Løsningsforslag. b) Hva er den totale admittansen til parallellkoblingen i figuren over? Oppgi både modul og fasevinkel.

Transkript

1 Løsningsforslag FYS / FY / FYS Elektromagnetisme, torsag 8. esember Ve sensurering vil alle elspørsmål i utgangspunktet bli gitt samme vekt (uavhengig av oppgavenummer), men vi forbeholer oss retten til justeringer. I løsningsforslaget er bit for bit av oppgaveteksten gitt i kursiv, etterfulgt av en mulig løsning. Det tas forbehol om feil. De tre første oppgavene er gitt i FYS Oppgave Tenk eg at figuren til høyre skjematisk viser et elektriske anlegget i en bolig. Lysnettet leverer en spenning på V rms me frekvens 5 Hz. Den totale belastningen på lysnettet i boligen kan forenkles til en resistans R Ω i parallell me en inuktans (spole) L H. Vi regner spenningskilen som ieell. a) Hva er en elektriske amittansen til en parallellkobling av en inuktans (spole) og en kapasitans (konensator) hvis e har samme susceptansveri? Begrunn svaret. Y BC BL. I amittansplanet vil en kapasitive susceptansen tegnes oppover langs j-aksen og en inuktive susceptansen neover langs j aksen. Summen blir altså lik null, vs. ingen elektrisk leningsevne. b) Hva er en totale amittansen til parallellkoblingen i figuren over? Oppgi båe moul og fasevinkel. πfl mittans Y j, j, [ S] R Moul Y (,) + (, ), 5 [ S], Fasen ϕ atg,7, c) I boligen måles en totale strømmen i kretsen, og et er enne vi betaler for. Vi kan likevel bare nyttegjøre oss av realelen av strømmen, altså en vi bruker når vi for eksempel beregner effekten. Me e komponentveriene som er gitt tiligere i oppgaven, beregn i prosent hvor mye vi betaler for mye på strømregningen. Sien strømmen er proporsjonal me amittansen, holer et at vi ser på forholet mellom amittansene me og uten spolen:

2 ,5, Betaler % 5%, for mye ) Du ønsker å gjøre noe me ette og tenker at u kan koble en komponent i parallell me e to anre komponentene i figuren, for å fjerne en reaktive (imaginære) strømmen i kretsen. Hva slags komponent vil u velge, og hvilken veri må en ha? Her vil en løsning være å koble en konensator i parallell for å reusere susceptansen til null. Vi ser fra elspørsmål a) at konensatoren må ha samme susceptansveri som spolen, slik at: B C πf,, 5 5 µf Oppgave To like store laninger befinner seg i ro på -aksen og i avstan a på hver sie av origo. a) Hvor stor kraft virker på hver av laningene når laningene har størrelse e,6-9 C og avstanen a,7 - m. Tomromspermittiviteten 8,85 - C /Nm. e 8 F, N hvor F er kraften i positiv -retning på laningen som π ( a) ligger i (a,). Kraften på laningen i (-a,) er F. b) Laningene sitter på partikler me masse m,67-7 kg (protoner). Hvor stor blir akselerasjonen i første øyeblikk ersom partiklene slippes fri? F m a a F m 9,5 m / s c) Vi tenker oss igjen at laningene ligger i ro slik som i første el av oppgaven. To like, men negative laninger me samme absolutte størrelse som e positive laningene befinner seg i ro i punktene (,y) og (,-y) på y-aksen. Hvor stor kraft virker på hver av partiklene uttrykt ve størrelsene e, a og y? På grunn av symmetrien blir et bare en kraft langs y-aksen på e negative laningene. Hvis avstanen mellom en positiv og en negativ laning er r a + y, blir kraften på laningen i (,-y): F y e y e og ( ) F π r r π y ) Forklar me or hvoran kraften på e negative laningene varierer når laningene føres utover fra en avstan y << a til y >> a. Forklar at et må være en veri for y hvor kraften på e negative laningene er null, og regn ut hvor ette punktet er uttrykt ve størrelsen a.

3 Når y<<a omineres kreftene av frastøting mellom e negative laningene og F y <. Når y>>a ser e negative laningene i hovesak e to positive laningene og F y >. Sien kraften varierer kontinuerlig må et være et punkt hvor F y. Fra c) følger at F y når: y 8y r y r y a + y y r y ( ) a Oppgave En lang solenoie (spole) me 5 viklinger per meter fører strømmen I. a) Finn størrelsen på magnetfeltet inne i solenoien når spolen er fylt me luft. Ve å bruke mperes lov finner vi at B µ ni i en spole, hvor µ er magnetisk permeabilitet, n er antall viklinger pr. meter og I er strømmen. Vi får a: B π 5,77 [ T ] b) Finn størrelsen på magnetfeltet når rommet inne i solenoien er fylt me flytene oksygen, mens strømmen i viklingene er en samme. (Magnetisk susceptibilitet for flytene oksygen er χm,5 -.) Permeabiliteten blir nå µ µ ( + ) B π χ m, slik at vi får: ( +,5 ) 5,78 [ T ] Oppgave Magnetfeltet cm fra en uenelig lang, rett leer hvor et går en likestrøm på, er µt. a) Ve hvilken avstan er et, µt? Sien µ I B så vil feltet være en tiel ve ti ganger så stor avstan, altså meter. πr b) De to leerne i en lang, rett skjøtelening (kabel) fører på et tispunkt begge en strøm på, men i motsatt retning. vstanen mellom leerne er mm. Finn magnetfeltet i en avstan på cm fra miten av skjøteleningen, i samme plan som leerne ligger i. (De to leerne ligger ve sien av hveranre inne i kabelen). µ I µ I π B 7, 5 πr πr π,985,5 [ nt ]

4 c) Ve hvilken avstan er feltet én tiel så stort? Hvis r er avstanen fra miten av skjøteleningen til et aktuelle punktet og mm er avstanen mellom leerne, så har vi at: µ I B µ I π r r + π r Løser vi enne mhp. r, så får vi at r,6 m ) Senterleeren i en koaksialkabel fører i én retning, og skjermen runt fører i motsatt retning. Hvoran vil magnetfeltet være i punkter utenfor kabelen? (En koaksialkabel har to leere. Den ene ligger som en trå i miten og en anre som en strømpe runt. Det er isolasjon mellom isse to leerne. Se figuren.) Kabelen prouserer ikke noe magnetfelt eksternt, sien en mpere-vei runt kabelen vil omslutte en totalstrøm som er lik null (to like strømmer i hver sin retning). Oppgave 5 En platekonensator er konstruert ve å plassere tre ielektriske materialer mellom to metallplater, som vist i figuren til høyre. lle e tre materialene er like bree og materialene og er halvparten så høye som materiale. Vi antar at avstanen mellom platene er mye minre enn platenes anre imensjoner (bree lenge areal), slik at vi kan se bort fra eventuelle kanteffekter. a) Finn konensatorens kapasitans uttrykt ve platenes areal, platenes avstan og e tre materialenes relative permittivitet;, og. Kapasitansen vil være som om vi hae konensator i parallell me en seriekobling av konensatorene og, altså tre iskrete konensatorer koblet sammen. C ; ; C C Seriekoblingen av konensatorene og gir: C C C S C + C Total kapasitans blir a: C + + b) Beregn enne kapasitansen når cm, mm,,9, 5,6 og, Me e oppgitte veriene blir C,76 pf

5 c) Hvis e tre materialene skulle erstattes av ett homogent materiale, hvilken relativ permittivitet måtte ette materialet hatt ersom kapasitansen skulle bli en samme som uner punkt b)? r,76 pf gir at r, ) Tenk eg at u har en søster på 7 år som går i vieregåene skole. Hvoran ville u forklare for henne hva relativ permittivitet er? Her er et mange muligheter og ikke noe absolutt fasitsvar. Man kan snakke om et materiales evne til å la seg elektrisk polarisere, laninger som er bunet men som kan bevege seg litt, ipoler som innretter seg i feltet, osv. Oppgave 6 a) Skriv opp likningen som vi kaller mperes lov. Hva kan vi bruke en til og hvilke geometriske forutsetninger må være til stee for at vi kan ha nytte av en? B l µ I i kan vi bl.a. bruke til å beregne magnetisk felt (flukstetthet) som skyles kjente elektriske strømmer. Trikset ligger i å velge en integrasjonsvei som sammenfaller helt eller elvis me en magnetisk feltlinje. Eksempler er felt runt en rett strømførene leer, hvor feltlinjene blir sirkulære og venstre sie i uttrykket blir lik B πl. Eventuelt kan man velge en amperevei hvor eler av integrasjonsveien er slik at feltet enten er lik null, eller står ortogonalt på. Eksempel her er beregning av feltet inne i en spole. b) Når vi sammenligner elektriske og magnetiske feltlinjer peker vi ofte på én vesentlig forskjell. Hva er et? Forklar. Magnetiske feltlinjer anner allti lukkee sløyfer, noe som bl.a. mefører at et ikke eksisterer magnetiske monopoler. 5