MW W W MW, MW 9 7 GW 7 W 7 W 7 MW 7 MW,8 kw,8 W,8 W,8 MW, 8 MW.9 a Faktorene i a er, a og. Faktorene i a er, a, og. (Prouktet inneholer altså to like faktorer.) Faktorene i 7( a+ )( ) er 7, a + og. a+ har le, nemlig a og. + a har le, nemlig, a og. 7( a+ ) +( ) har le, nemlig 7(a + ) og ( ). (Men hvert av leene inneholer en sum som også har to le.). a a+ + ( ) 8 a + + ( ) + 9 a ( ) ( + ) + ( ) ( ) a a + ( ) a a+ a+ a a 7a+ a a+ a 7a a+ a + a a+ a + ( a) + a a ( a) + a 7 + a. a (a+ ) a+ a+ 9 (a+ ) 9 ( a+ ) 9 (a+ ) 9 a a ( a) + (8a ) a+ (8a ) a+ a 8 + a a a a a a a a a a a a ( )( ) Ashehoug Sie 7 av

8 . a 8a+ a a 8a a a ( a+ ) + (a ) a+ + a 7a ( a+ ) (a ) a a a + a a a+ a a a. a x 9 x x x 9 x 9 Prøve: VS x HS x 9 7 x x+ 8 x x 8+ x x x Prøve: VS x 8 HS x + 8 ( ) x + x + x x x 8 Prøve: VS HS x + ( 8) + +, x+,8 9x,, x 9x,,8, x,, x,,, x,8 Prøve: VS, x +,8, (,8) +,8, +,8 9, HS 9x, 9 (,8),,, 9, Ashehoug Sie 8 av

9 . a ( + x) x + x x x+ x x x x ( x ) x (x+ 8) x + x x 8 x x 8 x+ x 8 x x x 7, x (,8x,8),, x,8 x+,8,,x,,8,x,,x,,, x,7 7x + ( x ) x 7x + x x 9x x 9x x + x x x x. a x x Ashehoug Sie 9 av

10 x + x x + x x + x x x x x x 8 x 7 x x 7 x x x 7 x x 7 + x x x Me igitalt verktøy: x x x x x x x x 7 x x x Me igitalt verktøy:.7 a x x x Ashehoug Sie av

11 x x x 7 89 x x 7 x x x 7 x x x ( x ) x x x x x x.8 a Ti ganger så stort som x: x Tre minre enn x: x x Tre minre enn halvparten av x:.9 a x + : Én mer enn x x : En treel av x ( x ) : Tre ganger så mye som fire minre enn x. a Siri er tre år elre enn Anne. Altså er Siri x + år. Trygve er oelt så gammel som Anne. Altså er Trygve x år. Til sammen er Anne, Siri og Trygve år. Det gir oss likningen x+ ( x+ ) + x x+ x+ x x x Derme er x + + 8, og x. Anne er år, Siri er 8 år, og Trygve er år. Ashehoug Sie av

12 . Vi lar x være antall ukser. Det etyr at Suzanne har x topper, og x + gensere. Til sammen er et 8 topper, ukser og gensere. Det gir oss likningen x+ x+ ( x+ ) 8 x+ x+ x 8 x 7 x Derme er x, og x + +. Suzanne har ukser, topper og gensere.. a Vi har fått vite at s m og t 8, s. Vi setter inn i formel (): s m v 7, m/s t 8, s Gjennomsnittsfarten er 7, m/s. Vi har fått vite at x. Vi setter inn i formel (): y,8 x+, Kokepunktet er F. Vi har fått vite at g m og h m. Vi setter inn i formel (): gh m m A m Arealet av trekanten er m. Vi har fått vite at m 7 og h,77. Vi setter inn i formel (): m 7 I,9 h, 77 Håvar har en kroppsmasseineks på,9.. a Gjennomsnittsfarten er v km/h og tien er s v t s km/h, h s, h km/h km Liv har syklet km. Vi setter y inn i formel (): y, 8x+,8 x +,8x, 8x 8 8 x 7,8, 8 Temperaturen er 7, 8 C. t, h. Vi setter inn i formel (): Ashehoug Sie av

13 Vi setter A m og g m inn i formel (): gh A m h m m h m m h m m Høyen i trekanten er m. Vi setter I, og h, 7 inn i formel (): m I h, m, 7 m,,7 7,87 Martin veier a. 77 kg.. a Vi starter me formelen s v t og vil finne en formel for strekningen s. s vt t t s vt Vi starter me formelen gh A og vil finne en formel for høyen h. gh A A gh A gh g g A h g Vi starter me formelen y,8x+ og vil finne en formel for antall elsiusgraer x.,8x y, 8x y, 8,8 y x,8 Ashehoug Sie av

14 . a Gh V Gh V V Gh V Gh G G V h G Vi setter V m og G 8, m inn i formelen for h. V m h, m G 8, m Gelépakken var, m høy.. a e f 7 er en røk me hele tall i teller og nevner. Altså er 7, er et rasjonalt tall, for vi kan skrive et som et rasjonalt tall.,. er et irrasjonalt tall. Vi kan ikke skrive et som en røk me hele tall i teller og nevner. π er et irrasjonalt tall. Vi kan ikke skrive et som en røk me hele tall i teller og nevner. er et rasjonalt tall, for vi kan skrive et som. 9,, 9 er et rasjonalt tall, for vi kan skrive et som..7 a 9 [,9], [, ],,, e [, f π,9 Ashehoug Sie av

15 .8 a Tallene fra til 8 skriver vi,8. Tallene fra til og me 8 skriver vi,8 ]. Tallene fra og me til og me 8 skriver vi [,8 ]. Tallene som er større enn, skriver vi,. e Tallene som er minre enn eller lik 8, skriver vi,8]..9 a [,] etyr tallene fra og me til og me. [, etyr tallene fra og me til., etyr tallene som er minre enn.. a x [ a, ] Her er x større enn eller lik a og samtiig minre enn eller lik. Intervallet uttrykker altså et samme som ulikhet 8: a x. x a, Her er x større enn a og samtiig minre enn. Intervallet uttrykker altså et samme som ulikhet : a< x<. x [ a, Her er x større enn eller lik a og samtiig minre enn. Intervallet uttrykker altså et samme som ulikhet : a x<. x a, ] Her er x større enn a og samtiig minre enn eller lik. Intervallet uttrykker altså et samme som ulikhet : a< x. e x [ a, Her er x større enn eller lik a. Intervallet uttrykker altså et samme som ulikhet : f x a, x a. Her er x større enn a. Intervallet uttrykker altså et samme som ulikhet 7: x > a. g x, ] Her er x minre enn eller lik. Intervallet uttrykker altså et samme som ulikhet : x. Ashehoug Sie av

16 h x, Her er x minre enn. Intervallet uttrykker altså et samme som ulikhet : x <. Løsninger til innlæringsoppgavene. a. a : x y x x y x x x y y x y x y x x x x x x + + x x x x x ( x y) x y (8 ) 8 x x x ( ) xy x y x y ( ) ( ) xy x x y x x x y x y x y. a x x y y 7 x ( x) x x ( ) 7 x x x x y ( y) y 8y. a ( ) 8 x x x ( ) ( ) ( ) x x x x ( ) ( y ) ( y ) x x x x x y 8 y 8y. a ( ) + : ( ) + 8 ( ) ( ) ( ) x x x x ( x) 9 ( x) x x Ashehoug Sie av

17 . a ( 8xy ) x ( x ) y x y x ( 8xy ) 8 x ( y ) x x x x x ( x ) ( x ) ( ) ( ) x xy x x y x x y x y xy xy xy x x y ( x ) ( ) ( y ) x y (8 ) 8 x x 8 x 8 x x x y x y x y 8 y y 8 x x.7 a 8, fori 8. 8, fori ( ) 8.,8, fori. e 7,7 f 8, fori 8..8 a a a a a a a a a + ( ) a y y y y y y y y x 9 x ± 9 x ± 7 x 8 7 x 8 x Ashehoug Sie 7 av

18 x x x 8 x ± 8 x ±,, x +, 78, 9,, x 78, 9,, 7, x, x 7,,, x,. a Vi lar sielengen i tanken være x m. Volumet er m. Det gir likningen x x x,9 Siene i tanken er,9 m. Sielengen i terningen er x m. Volumet av én terning er a x m, og et samlee volumet av seks terninger er 8, m. Det gir likningen x 8, 8, x x 8, x, Siene i en yatzy-terning er, m.. a 8x x+ a 8, og x+ x x + x a, og x + x x x + x x x + x a, og x x x + x a, og Ashehoug Sie 8 av

19 . a. a. a x + x+ Her er a, og. Vi setter inn i a-formelen, og får ± ± ± ± x + x eller x x eller x x eller x Vi setter prøve: x : VS ( ) + ( ) HS x : VS ( ) + ( ) + + HS VS HS for x og for x. Likningen har altså e to løsningene x og x. x x Her er a, og. Vi setter inn i a-formelen, og får ( ) ± ( ) ( ) ± + ± ± x ± x eller x + x eller x Vi setter prøve: x : VS ( ) ( ) 8 + HS x : VS HS VS HS for x og for x. Likningen har altså e to løsningene x og x. x + x+ Her er a, og. Vi setter inn i a-formelen, og får ± ± ± ± x Likningen har løsningen x. x + x+ Her er a, og. Vi setter inn i a-formelen, og får ± ± 8 ± x Vi får et negativt tall uner rottegnet. Det etyr at et ikke fins noe reelt tall som passer for x i enne anregraslikningen. Likningen har ingen løsning. x + x Her er a, og. Vi setter inn i a-formelen, og får ± ( ) ± + ± 8 x x eller x x, eller x, Ashehoug Sie 9 av

20 x x x + x Her er a, og. Vi setter inn i a-formelen, og får Løsninger til innlæringsoppgavene ± ( ) ( ) ± ± 8 x ( ) Vi får et negativt tall uner rottegnet, som etyr at likningen ikke har noen løsning. x + x Her er a, og. Vi setter inn i a-formelen, og får ± ± ± x + x eller x x eller x x eller x + x( x+ ) + x + x + x + x x + x x+ x + x Her er a, og. Vi setter inn i a-formelen, og får ± ( ) ± 9+ ± ± x + x eller x 8 x eller x x eller x. a x +,x, Likningen har løsningene x,7 og x,. + x x Likningen har løsningene x og x,. ( x x+ ) Likningen har ingen løsninger lant e reelle tallene. Ashehoug Sie av

21 x Likningen har løsningene x, og x,.. Vi lar en lengste sien være x m. Den korteste sien er a ( x ) m. Arealet av rektanglet er m x ( x ). Det gir likningen x x Dette er en anregraslikning er a, og. Vi setter inn i aformelen, og får ( ) ± ( ) ) ( ± x x eller x Lengen av en sie kan ikke være negativ, så vi forkaster løsningen x. Den lengste sien er altså m, og en korteste sien er ( ) m m..7 a Vi setter x inn i formelen K,x + x+ : K, Det koster 8 kr å prousere maskineler per uke. Totalkostnaen skal være kr. Det gir likningen,x + x+,x + x Dette er en anregraslikning er a,, og. Vi setter inn i aformelen, og får ±, ( x ), ± 7, x 7 eller x 8 Antallet maskineler kan ikke være negativt, så vi forkaster løsningen x 7. Vi kan prousere 8 maskineler per uke for kr..8 a Når steinen er 8 m over akken, er h 8. Det gir anregraslikningen 8 t t + t + t 7 Vi løser likningen ve å ruke a-formelen eller igitalt verktøy. Det gir løsningene t, og t,. Steinen er 8 m over akken etter, sekuner og etter, sekuner. Når steinen er, m over akken, er h,. Det gir anregraslikningen, t t + t + t, Vi løser likningen ve å ruke a-formelen eller igitalt verktøy. Det gir løsningen t,. Steinen er, m over akken etter, sekuner. Ashehoug Sie av

22 Når steinen er m over akken, er h. Det gir anregraslikningen t t + t + t Vi ruker a-formelen eller et igitalt verktøy, og finner a at likningen ikke har noen løsninger. Steinen når alri så høyt som m over akken. Når steinen treffer akken, er h. Det gir anregraslikningen t + t+ Vi løser likningen ve å ruke a-formelen eller igitalt verktøy. Det gir løsningene t, og t,. Steinen lir kastet ve tien t, så vi forkaster en negative løsningen t,. Det tar altså, sekuner før steinen treffer akken. Ashehoug Sie av