pdf

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "pdf"

Thorstein Mathias Bråten
7 år siden
Visninger:

1 FILTERDESIGN Ukeoppgavene skal leveres som selvstendige arbeider. Det forventes at alle har satt seg inn i instituttets krav til innleverte oppgaver: Norsk versjon: Engelsk versjon: Krav til godkjenning av innleverte oppgaver er beskrevet i filen: pdf Denne uken er oppgavesettet todelt. Først er det oppgaver om filterdesign, deretter kommer fjorårets eksamen. Totalt er det mer enn 0 poeng på dette oppgavesettet. Det er likevel ikke mulig å oppnå mer enn 0 poeng denne uka. Oppgave Betrakt pol-nullpunktsplottet vist i figuren under. a) Avgjør og begrunn om det representerer et FIR filter. b) Avgjør og begrunn om systemet har lineær fase. Oppgave.5 I denne oppgaven skal du designe et enkelt reelt diskret filter som slipper igjennom frekvensen w = π/4 uten demping og stopper frekvensen w = π/. a) Hvilke krav gir dette til filterets frekvensrespons, H(w). b) Bestem filterets systemfunksjon, H(z). c) Hva blir filterets impulsrespons, h(n).

2 Oppgave 3 Vekt:.5 Oppgave 4 Oppgave 0.8 fra boka Oppgave 5 Oppgave 0.0 fra boka Oppgave 6 Oppgave 0. fra boka Oppgave 7 Oppgave 0.0 fra boka

3 EKSAMEN 008 Oppgave Fourier-transformasjon Vekt: Fourier-transformasjonen til et signal x[n] er gitt som (Ω) = e jω. Skisser magnituden til Fourier-transformasjonen til signalet. Finn et uttrykk for fasen til Fourier-transformasjonen til signalet. (Det skal ikke plottes!) Husk akser og benevning på plottet. Oppgave Opp- og nedsampling Vekt: Et signal x[n] har Fourier transformasjon (Ω) som gitt under (Ω) 0 π/3 π/ π Ω Signalet benyttes som inngangssignal på systemene I og II definert under: I: x[n] 3 w [n] H 0 (z) z [n] y [n] II: x[n] w [n] 3 z [n] H 0 (z) y [n] M betyr nedsampling med faktor M (beholde hvert Mte sampel) og N betyr null-interpolering med faktor N (sette inn N nuller mellom hvert sampel). H 0 (z) er et ideelt lavpassfilter med cut-off frekvens w c = π/3 og forsterkning (gain) lik. For begge systemer, skisser Fourier transformasjonen til signalene w [n], w [n], z [n], z [n], y [n] og y [n]. Husk akser og benevning på alle plott. Oppgave IIR-filtre Vekt: Et kausalt IIR-filter med én, reell pol z p har impulsrespons: h[n] = α n u[n], α > 0 () a) Gitt systemet med impulsrespons h[n] gitt av (), finn systemfunksjonen H(z) med tilhørende ROC og pol. b) Finn systemfunksjonen H (z) med tilhørende ROC, og tegn pol/nullpunkts plott for α = 0.5, for systemet med impulsrespons h [n] = h[n] cos(πn) () c) Finn frekvensresponsen H (Ω) uttrykt ved H(Ω). Beskriv hva slags filtre h[n] og h [n] er hvis 0.5 < α <. d) La oss se på operasjonen i ligning () som et system T { } slik at h [n] = T {h[n]}. Vis at systemet T { } ikke er LTI. Oppgave Sampling Vekt:.5 Vi vet at for at et signal x(t) skal kunne rekonstrueres perfekt fra en sampling x[n] = x(nt s ) = x( n F s ) så må vi ha F s > F max (3) der F max er den høyeste frekvensen i signalet x(t). Hvis ikke dette er tilfredsstilt, vil alle frekvenser f > Fs nå se på hva som skjer med frekvensen Fs. aliases. Vi skal 3

4 a) Finn et uttrykk for x[n] gitt x(t) = cos(π00t + π/) og F s = 400 Hz. b) Finn uttrykk x [n] og x [n] gitt x (t) = cos(π00t + π/4), x (t) = cos(π00t) og F s = 400 Hz. c) Vis at for et signal x(t) = A cos(πf s t + φ), uansett valg av parametrene A, φ, så finnes det alltid et annet signal w(t) = B cos(πf s t) slik at x[n] = w[n] når samplingsraten er lik F s. Beregn B som funksjon av A og φ. Hint: Finn et generelt uttrykk for forholdet mellom x[n] og x[n + ], og bruk dette til å regne ut verdien for B fra de kjente verdiene A, φ. Oppgave MA-filtre Vekt: Et MA-filter av orden K er et kausalt FIR-filter med K koeffisienter, og en impulsrespons gitt ved : h[n] = K K k=0 δ[n k] (4) a) Finn frekvensresponsen H(Ω) til MA-filteret av orden K. b) Finn ved regning hvor mange nullpunkter et MA-filter av orden K har, og hvilke frekvenser de nuller ut. c) Hvilke ordner kan et MA-filter ha hvis det skal nulle ut frekvensen Ω = π P, der P er et heltall. d) Vis at et MA-filter av orden K kan implementeres som et FIR-filter med impulsrespons h F IR [n] i kaskade med et IIR-filter med impulsrespons h IIR [n] der Formulas Some basic relations: Convolution: h F IR [n] = K (δ[n] δ[n K]), h IIR[n] = u[n] (5) y[n] = x[n] h[n] = The Discrete time Fourier transform (DTFT): sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α sin α + sin β = sin α + β sin α sin β = sin α + β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β cos α + sin α = cos α = (ejα + e jα ) cos α β sin α β cos α β sin α β sin α = j (ejα e jα ) ( N for a = a n = otherwise N n=0 a N a ax + bx + c = 0 x ± = b ± b 4ac a k= x[k]h[n k] = Analysis: (Ω) = = Syntesis: x[n] = π k= n= Z π π x[n k]h[k] = h[n] x[n] x(n)e jωn (Ω)e jωn dω 4

5 The Discrete Fourier transform (DFT): Analysis: [k] = N n=0 Syntesis: x[n] = N x[n]e jπkn/n, 0 k N N k=0 [k]e jπkn/n, 0 k N The z-transform: Expectation and variance Analyse: (z) = n= x[n]z n Expectation: E{x(ζ)] µ x = ( P k x kp k x(ζ) discrete R xfx(x)dx Varianse: var[x(ζ)] = σ x = γ () x = E{[x(ζ) µ x] } x(ζ) continuous 5

Like dokumenter

FILTERDESIGN Ukeoppgavene skal leveres som selvstendige arbeider. Det forventes at alle har satt seg inn i instituttets krav til innleverte oppgaver: Norsk versjon: http://www.ifi.uio.no/studinf/skjemaer/erklaring.pdf