1 d 3 p. dpp 2 e β Z = Z N 1 = U = N 6 1 kt = 3NkT.

Transkript

1 Oppgave a) Partisjonsfunksjonen for én oscillator: Z d p (2π h) (4π)2 8π h 2 π h ( k hω (2mk )/2 ), d re β 2m p2 βmω2 2 r 2 dpp 2 e β ( 2k mω 2 2m p2 ) /2 ( drr 2 e βmω2 2 r 2 dxx 2 e x2 ) 2 der integralet dxx 2 e x2 π/4 kan finnes i Rottmann Siden oscillatorene er lokaliserte er partisjonsfunksjonen for systemet gitt ved Z Z N ( ) N k hω Denne klassiske partisjonsfunksjonen er gyldig ved høye temperaturer, som i dette tilfellet betyr k hω b) Indre energi: U k 2 ln Z Nk armekapasitet: ( ) U C Nk Ekvipartisjonsprinsippet sier at hvert kvadratisk ledd i Hamiltonfunksjonen gir et bidrag k/2 til midlere indre energi Siden H for én partikkel består av 6 kvadratiske ledd har vi derfor U N 6 k Nk 2 c) Debye-teori: se forelesningsnotatene Det faste stoffet har en endelig lengde og består av et endelig antall N atomer For et tredimensjonalt fast stoff finnes det maksimalt N

2 forskjellige svingemoder Siden antall svingemoder er endelig må det finnes en øvre frekvens ω D for svingningene En lydbølge kan være polarisert i tre uavhengige retninger, så vi må ha N k i gjør summen over bølgevektorer k om til et integral på vanlig måte og finner: d k N (2π) 8π 4π kd dkk 2 ωd dωω 2 2π 2 v ωd dωd(ω) der vi har substituert ω vk og definert tilstandstettheten D(ω) 2π 2 v ω2 for ω ω D (D(ω) for ω > ω D ) i utfører integrasjonen, og resultatet er likningen 2π 2 v ω D N, som gir ( 6π 2 ) / N ω D v d) Partisjonsfunksjonen for én mode er gitt ved Z(ω) e hωi/k ( e hω/k ), i og den totale partisjonsfunksjonen er gitt som produktet over alle moder av partisjonsfunksjonen for hver enkelt mode og hver polarisasjonsretning: Z ( e hω/k ) ω,pol 2

3 Helmholtz fri energi er da gitt ved F k ln Z k ln( e hω/k ), ω,pol og ved å bruke tilstandstettheten kan vi skrive dette som et integral F k 2π 2 v ωd dωω 2 ln( e hω/k ), der de tre uavhengige polarisasjonsretningene er tatt hensyn til i tilstandstettheten e) Fonongassens indre energi blir U k 2 2 ωd ln Z k dωω 2 ln( e hω/k ) 2π 2 v 2 k ωd dωω 2 ( e hω/k ) hω 2π 2 v e hω/k k 2 h ωd ω dω 2π 2 v e hω/k (k ) 4 D / 2π 2 v h dx x e x, der vi har substituert x hω/k i integralet og definert D hω D /k Av uttrykket vi fant i c) for Debye-frekvensen fås /π 2 v 6N/ωD, og vi kan derfor skrive U som ( ) k D / U 9N k dx x hω e x ( ) D / Nk dx x D ( ) Nk D D e x ed høye temperaturer D blir øvre grense i integralet, og vi kan rekkeutvikle i integranden: ( ) D / U Nk D ( 9Nk D ) ( D x dx + x ) Nk,

4 og vi får dermed det klassiske resultatet ved høye temperaturer, slik vi burde forvente f) For D blir øvre grense i integralet i Debye-funksjonen stor Siden integranden avtar raskt med x kan vi la integralet gå helt opp til x Da får vi ( ) U 9N k dx x D e x π4 5 Nk ( D ), () der vi har brukt integralet oppgitt i oppgaveteksten armekapasiteten blir da ( ) ( ) U C 2π4 5 Nk D i ser at varmekapasiteten går mot som ved lave temperaturer, i god overensstemmelse med eksperimenter Men det er også teoretiske grunner til at den klassiske varmekapasiteten N k ikke kan være riktig ved lave temperaturer: som en konsekvens av termodynamikkens hovedsetning må C når Oppgave 2 a) ed høye temperaturer er sannsynligheten for å finne mer enn én partikkel i en bestemt tilstand svært liten, og derfor blir det uvesentlig om partiklene er fermioner eller bosoner i kan derfor bruke Maxwell- Boltzmann- statistikk Se forelesningsnotatene for flere detaljer Partisjonsfunksjonen for én partikkel: Z e βɛ p 2 e βɛ p pσ p 2 d pe βɛ p (2π h) 2 8π h 4π dɛe βɛ dpp 2 δ(ɛ pc) dɛɛ 2 e βɛ π 2 ( hc) 4

5 ed å innføre tilstandstettheten D(ɛ) π 2 ( hc) ɛ2 ser vi at vi i fortsettelsen kan erstatte summer pσ med integraler dɛd(ɛ) Partisjonsfunksjonen Z kan vi regne ut ved å substituere y βɛ i integralet: Z dyy 2 e y 2 π 2 ( hc) β π 2 Partisjonsfunksjonen for gassen er gitt ved b) Indre energi: Z ZN N! ( ) k hc U k 2 ln Z Nk Entropien og kjemisk potensial kan vi finne fra Helmholtz fri energi F k ln Z Nk ln Z + k ln N! Nk ln Z + Nk ln N Nk der vi har brukt Stirlings formel ln x! x ln x x for x Entropien blir S ( ) F,N Nk ln Z + Nk ln Z Nk ln N + Nk Nk ln Z + Nk + Nk N Nk ln 2 ( ) k + 4 π 2 N hc Kjemisk potensial er gitt ved ( ) F µ N, 5

6 k ln Z + k ln N + Nk N k k ln Z k ln 2 ( ) k N π 2 N hc c) rykket finnes fra ( ) F P N, Nk ln Z Nk U d) Midlere antall partikler i et nivå med energi ɛ er nå gitt ved Fermi- Dirac-fordelingen f(ɛ) e β(ɛ µ) + ed er f(ɛ) for ɛ ɛ F bestemmes av partikkeltallet: og lik ellers Fermienergien ɛ F N π 2 ( hc) dɛd(ɛ)f(ɛ) ɛf dɛɛ 2 π 2 ( hc) ɛ F Løser vi denne likningen med hensyn på ɛ F finner vi at ɛ F µ( ) hc(π 2 ρ) /, der ρ N/ er partikkeltettheten Indre energi er bestemt av U dɛd(ɛ)f(ɛ)ɛ ɛf dɛɛ π 2 ( hc) 4π 2 ( hc) ɛ4 F 4π 2 hc(π2 ρ) 4/ 6

7 e) For fermioner er den storkanoniske partisjonsfunksjonen gitt ved og Ω finner vi ut i fra denne som Ξ pσ[ + e β(ɛp µ) ], Ω k ln Ξ k pσ ln[ + e β(ɛ p µ) ] k dɛɛ 2 ln[ + e β(ɛ µ) ] π 2 ( hc) k { [ ɛ π 2 ( hc) ln[ + e β(ɛ µ) ]] + k dɛɛ 2 ɛ π 2 ( hc) e β(ɛ µ) + dɛd(ɛ)f(ɛ)ɛ U e β(ɛ µ) dɛɛ + e β(ɛ µ) der vi har brukt delvis integrasjon Siden Ω P følger det da at P U er generelt gyldig for gassen ved alle temperaturer også når vi bruker Fermi-Dirac-statistikk f) Kjemisk potensial er bestemt av likningen N π 2 ( hc) dɛd(ɛ)f(ɛ) ɛ 2 dɛ e β(ɛ µ) + i bruker tilnærmingen oppgitt i oppgaveteksten med g(ɛ) ɛ 2 til å bestemme integralet: [ N ] µ ɛ 2 dɛ + π2 π 2 ( hc) 6 (k )2 2µ [ ] π 2 ( hc) µ + π2 (k )2 µ ( ) 2 π 2 ( hc) µ + π2 k µ 7 }

8 ed fant vi at N ( ) π 2 ( hc) ɛ F, og siden antall partikler må være bevart, får vi likningen µ + π2 ( k µ ) 2 ɛ F i antar at k ɛ F Da er det rimelig å anta at også k µ ed å bruke at ( + x) / x/ for x kan vi da skrive µ som µ ( ) 2 ɛ F + π2 k µ ( ) 2 ɛ F π2 k 9 µ / i ser at første korreksjon til µ går som (k ) 2 Da kan vi til samme orden sette µ ɛ F i parentesen på høyresiden, slik at det endelige resultatet for µ( ) ved lave temperaturer F blir Oppgave [ ( ) µ ɛ F π2 2 ] 9 F a) Denne Hamiltonfunksjonen beskriver en paramagnet ed vil spinnene være fullstendig opplinjert langs det ytre feltet, slik at m i denne grensen I grensen vil termiske fluktuasjoner fullstendig dominere over det ytre feltet og begge spinn-orienteringer vil være like sannsynlige Derfor har vi m i denne grensen b) Partisjonsfunksjonen for ett spinn: Z σ x± 2 cosh(βb) 8 e βbσx e βb + e βb

9 Gibbs fri energi pr spinn blir da G N k ln Z k ln[2 cosh(βb)] og fra denne finner vi magnetisering pr spinn: m ( ) G B N k 2 cosh(βb) 2 sinh(βb)βb tanh(βb) (2) Av dette uttrykket ser vi at m når og m når slik vi fant i a) For gitt temperatur har vi at m når B og m for B slik vi skulle vente oss for en paramagnet c) Denne Hamiltonfunksjonen kan brukes til å beskrive ferromagnetisk oppførsel i bruker middelfelt-approksimasjonen på H: H J σ x σ x x J x x x zmσ x x B eff σ x Approksimasjonen består i at vi har byttet ut nabospinnene til spinnet i x med deres middelverdi m σ x Her er z lik antall nærmeste nabospinn, for det plane, kvadratiske gitteret vi ser på er z 4 Med denne tilnærmingen ser vi at H er formelt gitt ved det samme uttrykket som i b) ed å bytte ut B med B eff kan vi overta resultatene fra b) direkte, og magnetiseringen pr spinn er da gitt ved m tanh(βb eff ) tanh ( 4Jm k Dette er likningen som bestemmer m Grafisk ser man at at denne likningen har ferromagnetiske løsninger (dvs løsninger m ) dersom [ ( ) ] d 4Jm dm tanh k m som gir at 4J k C ) 9

10 d) For temperaturer nær C er m svært liten, og da kan vi rekkeutvikle høyresiden av likningen for m: som kan skrives om til ( ) C m tanh m ( C C m ( C ) m, ) m C m i ser at m alltid er en løsning, men det er ikke den vi er interesserte i For C har vi ikke-trivielle løsninger gitt av dvs m 2 C m ± ( ) /2 C, Alternativt kan man bruke Landau-teori, se forelesningsnotatene