4. Viktige kvantemekaniske teoremer

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "4. Viktige kvantemekaniske teoremer"

Transkript

1 FY1006/TFY4215 Tillegg 4 1 TILLEGG 4 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Før vi i neste kapittel går løs på treimensjonale potensialer, skal vi i kapittel 4 i ette kurset gå gjennom noen viktige kvantemekaniske teoremer. Dette kapitlet ekkes av avsnittene i Hemmers bok, sammen me ette tillegget. Innholet er 4.1 Kompatible observable, simultane egenfunksjoner og kommuterene operatorer [Hemmer 4.1] 4.2 Paritet [Hemmer 4.2] 4.3 Tisutvikling av forventningsverier [Hemmer 4.3] 4.4 Ehrenfests teorem [Hemmer 4.4] 4.1 Kompatible observable, simultane egenfunksjoner og kommuterene operatorer I en tilstan hvor en observabel F er skarp, har vi sett at systemets bølgefunksjon må være en egenfunksjon til en tilhørene operatoren F. Når to observable for et system kan ha skarpe verier samtiig, sier vi at e to observablene er kompatible. Ser vi f.eks på en fri partikkel me masse m, så er impulsen og en kinetiske energien kompatible observable: I tilstanen ψ p (x) = (2π h) 1/2 e ipx/ h er båe impulsen p x og en kinetiske energien K x = p 2 x/2m skarpe, me veriene p og p 2 /2m: p x ψ p = p ψ p, K x ψ p = p2 2m ψ p. ( K x = p2 x 2m = h2 2m Vi sier a at ψ p (x) er en simultan egenfunksjon til e to operatorene; en er samtiig en egenfunksjon til båe p x og K x. For at ette skal være mulig, må e to operatorene kommutere; [ p x, K x ] = 0. Det er selvsagt lett å kontrollere en siste relasjonen irekte, men et er mer interessant å vise at en faktisk følger som en konsekvens av at e to obsevablene er kompatible, som vi nå skal vise: Anta at observablene F og G er kompatible, vs at et finnes et fullstenig sett av fysiske tilstaner er F og G er skarpe samtiig. Disse fysiske tilstanene er beskrevet av et bølgefunksjonssett n som a må være simultane egenfunksjoner til e tilhørene operatorene F og Ĝ: F n = f n n, Ĝ n = g n n. (T4.1) Det er a lett å vise følgene regel: A. For at observablene F og G skal være kompatible, vs for at et skal eksistere et simultant egenfunksjonssett til operatorene F og Ĝ, må isse kommutere; (T4.2) [ F, Ĝ] = 0. 2 x 2 )

2 FY1006/TFY4215 Tillegg 4 2 Den motsatte regelen gjeler også: B. Dersom operatorene F og egenfunksjonssett. Ĝ kommuterer, kan en finne et simultant (T4.3) Fra regel A følger et irekte at C. Dersom operatorene F og Ĝ ikke kommuterer, vs ersom [ F, Ĝ] 0, eksisterer et ikke et felles egenfunksjonssett til e to operatorene. De tilhørene observablene kan a ikke ha skarpe verier samtiig, vs e er ikke kompatible. (T4.4) Bevis av regel A: Når e to observablene F og G er kompatible, har vi som nevnt et simultant egenfunksjonssett (T4.1). Ve hjelp av isse egenveriligningene har vi a ( F Ĝ Ĝ F ) n = (f n g n g n f n ) n = 0 (for alle n). Sien operatorene er hermiteske, er settet n fullstenig. Da har vi for en vilkårlig funksjon = n c n n : ( F Ĝ Ĝ F ) = c n ( F Ĝ Ĝ F ) n = 0. n Derme har vi vist følgene operator-ientitet: F Ĝ Ĝ F [ F, Ĝ] = 0, q.e.. Bevis av regel B: La n være en av egenfunksjonene til operatoren F, me egenverien f: F n = f n. Sien e to operatorene F og Ĝ forutsettes å kommutere, har vi a F (Ĝ n) = Ĝ F n = f(ĝ n). Denne ligningen forteller at funksjonen Ĝ n, i likhet me funksjonen n, er en egenfunksjon til operatoren F me egenverien f. I resten av ette beviset må vi skille mellom to muligheter: (i) Den ene muligheten er at egenverien f til operatoren F er ikke-egenerert, slik at et eksisterer bare én egenfunksjon me enne egenverien. I så fall kan funksjonen Ĝ n bare atskille seg fra funksjonen n me en konstant faktor g: Ĝ n = g n. Denne ligningen uttrykker at n er en egenfunksjon også til Ĝ, og et var et vi skulle vise. (ii) Den anre muligheten er at egenverien f er egenerert, slik at et finnes flere egenfunksjoner til F me enne egenverien. Beviset av regel B er a mer komplisert, som u kan se i avsnitt 4.1 hos Hemmer.

3 FY1006/TFY4215 Tillegg 4 3 Eksempel 1 Impulsoperatorene p x, p y og p z kommuterer innbyres, og a skal et ifølge regel B eksistere et simultant egenfunksjonssett. Dette er impulsbølgefunksjonene ψ px (x)ψ py (y)ψ pz (z) = (2π h) 1/2 e ipxx/ h (2π h) 1/2 e ipyy/ h (2π h) 1/2 e ipzz/ h = (2π h) 3/2 e ip r/ h. I en slik tilstan er alle e tre komponentene av impulsvektoren p skarpe; komponentene er kompatible. Eksempel 2 Operatorene x = x (multiplikasjon me x) og p y = ( h/i) / y kommuterer. Det simultane egenfunksjonssettet er ψ x (x)ψ py (y) = δ(x x )(2π h) 1/2 e ipyy/ h ( < x < ; < p y < ). Eksempel 3 Fra en sentrale kommutatoren [x, p x ] = i h og regel C følger et at observablene x og p x ikke kan ha skarpe verier samtiig; e er ikke kompatible. Det er ette som også kommer til uttrykk i Heisenbergs uskarphetsrelasjon, x p x 1 2 h. (T4.5) Eksempel 4 Vi har tiligere sett at e kartesiske komponentene av reieimpulsoperatoren L = r p ikke kommuterer; e oppfyller en såkalte reieimpulsalgebraen, som utgjøres av kommutatorrelasjonen [ L x, L y ] = i h L z, (T4.6) og to tilsvarene relasjoner som finnes fra enne ve syklisk ombytte av ineksene. Dette betyr at komponentene av observabelen L ikke er kompatible. Konsekvensen er at selv om størrelsen L av reieimpulsen har en skarp veri, så kan ikke komponentene være skarpe samtiig. Derfor kan ikke retningen til L være skarpt efinert, ifølge kvantemekanisk teori. Vi har også sett at hver av e kartesiske komponentene L x osv kommuterer me kvaratet L 2 av reieimpulsoperatoren, [ L 2, L x ] = [ L 2, L y ] = [ L 2, L z ] = 0. (T4.7) Ifølge reglene ovenfor betyr ette at L 2 er kompatibel me f.eks L z. Det går altså an å finne simultane egenfunksjoner til isse to operatorene, som vi skal se i neste kapittel. 4.2 Paritet I avsnittene og innfører Hemmer paritetsoperatoren P og begrepet paritet. Dette er enkle og velige nyttige hjelpemiler i kvantemekanikk.

4 FY1006/TFY4215 Tillegg 4 4 Paritetsoperatoren og ens egenverier: Når paritetsoperatoren P virker på en funksjon ψ(r), er virkningen pr efinisjon: Pψ(r) = ψ( r). Paritetsoperatoren svarer altså til refleksjon me hensyn på origo, som vi også kaller rominversjon. Vi har tiligere sett eksempler på bølgefunksjoner som er symmetriske eller antisymmetriske me hensyn på origo, bl.a for en harmoniske oscillatoren; ψ( x) = ±ψ(x). Slike eksempler finnes også i tre imensjoner: ψ( r) = ±ψ(r). For en slik funksjon er Pψ(r) = ψ( r) = ±ψ(r). En funksjon som er symmetrisk (antisymmetrisk) me hensyn på rominversjon er altså en egenfunksjon til paritetsoperatoren me egenveri (paritet) +1 ( 1). Det viser seg at egenveriene ±1 er e eneste mulige, vs utgjør hele spektret til paritetsoperatoren. Bevis: La ψ være en egenfunksjon til P me egenverien p, Pψ(r) = pψ(r). Da er P 2 ψ(r) = P( Pψ(r)) = p Pψ(r) = p 2 ψ(r). Nå er et jo slik at operatoren P 2 svarer til to rominversjoner; vi har at Vi har altså at P 2 ψ(r) = Pψ( r) = ψ(r). ψ(r) = p 2 ψ(r), vs p 2 = 1. De to eneste mulige egenveriene til P er erfor { +1 (like paritet) p = 1 (oe paritet). Etter å ha lest gjennom isse avsnittene kan u merke eg at når potensialet V (r) og erme Hamilton-operatoren er refleksjonsinvariant, så kommuterer paritetsoperatoren me Hamilton-operatoren: V ( r) = V (r) = PĤ(r) = Ĥ( r) = Ĥ(r) = [ P, Ĥ] = 0. Bevis: For en vilkårlig funksjon ψ(r) har vi [ P, Ĥ(r)]ψ(r) = PĤ(r)ψ(r) Ĥ(r) Pψ(r) = Ĥ( r)ψ( r) Ĥ(r)ψ( r) = 0, q.e.. Ifølge regel B ovenfor er et a mulig å finne simultane egentilstaner til P og Ĥ, vs energiegenfunksjoner ψ E (r) som har velefinert paritet (symmetriske eller antisymmetriske): I trå me beviset av regel B har vi Ĥ( Pψ E ) = PĤψ E = E( Pψ E ). Pψ E er altså i likhet me ψ E en energiegenfunksjon me energi E: (i) Er enne energien ikke-egenerert, må Pψ E være proporsjonal me ψ E, Pψ E = pψ E. Her er p enten +1 eller 1, sien ette er e eneste mulige egenveriene til P. For en ikkeegenererte energien E har altså energiegenfunksjonen ψ E nøvenigvis velefinert paritet; en er enten symmetrisk eller antisymmetrisk.

5 FY1006/TFY4215 Tillegg 4 5 (ii) Er energinivået E egenerert, me flere energiegenfunksjoner ψ Ei (i = 1,, g), trenger ikke isse å ha velefinert paritet, men regel B forteller at e kan lineærkombineres til paritetsegentilstaner. For å huske innholet i enne røftingen er et nok å tenke på et par velkjente eksempler: (1) Den harmoniske oscillatoren har ikke-egenererte energinivåer, og energiegenfunksjonene har ganske riktig velefinert paritet. (2) Den frie partikkelen. I ette tilfellet kan vi velge å arbeie me symmetriske eller antisymmetriske løsninger (cos kx og sin kx), men vi kan også bruke asymmetriske løsninger (e ±ikx ). Et treje eksempel er en enelige brønnen { 0 for x < l, V (x) = V 0 for x > l. For 0 < E < V 0 er energinivåene iskrete og ikke-egenererte, og energiegenfunksjonene har velefinert paritet. For E > V 0 har vi to løsninger me samme energi. Her går et ifølge regel B an å finne én symmetrisk og én antisymmetrisk løsning for hver E, men et er mye mer interessant å jobbe me asymmetriske løsninger av typen Ae ikx + Be ikx for x < l, ψ E (x) = De iqx + F e iqx for l < x < l, (T4.8) Ce ikx for x > l. Dette kalles en spreningsløsning, fori en inneholer en innkommene og en reflektert bølge til venstre for brønnen og en transmittert bølge til høyre for brønnen. (Det kan vises at sannsynligheten for transmisjon er T = C/A 2 ; se avsnitt 3.6 i Hemmer, og avsnitt 4.6 i B&J.) 4.3 Tisutviklingen av forventningsverier Tisutviklingen av en tilstan (r, t) bestemmes av Schröingerligningen, og et samme gjeler a selvsagt også alle forventningsverier av observable, F = F τ F. Som vist i avsnitt 4.3 i Hemmer, kan visse trekk ve tisutviklingen av slike forventningsverier klarlegges uten at vi behøver å løse Schröingerligningen eksplisitt. Dette vises ve å regne ut en tiseriverte (/t) av venstre og høyre sie i ligningen ovenfor. På høyre sie kan erivasjonen flyttes inn uner integralet, når vi eriverer partielt me hensyn på t, vs holer anre variable fast. Den partielleriverte av integranen er a t [ ( F )] = t F + ( F ). t Hvis F ikke avhenger eksplisitt av t, kan en trekkes utenfor en siste erivasjonen ( / t og F kommuterer). I motsatt fall gir en siste erivasjonen to le, slik at resultatet blir t F = t F τ + F t τ + F t τ.

6 FY1006/TFY4215 Tillegg 4 6 Ve hjelp av Schröingerligningen har vi at t = ī hĥ. Første og anre le på høyre sie av ligningen ovenfor blir a hhvis ( ī ) i F τ = hĥ Ĥ τ og ī h h F Ĥ τ. Resultatet blir som vist i Hemmer følgene formel for tisutviklingen av forventningsverier: t F = ī [Ĥ, F ] F h + t. (T4.9) Her vil F vanligvis ikke avhenge eksplisitt av t, slik at vi kan stryke et siste leet. Dersom F, i tillegg til å være tisuavhengig, kommuterer me Ĥ, vs ersom observabelen F er kompatibel me energien E, finner vi nå et interessante resultatet at t F = 0. Forventningsverien F er altså tisuavhengig, og et kan vi slå fast uten å vite hvilken tilstan systemet befinner seg i. Vi sier a at observabelen F er en kvantemekanisk bevegelseskonstant. Alle observable som er kompatible me energien er altså slike bevegelseskonstanter. (Merk at et er forventningsveriene som er tisuavhengige.) Eksempel 1: Konservativt system Et eksempel er energien selv. Me F = E finner vi at t E = ī [Ĥ, h Ĥ] = 0. Dette gjeler forutsatt at Ĥ/ t = 0, vs uner forutsetning av at vi har et konservativt system, me et tisuavhengig potensial. I et slikt system er altså energien en bevegelseskonstant for en vilkårlig, ikke-stasjonær tilstan. Eksempel 2: Ikke-konservativt system Dersom potensialet er tisavhengig, blir Hamilton-operatoren eksplisitt tisavhengig, Ĥ = K + V (r, t). Ve å gå tilbake til utleningen sie 4 og 5 ser vi a at slik at [ (Ĥ)] = Ĥ + t t Ĥ Ĥ + t t = ī h Ĥ (ĤĤ ĤĤ) + t, Ĥ V t E = = t t.

7 FY1006/TFY4215 Tillegg 4 7 Eksempel 3: Paritetsbevarelse For et symmetrisk potensial har vi sett at [Ĥ, P] = 0. Det følger a at pariteten er en bevegelseskonstant, i en forstan at P = P τ er tisuavhengig. Som et spesialtilfelle kan vi tenke oss at tilstanen er symmetrisk (eller antisymmetrisk) ve et begynnelsestispunkt, slik at ette integralet er lik 1 (eller 1). Paritetsbevarelsen betyr i ette tilfellet at symmetrien (eller antisymmetrien) bevares hele tien (også om tilstanen er ikke-stasjonær). Eksempel 4: Fri partikkel For en fri partikkel, me Ĥ = p 2 /2m, er [Ĥ, p] = 0, slik at (/t) p = 0. Så impulsen er en bevegelseskonstant (vs p =konstant) for en vilkårlig tisavhengig fri-partikkel-tilstan (r, t). Dette er kvantemekanikkens utgave av Newtons første lov. Hvoran vil forventningsverien r av posisjonen utvikle seg for en fri-partikkelbølge (r, t)? Svaret er, i trå me en klassiske relasjonen r/t = v = p/m, at t r = p m. Det viser seg at enne relasjonen også holer for en partikkel som beveger seg i et potensial V (r). Dette er en el av Ehrenfests teorem, som har mer å si om sammenhengen mellom kvantemekanikk og klassisk mekanikk: 4.4 Ehrenfests teorem Ehrenfests teorem er nyelig beskrevet i Hemmers avsnitt 4.4. Vi skal se at (T4.9) også kan brukes til å utlee Ehrenfests teorem. Dette teoremet har å gjøre me sammenhengen mellom kvantemekanikk og klassisk mekanikk. Vi vet at klassisk mekanikk fungerer perfekt for makroskopiske objekter (me visse unntak), men at enne teorien ikke uger for e små tingene i naturen, som f.eks atomer og molekyler. Dynamikken til isse og anre objekter i mikrokosmos beskrives på en annen sie perfekt av kvantemekanikken. Hvoran går et så om vi bruker kvantemekanikken på større objekter? Er et f.eks slik at enne teorien fungerer årligere jo større objektene blir? Svaret er at kvantemekanikken ikke har noen slik begrensning. Når skalaen økes, går en kvantemekaniske beskrivelsen gravis over i en klassiske (unntatt for spesielle systemer er e kvantemekaniske effektene faktisk er observerbare også i makroskopisk skala, jf superlening og superfluiitet). Vi kan erfor si at en kvantemekaniske teorien inneholer klassisk mekanikk som et grensetilfelle, eller spesialtilfelle. Denne overgangen illustreres av Ehrenfests teorem. La oss betrakte en partikkel som beveger seg i et potensial V (r). Klassisk beskrives bevegelsen av ligningene p t = V, r t = p. (Newton) (T4.10) m I kvantemekanikken beskriver vi enne bevegelsen vha en bølgefunksjon (r, t) en bølgepakke som følger partikkelen (eller egentlig et ensemble av partikler) på ens tur runt omkring i potensialet V (r). Det vi a må sammenligne me en klassiske posisjonen r og impulsen p er e kvantemekaniske forventningsveriene r = r 3 r og p = p 3 r. (T4.11) Dersom partikkelen er tung (makroskopisk) må vi vente oss at isse forventningsveriene oppfører seg nøyaktig som e klassiske størrelsene i (T4.10). For mikroskopiske partikler, erimot, kan vi ikke vente at (T4.10) gir noe mer enn en årlig tilnærmelse til (T4.11).

8 FY1006/TFY4215 Tillegg 4 8 er 1 Vi skal nå unersøke om ette holer stikk. Fra (T4.9) har vi: t r = ī h [Ĥ, r] og t p = ī h [Ĥ, p] = [Ĥ, ] = [V, ], (T4.12) Ĥ = p2 + V (r, t). 2m Vi noterer oss at r kommuterer me potensial-leet, og at p kommuterer me et kinetiske leet p 2 /2m. Vi trenger erfor kommutatorene [ p 2, r] og [V, p]. Ve utregningen av isse (og anre) kommutatorer kan vi bruke e generelle regnereglene (T2.24) for kommutatorer: [Â, BĈ] = [Â, B]Ĉ + B[Â, Ĉ] [Â B, Ĉ] = Â[ B, Ĉ] + [Â, Ĉ] B. Vi finner a slik at og Viere er slik at Innsetting i (T4.12) gir nå [ p 2 x, x] = p x [ p x, x] + [ p x, x] p x = 2i h p x, p2 [Ĥ, x] = [ 2m, x] = 1 2m [ p2 x, x] = i h p x m, [Ĥ, r] = i h p m. [V, ] = V (V ) = ( V ), [Ĥ, p] = [V, p] = i h V. (T4.17) (T4.13) (T4.14) (T4.15) (T4.16) Disse ligningene utgjør tilsammen Ehrenfests teorem: t r = p m, (T4.18) t p = V. (T4.19) De kvantemekaniske bevegelses-ligningene for r og p (og anre mielverier) framkommer ve at en erstatter alle størrelsene i e klassiske ligningene (T4.10) me sine mielverier. Her kan et jo nesten se ut som om forventningsveriene følger e samme klassiske banene som r og p, men fullt så enkelt er et ikke. For at et skulle være tilfelle, måtte høyresien i (T4.19), som er forventningsverien av kraften F = V, være lik kraften akkurat i mielposisjonen r. I alminnelighet er ette selvsagt ikke oppfylt. Ve å Taylor-utvikle omkring mielposisjonen har vi nemlig (i én imensjon): F (x) = F ( x ) + (x x )F ( x ) (x x )2 F ( x ) +, slik at høyresien i (T4.19) svarer til F (x) = F ( x ) (x x ) 2 F ( x ) + = F ( x ) ( x)2 F ( x ) +. (T4.20) Vi kan erme summere opp slik: (i) For makroskopiske partikler vil x og p x være neglisjerbare i forhol til x og p x. Samtiig vil kraften F variere ubetyelig over bølgepakkens utstrekning, slik at F (x) = F ( x ). Dvs. forventningsveriene x og p x oppfyller Newtons ligning (T4.10); klassisk mekanikk er et grensetilfelle av kvantemekanikken. 1 Vi kan tillate et tisavhengig potensial.

9 FY1006/TFY4215 Tillegg 4 9 (ii) Selv for mikroskopiske partikler kan et i enkelte tilfeller være tillatt å sette F (x) = F ( x ) og bruke e klassiske ligningene. Dette krever at potensialet varierer lite over bølgepakkens utstrekning, og er f.eks. oppfylt me go margin i partikkel-akseleratorer. (iii) Betingelsen F (x) = F ( x ) kan være oppfylt også for partikler som beveger seg i potensialer me sub-mikroskopisk imensjon. Dette krever at F (x) = 0, vs. kraften må enten være konstant (som i et tyngefelt) eller variere lineært (harmonisk oscillator). For isse spesielle potensialene kan vi altså konkluere me at x og p x følger klassiske baner. I en oscillator vil f.eks. x oscillere harmonisk (som cos ωt).

4. Viktige kvantemekaniske teoremer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer FY1006/TFY4215 Tillegg 4 1 TILLEGG 4 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Før vi i neste kapittel går løs på treimensjonale potensialer, skal vi i kapittel 4 i ette kurset gå gjennom noen viktige kvantemekaniske

Detaljer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer FY1006/TFY4215 Tillegg 4 1 TILLEGG 4 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Før vi i neste kapittel går løs på treimensjonale potensialer, skal vi i kapittel 4 i ette kurset gå gjennom noen viktige kvantemekaniske

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 9. desember 2006 TFY4250 Atom- og molekylfysikk /FY2045 Kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 9. desember 2006 TFY4250 Atom- og molekylfysikk /FY2045 Kvantefysikk Eksamen TFY450/FY045 9. esember 006 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag Eksamen 9. esember 006 TFY450 Atom- og molekylfysikk /FY045 Kvantefysikk Oppgave 1 a. Grunntilstanen ψ 1 (x) har ingen nullpunkter.

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 6. august 2007 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 6. august 2007 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 6. august 2007 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. august 2007 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. For x > b, hvor V (x) =, må alle energiegenfunksjonene være

Detaljer

Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer,

Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer, TFY4250/FY2045 Tillegg 1 1 Tillegg 1: Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer, etc a. Reelle forventningsverdier krever Hermiteske operatorer I avsnitt 2.2 i Hemmer kan du først se hvordan

Detaljer

NORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller

NORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller NORSK TEKST Sie 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt uner eksamen: Ingjal Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 9701355 EKSAMEN I FY045/TFY450 KVANTEMEKANIKK

Detaljer

B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner

B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner TFY4250/FY2045 Tillegg 6 - Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner 1 Tillegg 6: Noe av stoffet i dette Tillegget er repetisjon fra Tillegg 3 i TFY4215. B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 Løsning oppgave 8 1 LØSNING ØVING 8 Koherente tilstander for harmonisk oscillator a. Utviklingen (3) er en superposisjon av stasjonære tilstander for oscillatoren,

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8. a. (a1): Ved kontroll av egenverdiene kan vi se bort fra normeringsfaktorene.

FY1006/TFY Løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8. a. (a1): Ved kontroll av egenverdiene kan vi se bort fra normeringsfaktorene. FY16/TFY415 - Løsning øving 8 1 Løsning oppgave 3 Vinkelfunksjoner, radialfunksjoner og orbitaler for hydrogenlignende system LØSNING ØVING 8 a. (a1: Ved kontroll av egenverdiene kan vi se bort fra normeringsfaktorene.

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 ØVING 5

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 ØVING 5 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, 0 - øving 5 ØVING 5 Oppgave 0 α-desintegrasjon α-sdesintegrasjon er en prosess hvor en radioaktiv opphavs -kjerne (parent nucleus) desintegrerer (henfaller) til en datter

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1 TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet

Detaljer

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7 FY1006/TFY4215 - Øving 7 1 Frist for innlevering: 5. mars kl 17 ØVING 7 Den første oppgaven dreier seg om den tredimensjonale oscillatoren, som behandles i starten av Tillegg 5, og som vi skal gå gjennom

Detaljer

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk ppgave Løsningsforslag Konte-eksamen 3. august SIF8 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, ) mω/π h exp( mωx / h) er symmetrisk med hensyn på origo, er forventningsverdien

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner TFY415 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 Oppgave 5 ØVING Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner En partikkel med masse m beveger seg i et endimensjonalt potensial V (x). Partikkelen

Detaljer

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk Eksamen FY2045 27. mai 2005 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk a. Ifølge den tidsuavhengige Shrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, har vi for x < 0 : E = Ĥψ ψ

Detaljer

Løsningsforslag Konte-eksamen 2. august 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Konte-eksamen 2. august 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Konte-eksamen SIF448.aug. 3 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 a. Hamilton-operatoren er Løsningsforslag Konte-eksamen. august 3 SIF448 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Ĥ = h m x + V (x), og den tidsuavhengige

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2 Oppgave 2 1 LØSNING nesten en posisjonsegentilstand a Siden den Gaussiske sannsynlighetstettheten ψ(x) 2 = 2β/π exp( 2β(x a) 2 ) symmetrisk

Detaljer

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem TFY45 - Løsning øving 4 Løsning oppgave 3 LØSNING ØVING 4 Vibrerende to-partikkelsystem a. Vi kontrollerer først at kreftene på de to massene kommer ut som annonsert: F V V k(x l) og F V V k(x l), som

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-000 Kvantemekanikk Dato: Mandag 6. september 016 Tid: Kl 09:00 1:00 Sted: Auditorium Maximum, Administrasjonsbygget Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling

Detaljer

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator TFY4215 - Øving 7 1 Oppgave 20 ØVING 7 -dimensjonal isotrop harmonisk oscillator Vi har tidligere studert egenfunksjonen (orbitalen) for grunntilstanden i hydrogenlignende atomer, og skal senere sette

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 8. august 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 8. august 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY45/TFY45 8. august - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 8. august FY45/TFY45 Kvantemekanikk I a. For E < V blir området x > klassisk forbudt, og den tidsuavhengige Schrödingerligningen

Detaljer

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at

Detaljer

Determinanter. Kapittel 6. Determinanter for 2 2-matriser. La oss beregne arealet av dette parallellogrammet. Vi tegner på noen hjelpelinjer:

Determinanter. Kapittel 6. Determinanter for 2 2-matriser. La oss beregne arealet av dette parallellogrammet. Vi tegner på noen hjelpelinjer: Kapittel 6 Determinanter En matrise inneholer mange tall og erme mye informasjon så mye at et kan være litt overvelene Vi kan konensere ne all informasjonen i en kvaratisk matrise til ett enkelt tall som

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY415 13. august 011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 13. august 011 FY1006/TFY415 Innføring i kvantefysikk a. Fra den tidsuavhengige Schrödingerligningen har vi for

Detaljer

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se

Detaljer

Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk FY1006/TFY4215 våren 2012 - pensum og kursopplegg 1 Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk våren 2012 Litt om de to emnene De to emnene FY1006 og TFY4215 er identiske både når

Detaljer

TFY Øving 8 1 ØVING 8

TFY Øving 8 1 ØVING 8 TFY4215 - Øving 8 1 ØVING 8 Mye av poenget med oppgave 2 er å øke fortroligheten med orbitaler, som er bølgefunksjoner i tre dimensjoner. Fordi spørsmålene/oppdragene er spredt litt rundt omkring, markeres

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 1 ØVING 6 Oppgave 6 1 Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av N (ikke-vekselvirkende) spinn- 1 -fermioner befinner seg i grunntilstanden

Detaljer

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen.

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. FY006/TFY45 - Øving 3 ØVING 3 Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. Oppgave 8 Ikke-stasjonær bokstilstand En partikkel med masse

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Side 1 av 3 FLERVALGSOPPGAVER TRENING TIL EKSAMEN En partikkel med masse m beskrives av den stasjonære tilstanden Ψ(x,t) = ψ(x)e iωt, med e ikx + 1 3i

Detaljer

Eksamen i Ikkelineær dynamikk, fag TFY 4305 Onsdag 30. november 2005 Løsninger

Eksamen i Ikkelineær dynamikk, fag TFY 4305 Onsdag 30. november 2005 Løsninger Eksamen i Ikkelineær ynamikk, fag TFY 4305 Onsag 30. november 2005 Løsninger 1) Den generelle løsningen av ligningen u t + cu x =0eru(x, t) =f(x ct), er f er en vilkårlig funksjon av en variabel. Hvoran

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand FY006/TFY45 - Løsning øving 3 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 3 Ikke-stasjonær bokstilstand a. For 0 < x < L er potensialet i boksen lik null, slik at Hamilton-operatoren har formen Ĥ = K + V (x) = ( h

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 FY1006/TFY415 - Løsning øving 9 1 Løsning oppgave Numerisk løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen LØSNING ØVING 9 a. Alle leddene i (1) har selvsagt samme dimensjon. Ved å dividere ligningen

Detaljer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 4. august 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk

Løsningsforslag Eksamen 4. august 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk Eksamen TFY450 4. auguast 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 4. august 008 TFY450 Atom- og molekylfysikk a. I områdene x < a og x > a har vi (med E V 0 ) at ψ m h [V (x) E ]ψ 0.

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 7. august 2006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne tilstander i et symmetrisk éndimensjonalt potensial

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2. FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, øving 5 1 øsning oppgave 5 1 a Med finner vi energien til egenfunksjonen ØSNING ØVING 5 Kvantekraft nπx sin = n xπ x x x ψ nx,n y,n z = A sin n xπx x sin nπx x, sin n yπy

Detaljer

LØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1

LØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 Løsning oppgave 5 LØSNING ØVING 2 Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner a. For oscillator-grunntilstanden i oppgave 3b har vi

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 Frist for innlevering: tirsdag 3. februar Oppgave 1 ØVING 2 Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar Ein partikkel med masse m

Detaljer

1b) Schwarzschil-metrikken er iagonal, og vi har at g tt = 1, c = r, c ; g rr =, r r r r, =,1, r, ; g =,r ; g '' =,r sin : (9) At raielle baner eksist

1b) Schwarzschil-metrikken er iagonal, og vi har at g tt = 1, c = r, c ; g rr =, r r r r, =,1, r, ; g =,r ; g '' =,r sin : (9) At raielle baner eksist Eksamen i klassisk feltteori, fag 74 50, 8. esember 1998 Lsninger 1a) Vi antar at x +, x x =0; (1) og at c = g x x. Sa gjr vi en koorinattransformasjon x 7 ex,ogskal vise at ex + e, ex ex =0; () er c =

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid: Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY45. juni 004 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen.juni 004 TFY45 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i et éndimensjonalt potensial er ikke-degenererte

Detaljer

ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar. h2 + V (x). (0.1) 2m dx 2

ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar. h2 + V (x). (0.1) 2m dx 2 FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Øving Frist for innlevering: tirsdag 4. februar Oppgave ØVING Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar Ein partikkel med masse m bevegar seg

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 28. januar (jf Åre) ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast

Detaljer

Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, telefon (735) Sensurdato: 31. januar 2003.

Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, telefon (735) Sensurdato: 31. januar 2003. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk EKSAMEN I: MNFFY 45 INNFØRING I KVANTEMEKANIKK DATO: Freag 0. januar 003 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sier: 4 Tillatte

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY045/TFY450 0. desember 0 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 0. desember 0 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I a. For x < 0 er potensialet lik null. (i) For E > 0 er da ψ E = (m e E/

Detaljer

TFY Løsning øving 7 1 LØSNING ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator

TFY Løsning øving 7 1 LØSNING ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator TFY415 - Løsning øving 7 1 Løsning oppgave a. Med z = r cos θ har vi at LØSNING ØVING 7 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator ψ 1 = C C 1 e mωr / h r cos θ, som er uavhengig av asimutvinkelen φ, dvs

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 12. august 2004 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Den tidsuavhengige Schrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, tar for

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY2045/TFY4250 14. desember 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I a. For E < 3V 0 /4 er området x > a klassisk forbudt, og

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY4215 11 august 2010 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 11 august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a Siden potensialet V (x) er symmetrisk med hensyn på

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 4 1 Løsning oppgave 4 1 LØSNING ØVING 4 Elektron i potensial med to δ-funksjoner a En delta-brønn er grensen av en veldig dyp og veldig trang brønn Inne i

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a. FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14 Løsning Oppgave 14 1 Fra oppg 3, eksamen august 1 a. Med Y = 1/ 4π og zy = ry 1 / 3 kan vi skrive matrise-elementene av z på formen (z)

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. mai 006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 006 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. For bundne tilstander i én dimensjon er degenerasjonsgraden lik 1;

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY4215 27. mai 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a. For en energiegenfunksjon med energi E V 1 følger det fra

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen SIF4048 8.05.03 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 8. mai 003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, 0) = β/π exp( βx ) er symmetrisk med

Detaljer

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 2018

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 2018 Løsningsforslag for FYS140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 018 Oppgave 1: Materiens bølgeegenskaper a) De Broglie fikk Nobelprisen i 199 for sin hypotese. Beskriv med noen setninger hva den går ut på.

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving 2 1 LØYSING ØVING 2. a) For grunntilstanden for den harmoniske oscillatoren har vi

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving 2 1 LØYSING ØVING 2. a) For grunntilstanden for den harmoniske oscillatoren har vi FY6/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving Løysing oppgåve LØYSING ØVING Krumningseigenskapar for eindimensjonale energiegenfunksjonar a) For grunntilstanden for den harmoniske oscillatoren har

Detaljer

LØSNING EKSTRAØVING 2

LØSNING EKSTRAØVING 2 TFY415 - løsning Ekstraøving 1 Oppgave 9 LØSNING EKSTRAØVING hydrogenlignende atom a. For Z = 55 finner vi de tre målene for radien til grunntilstanden ψ 100 vha formlene side 110 i Hemmer: 1/r 1 = a =

Detaljer

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 970155 EKSAMEN

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 13 1 LØSNING ØVING 13. V (x, t) = xf (t) = xf 0 e t2 /τ 2.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 13 1 LØSNING ØVING 13. V (x, t) = xf (t) = xf 0 e t2 /τ 2. FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 13 1 Løsning Oppgave 13 1 LØSNING ØVING 13 Transient perturbasjon av harmonisk oscillator a. Med kraften F (t) = qe(t) = F 0 exp( t /τ ) og sammenhengen F (t)

Detaljer

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 26. januar ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast er

Detaljer

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fredag 19. august 2005 kl

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fredag 19. august 2005 kl NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. mai 8 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 8 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Utenfor boksen, hvor V (x) =, er bølgefunksjonen lik null. Kontinuiteten

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden

Detaljer

Eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00

Eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00 NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Arne Brataas Telefon: 73593647 Eksamen i TFY417 Fysikk Mandag 1. desember 5 15: 18: Tillatte hjelpemidler: Alternativ C Godkjent

Detaljer

Oppgave 1. NORSK TEKST Side 1 av 4. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk

Oppgave 1. NORSK TEKST Side 1 av 4. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67 EKSAMEN I TFY415

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. FYS 2000, Kvantemekanikk Dato: 7. Juni 2017 Klokkeslett: 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: rute.

EKSAMENSOPPGAVE. FYS 2000, Kvantemekanikk Dato: 7. Juni 2017 Klokkeslett: 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: rute. EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS 2000, Kvantemekanikk Dato: 7. Juni 2017 Klokkeslett: 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: ett handskrevet A4-ark(2 sider med egne notater, samt K. Rottmann: Matematisk

Detaljer

FY1006/TFY Øving 9 1 ØVING 9

FY1006/TFY Øving 9 1 ØVING 9 FY1006/TFY4215 - Øving 9 1 Frist for innlevering: 2. mars, kl 16 ØVING 9 Opgave 22 Om radialfunksjoner Figuren viser de effektive potensialene Veff(r) l for l = 0, 1, 2, for et hydrogenlignende atom, samt

Detaljer

Kursopplegg for TFY4250 og FY2045

Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk, høsten 2007 - kursopplegg 1 Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 (under utarbeidelse) Pensum-litteratur PC Hemmers Kvantemekanikk er et must. En annen god

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 Høst 014 Løsningsforslag Øving 03.7. Økningen i uksen, F, kan approksimeres som se sie 131 i boka F F =

Detaljer

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet.

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk Lade EKSAMEN I: MNF FY 44 KVANTEMEKANIKK I DATO: Tirsdag 4. desember 999 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sider: 3 Sensurdato:

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 7. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 7. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4 FYS214 Kvantefysikk, Oblig 7 Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4 11. mars 215 Obliger i FYS214 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen dreier seg om (bølgepakker av fri partikkel tilstander og om såkalte

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 2.8.2 Vi merker oss først at funksjonen f er båe kontinuerlig og eriverbar på intervallet [1,2],

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 8. august 2009 TFY4250 Atom- og molekylfysikk

Løsningsforslag Eksamen 8. august 2009 TFY4250 Atom- og molekylfysikk Eksamen TFY425 8. august 29 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 8. august 29 TFY425 Atom- og molekylfysikk a. For β = har vi en ordinær boks fra x = til x = L. Energiegenfunksjonene har formen

Detaljer

Obligatorisk oppgave nr 4 FYS Lars Kristian Henriksen UiO

Obligatorisk oppgave nr 4 FYS Lars Kristian Henriksen UiO Obligatorisk oppgave nr 4 FYS-13 Lars Kristian Henriksen UiO. februar 15 Oppgave 1 Vi betrakter bølgefunksjonen Ψ(x, t) Ae λ x e iωt hvor A, λ og ω er positive reelle konstanter. a) Finn normaliseringen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 5. august 2009 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 5. august 2009 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 5. august 29 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 5. august 29 TFY4215 Kjemisk fysikk kvantemekanikk a. Med ψ A (x) = C = konstant for x > har vi fra den tidsuavhengige

Detaljer

Vekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur

Vekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur Vekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur KÅRE BÆVRE Høsten 2005 1 Vekstrater og eksponensiell vekst 1.1 Vekstrater i iskret ti Vekstraten til en størrelse Y angir hvor stor

Detaljer

ψ(x) 2 dx = 1. (3) For det siste integralet har vi brukt fra Rottmann at

ψ(x) 2 dx = 1. (3) For det siste integralet har vi brukt fra Rottmann at Det er mulig å oppnå i alt 80 poeng på denne eksamen. Oppgave er inspirert av en tidligere eksamensoppgaver gitt ved NTNU, laget av Ingjald Øverbø og Jon Andreas Støvneng. Oppgave 1 En-dimensjonal harmonisk

Detaljer

Løysingsframlegg øving 1

Løysingsframlegg øving 1 FY6/TFY425 Innføring i kvantefysikk Løysingsframlegg øving Oppgåve Middelverdien er x = x Ω X xp (x) = 2 + 2 = 2. (.) Tilsvarande har vi x 2 = x Ω X x 2 P (x) = 2 2 + 2 2 = 2. (.2) Dette gjev variansen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 26. mai 2008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Utenfor boksen, hvor V (x) =, er bølgefunksjonen lik null. Kontinuiteten

Detaljer

TFY løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9

TFY løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 TFY4215 - løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 Løsning oppgave 25 Om radialfunksjoner for hydrogenlignende system a. (a1): De effektive potensialene Veff(r) l for l = 0, 1, 2, 3 er gitt av kurvene 1,2,3,4,

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 2 1 ØVING 2. nesten en posisjonsegentilstand

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 2 1 ØVING 2. nesten en posisjonsegentilstand FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 2 1 Oppgave 2 1 ØVING 2 nesten en posisjonsegentilstand Vi har sett at en posisjon ikke kan måles med en usikkerhet som er eksakt lik null. Derimot er det

Detaljer

BOKMÅL Side 1 av 6. En partikkel med masse m beveger seg i det endimensjonale brønnpotensialet V 1 = h 2 /(2ma 2 0) for x < 0,

BOKMÅL Side 1 av 6. En partikkel med masse m beveger seg i det endimensjonale brønnpotensialet V 1 = h 2 /(2ma 2 0) for x < 0, BOKMÅL Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1006 INNFØRING

Detaljer

Løysingsframlegg eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk vår 2013

Løysingsframlegg eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk vår 2013 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg eksamen TFY45/FY6 Innføring i Kvantemekanikk vår 3 Oppgåve Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen

Detaljer

Kursopplegg for TFY4250 og FY2045

Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk, høsten 2004 - kursopplegg 1 Kursopplegg for TFY4250 og FY2045 Felles undervisning i to emner De to emnene TFY4250 Atom- og molekylfysikk for teknologistudiet,

Detaljer

Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger

Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag. mai 007 Løsninger 1a Et hydrogenlikt atom har ett elektron med masse m og ladning e som er bundet til en atomkjerne med ladning Ze. Siden kjernen har

Detaljer

Løsningsforslag FY6019 Moderne fysikk kl fredag 12. juni 2015

Løsningsforslag FY6019 Moderne fysikk kl fredag 12. juni 2015 Løsningsforslag FY6019 Moderne fysikk kl 09.00-14.00 fredag 12. juni 2015 Oppgave 1. Flervalgsoppgaver. (Poeng: 2.5 8 = 20) a) Hva er forventningsverdien av posisjonen, x, til en partikkel i grunntilstanden

Detaljer

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Lørdag 8. august 2009 kl

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Lørdag 8. august 2009 kl NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl. 09.00-13.00 Tillatte

Detaljer

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Mandag 23. mai 2005 kl

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Mandag 23. mai 2005 kl NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 42 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 9701255

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 31. mai 2012 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 31. mai 2012 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY4215 31. mai 2012 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 31. mai 2012 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a. Med energien E 2 = V 0 følger det fra den tidsuavhengige

Detaljer

NORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller

NORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I FY2045/TFY4250 KVANTEMEKANIKK

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS40 Kvantefysikk Eksamensdag: 6. august 03 Tid for eksamen: 4.30 (4 timer) Oppgavesettet er på 5 (fem) sider Vedlegg:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS14, Kvantefysikk Eksamensdag: 17. august 17 4 timer Lovlige hjelpemidler: Rottmann: Matematisk formelsamling, Øgrim og Lian:

Detaljer

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk øysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving 2 1. Ekstraøving 2. = 1 2 (3n2 l 2 l), = 1 n 2, 1 n 3 (l ), 1 n 3 l(l + 1.

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving 2 1. Ekstraøving 2. = 1 2 (3n2 l 2 l), = 1 n 2, 1 n 3 (l ), 1 n 3 l(l + 1. FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving Frist for innlevering (Til I.Ø.): 7. mai kl 7 Oppgave 9 hydrogenlignende atom Ekstraøving I denne oppgaven ser vi på et hydrogenlignende atom, der et

Detaljer