Newtons lover i to og tre dimensjoner

Transkript

1 Newtons love i to og te dimensjone Oblig e lagt ut. Innleveing: Mandag,.. FYS-MEK

2 Skått kast med luftmotstand F net F D G D v v mg ˆj hoisontal og vetikal bevegelse ikke lenge uavhengig: a x d x dt D m v x v x v y a y d y dt D m v y v x v y g koblete diffeensialligninge numeisk løsning D =.49 kg/m D = kg/m initialbetingelse: h m v m/s 35 = hj = m v = v cos α i + sin α j = m/s FYS-MEK

3 Skått ballkast med luftmotstand: hva skje ette ballen teffe på gulvet? Kan vi beskive bevegelsen videe? eksempel: bodtennisball FYS-MEK

4 Skått ballkast med luftmotstand: hva skje ette ballen teffe på gulvet? Kan vi beskive bevegelsen videe? ball som spette fa gulvet i én dimensjon. Nomalkaften oppstå hvis: y( t) R Ballen defomees vi modellee nomalkaften som en fjækaft: N k L ˆj N k R y( t) ˆj y y R R Nomalkaften vike alltid vetikal oppove uansett i hvilke etning ballen bevege seg. FYS-MEK

5 husk: å modellee nomalkaften som en lineæ fjækaft e bae en tilnæming! kefte som oppstå nå ballen (og gulvet) defomees kan væe me kompliset. elle enda me kompliset FYS-MEK

6 fi-legeme diagam: kontaktkefte: luftmotstand nomalkaft langtekkende kaft: gavitasjon kaftmodelle: luftmotstand: D v( t) v( t) F D alle kefte ha åsak i omgivelsen og vike på systemet (=ball) fa luften på ballen, hastighetsavhengig, motsatt bevegelsesetning nomalkaft: N k R y( t) ˆj y y R R fa gulvet på pallen, posisjonsavhengig, oppove (vinkelett på gulvet) gavitasjon: G mg ˆj fa joden på ballen konstant, nedove (mot jodens sentum) (Vi se bot fa fiksjon mellom ball og gulvet.) FYS-MEK

7 luftmotstand: F D D v( t) v( t) nomalkaft: N k R y( t) ˆj y y R R gavitasjon: G mg ˆj NL: Fnet F Fnet a m ext F D N G ma FYS-MEK

8 Numeisk løsning: FYS-MEK

9 y [m] ikke pefekt: ingen dempning i fjækaften ingen fiksjon men ikke så ille... x [m] FYS-MEK

10 Resultat (med og uten luftmotstand) dempet bevegelse i x og y etning FYS-MEK

11 valg av tidssteg t =.1 s t =.1 s t =.3 s FYS-MEK

12 valg av tidssteg Nomalkaften e sto og vike i kot tidsintevall. Bevegelse i luft: jevnt uten stoe foandinge; stoe foendinge mens i kontakt med bakken. t =.1 s t =.1 s t =.3 s FYS-MEK

13 FYS-MEK t =.3 s t =.1 s t =.1 s t t v t t v t a t ) ( ) ( lim ) ( fo små tidssteg t: t t v t t v t a ) ( ) ( ) (

14 Gavitasjon geneell: F G mm mm ˆ u û enhetsvekto i adial etning Hittil ha vi sett på objekte på jodens oveflate: M og e konstant. Vi betakte en lokal begenset del av jodoveflaten. vi neglisjee kumning katesisk koodinatsystem mm F ˆj mg ˆj g m 9.81 s y x Hvis vi se på planetes bane elle komete, så må vi buke den geneelle gavitasjonsloven. FYS-MEK

15 access numbe: En komet med masse m bevege seg gjennom våt solsystem og e bae påviket av gavitasjonskaften fa solen. Hvilket utsagn e iktig? A. Kometen bevege seg på en sikelbane undt solen. B. Kometen bege seg på en elliptisk bane med solen i et bennpunkt. C. Gavitasjonskaften avbøye banen nå kometen e næ solen, men fo uendelig lang tid bli avstand mellom kometen og solen uendelig sto. D. Kometen bevege seg enten på en lukket bane elle folate solsystemet avhengig av massen til kometen. E. Kometen bevege seg enten på en lukket bane elle folate solsystemet avhengig av sin hastighet. FYS-MEK

16 Eksempel Identifise: Hvilket objekt bevege seg? En komet med masse m bevege seg gjennom solsystemet. system: komet omgivelse: solen, planetene, ande stjene (vi kan neglisjee planetene og ande stjene hvofo?) Hvodan måle vi? Define et koodinatsystem. Finn initialbetingelsene. (t) v v initialbetingelse: () v() v koodinatsystem: vi velge oigo i solens sentum og v definee et plan som kometen bevege seg i poblemet e todimensjonal vi velge x og y aksen slik at = i v = v j FYS-MEK

17 Modelle: y fi-legeme diagam: Finn keftene som påvike objektet. (t) v Beskiv keftene med en modell. Buk Newtons ande lov fo å finne akseleasjonen. Kometen e ikke i kontakt med noe, den eneste kaften e gavitasjon. F G x Gavitasjonen vike fa solen (omgivelse) på kometen (systemet). Kaften e ettet mot solen, som befinne seg i oigo. mm mm ˆ u NL: mm Fnet FG M a 3 akseleasjon uavhengig av kometenes masse ma 3 solmasse: M kg 3 11 m gavitasjonskonstant: kg s Masse til planetene e mye minde enn solmassen, men kaft kan væe sto desom kometen passee i næhet av en planet. Ande stjene e langt bote, slik at dees gavitasjon e neglisjebat. FYS-MEK

18 vi løse numeisk: a d dt M 3 Løs: Løs bevegelsesligningen. d d a,, t dt dt med initialbetingelse (analytisk elle numeisk). Finn hastighet og posisjon. FYS-MEK

19 Analyse: E esultatene fo (t) og v (t) fonuftig? Buk esultatene fo a svae på spøsmålet. x v x v iˆ 1.51 ˆj 11 m v = m/s v = m/s v = m/s Intepete esultatene. fo små hastighete: kometen bevege seg på en elliptisk bane med solen i et bennpunkt fo en spesifikk mellomsto hastighet: kometen bevege seg på en sikelbane undt solen fo stoe hastighete: kometen bli avbøyet men folate solsystemet viktig å velge små tidssteg: T = 1.5 a t = 1 s FYS-MEK

20 Effekt av fo sto tidssteg t = 1 s t = 1 s t = s x v v x iˆ 1.51 v ˆj m m/s FYS-MEK

21 access numbe: En astonaut e på omvanding utenfo omfatøyet i jodens obit. Hvilket utsagn e iktig? A. Nettokaften på astonauten e null; han e vektløs. B. Gavitasjonskaft e neglisjeba i så sto høyde; han føle seg vektløs. C. Gavitasjonskaft fa joden gi ham akseleasjon mot jodens sentum; han e i fitt fall. D. Han tenge en akettmoto (jet-pack) fo å fobli i obit. FYS-MEK

22 å falle undt joden unnslippningshastighet på samme mote som eple som falle fa teet. Satellitte, månen, astonaute,... falle undt joden påviket av gavitasjonskaften eneste foskjell: tangensialhastighet FYS-MEK

23 Sentalkaft gavitasjon: F G mm mm kaft fa masse M på masse m ettet mot sentum av masse M negativ tegn kaft fa m på M positiv tegn ˆ u M x z F G y m Coulombkaft: F C k q1q ˆ u z F C -q z F C +q sentalkaft: ettet mot (elle fa) en fast punkt +Q y +Q y både gavitasjon og Coulomb kaft e sentalkefte som skalee med. F C ˆ u x tiltekkende kaft hvis q 1 og q ha foskjellig fotegn x fastøttende kaft hvis q 1 og q ha det samme fotegn C C FYS-MEK

24 Tiltekkende sentalkaft initialbetingelse: 4 iˆ v.5 ˆj.5 ˆj.6 ˆj 1. ˆj små initialhastighet lukket elliptisk bane sto initialhastighet objekt fjene seg mot uendelig FYS-MEK

25 C < : tiltekkende kaft C > : fastøttende FYS-MEK

26 Kjeglesnitt paabel ellipse hypebel FYS-MEK

27 Fastøttende sentalkaft Eksempel: Ruthefod spedning ( ) spedning av patikle mot gull atome små, tung kjene i et stot, tomt atom FYS-MEK

28 fi bevegelse bevegelsen bestemmes av keftene og initialbetingelse samme initialbetingelse samme bevegelse på samme bane foskjellige initialbetingelse foskjellige bane betinget bevegelse banen e gitt keftene og initialbetingelse bestemme hvodan objektet bevege seg på denne banen FYS-MEK

29 fi bevegelse bevegelsen bestemmes av keftene og initialbetingelse foskjellige initialbetingelse foskjellige bane betinget bevegelse banen e gitt keftene og initialbetingelse bestemme hvodan objektet bevege seg på denne banen FYS-MEK

30 access numbe: Pendelen svinge fa venste til høye og e halvveis ned. Hvilken pil angi etningen på akseleasjonen til pendelloddet? 1. pil #1. pil # 3. pil #3 4. pil #4 5. pil #5 #1 # #3 #5 #4 FYS-MEK

31 Betinget bevegelse: banen til loddet e gitt i høyeste punkt: ingen fat bae tangensial akseleasjon faten øke i mellom: faten øke femdeles etningen ende seg også både tangensial og sentipetal akseleasjon i laveste punkt: fat maksimal bae sentipetal akseleasjon etningsending FYS-MEK