( ) ( Tosidig spektrum for x(t) = cos(100π t π/3) + 15 cos(400π t + π/4) 8 15/2 e jπ/4. absoluttverdi av a k 6. 5 e 5.

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "( ) ( Tosidig spektrum for x(t) = cos(100π t π/3) + 15 cos(400π t + π/4) 8 15/2 e jπ/4. absoluttverdi av a k 6. 5 e 5."

Ingebrigt Roy Simonsen
5 år siden
Visninger:

1 dr X A r n rll kontant og X k A k jφ k Forlning,. april 6 Pnum i bokn: - og -, no fra -4 ikk n dvndig å l, -6., INF og til 3-4 Ovrikt Spktrum for tignal, frkvninnholdt Bruk av Fourir-tranform FT for å brgn pktra, April 6 pktralanaly CTFT, kontinurlig-tid Fourir-tranform DTFT, dikrt-tid Fourir-tranform Valg av FT avh. av om tid og frkvn r dikrt llr kontinurlig INF4 INF4 Rptijon: Spktrum for n um av inuoidr Et ignal btånd av inuoidr har n kompakt rprntajon vd itt pktrum. Formål: Å avgj r hvordan ffktn i t ignal r ditriburt i xt A + N A k cof k t + φ k Et likt ignal kan kriv om frkvnbåndt. Tidligr har vi gjort dtt vd å l frkvn- komponntn dirkt fra uttrykk for ignalr xt og x[n]. For priodik ignalr k X + R { N X k jf k t }, har vi ogå bnyttt Fourir-rkkr. k I praki r dt nklig å kunn brgn dnn ffktfordlingn ovr frkvnbåndt dirkt fra n ndlig kvn av amplr. r dn komplk amplitudn til komponnt k. xt N { Xk jf k t + X k jf k t } Eulr invr formlr tillatr f lgnd omkriving k INF4 INF4

2 a k T T / jφ A k for k k πt π 3 a k T T / 4πt + π 4 Dt toidig pktrt til xt dfinr om ttn av N + frkvnr og komplk amplitudr. kan dtt ttt par Vi kriv om av { f,,,, f, X X,..., } X f N, f N, N, X N X all par avf k, a k Gitt n pktrallinj vd hvr frkvn f k plott linj r a k h y ogmrkt md a k hvr xt 5 + co + co 5 3 Plot av xt 5 + coπ t π/3 + 5 co4π t + π/4 Toidig pktrum for xt 5 + coπ t π/3 + 5 co4π t + π/4 Dtt r n rprntajon av xt i frkvndomnt. Gitt ny notajon for dn komplk amplitudn { / jπ/4 7 5/ jπ/4 a k A for k xt 5 aboluttvrdi av a k jπ/ jπ/3 5 3 har vi xt N a k jf k t, Tid t [] frkvn k N gitt f. INF4 INF4 Fourir-rkkr, kmpl Fourir-rkkr inuoidr, vd hjlp av Fourir-ynt. Frkvnn i t priodik ignal r all hltallmultiplr av n fll grunnfrkvn f /T. pt δt nt n Dt priodik impultogt All priodik ignalr xt kan uttrykk om n um av xt a k j T kt kan uttrykk vd Fourir-rkkr pt jkω k t a dr ω /T. Vi valurr Fourir-intgralt for å finn {a k } Fourir-ynt Fourir-analy T a k xt T j T kt δt jω kt dt T / xt j T kt T T / llr T / δt dt T T/ INF4 INF4

3 trngr altå ikk vær priodik bar dfinrt for t a k T T / T/ x T Fourir-rkkr, grn CTFT, kontinurlig-tid Fourir-tranform En gnrll dfinijon av frkvnpktrt for thvrt t j kt T T k,dr a x om Fourir-rkkr Et priodik ignal x T t, md priod T,kan rprntr vd kontinurlig-tid ignal xt. av ignalt xt analy CTFT X jω xt jωt dt t j T kt t ikk-priodik ignal xt, md ndlig lngd. Anta for t xt [ T / T /, /] xt X dω jωt jω Ogåfrkvnvariabln ω r kontinurlig. Dtt ignalt kan rprntr n priod av t priodik ignal, å lng T > T. Da kan vi lag t priodik ignal vd å rptr kopir av xt hvrt T kund. x T xt nt n Invr CTFT ynt dr xt nt r kopin om r ntrrt rundt nt. INF4 INF4 T rlativt til T vil dt priodik ignalt x T t vær Vdå k CTFT, kmpl likt dt ikk-priodik ignalt xt ovr lngr priodr. Vi hvdr at lim T xt t xt for < t < krivr Fourir-rprntajonn for x T t til om Vi ak T T / Anta dt nidig kponntial-ignalt xt 7t ut x T t jω kt dt Vi finnr Fourir-tranformn til xt vd T/ T blir fundamntalfrkvnn ω undlig litn. Ettrom {kω } nærmr g da dn kontinurlig variabln ω. Sttt ammnlignr md ligningn for CTFT, og r at Vi X jω lim T T / xt jωt dt T/ x T t jω kt dt jω jωt dt 7+jωt 7t dt X ut 7+jω 7+jω 7+jωt INF4 INF4

4 Non CTFT-par CTFT, kmpl Rprntajon av ignalt xt 7t ut, amt magnitud og fa for dn Fourir tranformrt Xjω xt.5 tiddomnt frkvndomnt tid t i kundr. Xjω frkvn ω, i nhtr av π Xjω at A ut F a+jω Aδt F F δω jω t F δω ω ax t+bx t F ax jω+bx jω A coω t + φ F πa jφ δω ω +πa jφ δω + ω frkvn ω, i nhtr av π INF4 INF4 i gir i Konvolujon multiplikajon tid frkvn xτht Konvolujonintgralt Fourir-tranform har xτht Y dt yt xt ht τdτ jω τdτ ndrr intgrajonrkkf lgn Vi Y jω xτ ht τ jωt dt ubtiturr σ og t τ jω xτ hσ jωσ dσ jωτ Y dτ xτ jωτ dτ Hjω xτ Hjω jωτ dτ HjωX jω dτ i tid gir konvolujon i frkvn Multiplikajon yt har Fourir-tranform ptxt Y jω ptxt jωt dt av invr Fourir-tranform Subtitujon gir o Y jω xt pt Vi ndrr intgrajonrkkf lgn jω Y X dλ jλt jλ jλ dλ jωt dt jλt X X jλ pt jω λt dt jλp jω λ dλ X jω P jω X dλ INF4 INF4

5 x t x c t T k + ω k ω > ω b Samplingtormt n gang til... Frkvnkift Fourir-tranformn til Finn yt xtpt, når pt jω t Vi har at jω Y X jω Pjω av priodik pultog pt. amplitud-modulajon t t x c x tpt c t n nt x n δt nt n x cnt δt nt ctδt x 4 Kontinurlig tid ignalt x c t Signal x c t ampl md priod T. Vi rp. oprajonn om og t FT-par fra litn r jω t F δω ω Dt priodik pultogt pt.5.5 jω Y jω δω ω X jω ω X Kontinurlig tid ignalt x t og dt amplitudmodulrt pultogt pt, kalt x t c 4 Da har vi tid t i kundr Så, å multiplir t ignal xt md jω t vil implthn flytt X jω til h yr lang ω-akn, md n t rrl ω. INF4 INF4 Samplingtormt n gang til... Samplingtormt vit vd CTFT Ettrom pt r priodik kan dt uttrykk vd Fourir-rkkr og vi har pt jkω k t a jkω t T jkω t T jkω c t t x finn om Fourir-tranformn X jω T c X jω kω Fourir-tranformn til t priodik pultog modulrt av x c t r av rptrt av X c jω. ammnatt priodik kopir jω X X c jω k/t T båndbgrnt ignal x c t har frkvn- innhold i områdt Et ω b ω ω. Hvr kopi i X b r ntrrt rundt k jω ω,md amm båndbrdd. Ovrlapp mllom to nabokopir unngå hvi dr ω /T. om btyr at ω > ω b INF4 INF4

6 x t x c t T Dikrt-tid Fourir-tranform DTFT Illutrajon av ovr- og undrampling i frkvndomnt.5 Xjω Fourir-tranformn til t dikrt-tid ignal x[n] X j ˆω x[n] n j ˆωn X jω, ω > ω b r n funkjon av dn kontinurlig frkvnvariabln ˆω, og r priodik md..5 Gitt at x[n] r amplt fra t kontinurlig-tid ignal xt, viadt modulrt impultogt x t. To formr for x t r X jω, ω < ω b jkω t.5 Vinkl ω, i nhtr av ω b og x t x c t δt nt n x c nt δt nt n INF4 INF4 finnr ogå to formr for Fourir- tranformn, nmlig Vi og X jω T c X jω nω n x c nt δt nt jωt X dt jωt n nt x c n j jωt ˆωn jω n n x[n] x[n] n n ˆω uttrykkt ndtft:x ˆωn x[n] j n j for r Dtt omvndt oprajonn r dn invr DTFT Dn π x[n] π X j ˆω j ˆωn d ˆω mllom og r da Sammnhngn ˆω DTFT CTFT X X jωt j ˆωωT T For t båndbgrnt ignal xt, gitt vd c X jω k/t X c jω for ω π/t, ovrlappr ikk d kiftd kopin X c jω lω x t c X jωt T X c jω C til D omformr T /f x[n] for ω π/t DTFT jωt X INF4 INF4

7 kmpl. Signalt x c t coω b t r båndbgrnt og DTFT, ampl md priod T π/ω b til kan x[n] x c nt coω b nt coˆω b n CTFT av x c t r X c jω πδω ω b +πδω + ω b DTFT vi uttrykk har to For jωt X n coω b nt jωnt T c X jω kω jωt X c jω π δω X ω b +δω + ω b T T Pga tiltrkklig ampling vt vi at ˆω π X δˆω ˆω j b +δˆω + ˆω b T om gj r atvikan kriv DTFT om for ω ω b. INF4

Like dokumenter

Repetisjon: Spektrum for en sum av sinusoider

Repetisjon: Spektrum for en sum av sinusoider Forelesning 9. april 4 Pensum i boken: - og -, noe fra -4 ikke nødvendig å lese, -6., -8-3. og -3.5 3- til 3-4 Oversikt Spektrum for et signal, frekvensinnholdet Bruk av Fourier-transform FT for å beregne