Løsningsforslag til prøveeksamen i fag SIG50 Signalbehandling

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Løsningsforslag til prøveeksamen i fag SIG50 Signalbehandling"

Berit Engebretsen
7 år siden
Visninger:

1 Løsningsforslg til prøveeksmen i fg SIG50 Signlbehndling (Våren-0) Av Finn Hugen (fglærer). 4. februr Det må smples med smplingsfrekvens høyere enn gnger signlfrekvensen for t nedfolding skl unngås, dvs. f T > f [Hz].. Derivsjon v regultorfunksjonen gir 3. u(t) K p ė(t)+ K p T i e(t) som med Eulers bkovermetode for derivsjonspproksimsjon gir u(k) u(k 1) e(k) e(k 1) K p + K p e(k) T s T s T i som ordnet gir u(k) u(k 1) + K p [e(k) e(k 1)] + K pt s e(k) T i () Ved stsjonære forhold hr lle signler konstnte verdier, slik t betydningen v tidsindeksen fller bort. Filterfunksjonen kn d skrives som (subindeks s står for stsjonær) som gir y s y s +(1 )u s y s u s hvilket viser t DC-signler (konstnte signler) slipper uendret igjennom filteret (utgngen er jo lik inngngen). (b) z-trnsformsjon v filterfunksjonen gir y(z) y(z)+(1 )u(z) som ordnet gir trnsferfunksjonen y(z) u(z) 1 (1 )z 1 z 1 z 1

2 u[n] 1- (1-)u[n] y[n] y[n-1] z -1 Figur 1: Blokkdigrm for filterfunksjonen (c) Blokkdigrmmet er vist i figur 1. (d) Fr filtefunksjonen får vi y[0] y[ 1] + (1 )u[0] (1 )u[0] y[1] y[0] + (1 )u[1] {(1 )u[0]} +(1 )u[1] 4. () Kryssmultipliserer trnsferfunksjonsuttrykket, hvilket gir ³ bz + cz + d x(z) z u(z) som kn skrives som inverstrnsformert gir bz x(z)+czx(z)+dx(z) z u(z) bx[n +]+cx[n +1]+dx[n] u[n +] som også kn skrives slik (etter frtrekk v i hver tidsindeks): x[n] cx[n 1] dx[n ] + u[n] b (b) Frekvensresponsen er H(e jω ) (e jω ) b(e jω ) + c(e jω )+d 5. Amplitudeforsterkningen er G(e jω ) be jω + c b(cos ω + j sin ω)+c

3 b(cos ω + j sin ω)+c (b cos ω + c)+jbsin ω q (b cos ω + c) +(bsin ω) 6. Et system er kuslt dersom responsen på utgngen ikke kommer før responsen på utgngen. 7. Eksempel på et FIR-filter: Eksempel på et IIR-filter: y[n] 1 (u[n]+u[n 1]) y[n] y[n 1] + bu[n] Vesensforskjellen mellom disse to filtertypene er t FIR-filteres impulsrespons er null etter et bestemt ntll tidsskritt, mens IIR-filteres impulsrespons konvergerer mot null, men er ldri ekskt null, når tidsindeksen går mot uendelig. 8. Et filter med lineær fse medfører t lle frekvenskomponenter (unsett frekvens) på inngngen får smme tidsforsinkelse gjennom filteret. 9. Se figur. 10. () pzmp: Beregner (og evt. plotter) systemets poler. (b) lsim: Simulerer (og evt. plotter) systemet med et fritt definert inngngssignl. (c) tf: Genererer en LTI-modell (LTI-objekt). (d) bode: Beregner (og evt. plotter) systemets frekvensrespons. (e) step: Simulerer (og evt. plotter) systemet med enhetssprng på inngngen. 11. Polen er roten i den krkteristiske likning: Polen er således cz + d 0 z 1 d c 3

4 Amplitudeforsterkning Lvpss: Frekvens Høypss: Båndstopp: Båndpss: Figur : Ideelle mplitudekrkteristikker for forskjellige filtertyper Systemet er symptotisk stbilt dersom polen(e) ligger innenfor enhetssirkelen, dvs. dersom d c < 1 1. Dersom et plott v mplituden v DFT (diskret Fourier-trnsformen) viser tydelige spikere ved visse frekvenser, inneholder signlet bl.. disse frekvenskomponentene. Dette skyldes t DFT v et sinussignl (eller cosinus) er en impul ved signlets frekvens. 13. De to første verdiene v signlets DFT: X[0] x[0]e jπ 0 0/N + x[1]e jπ 0 1/N x[0] + x[1] X[1] x[0]e jπ 1 0/N + x[1]e jπ 1 1/N x[0] + x[1]e jπ/n 4

5 14. Beregn båndbredden i rd/smple slik: ω c πf c T Beregn frekvenskorrigert båndbredde i rd/sek slik: Ω c µ T tn ωc Finn s-trnsferfunksjonen H (s) for (det nloge). ordens Butterworth lvpssfilteret ut fr Ω c. Finn det diskrete filterets z-trnsferfunksjon H d (s) ved å nvende den bilineære trnsformsjonen på H (s). s T 1 z 1 1+z Reguleringssystemets stbilitetsegenskper bestemmes ved å undersøke plsseringen v polene v reguleringssystemets følgeforhold M(z) h r(z)h p (z) 1+h r (z)h p (z) Reguleringssystemets båndbredde finnes som 3 db-frekvensen i M(e mplitudekrkteristikken i følgeforholdets frekvensresponsenm dvs. i jω ). 16. r xy [0] x[n]y[n 0] x[n]y[n] n n x[0]y[0] + x[1]y[1] + x[]y[] r xy [1] n x[n]y[n 1] x[1]y[0] + x[]y[1] 17. Signlets utokorrelsjonsfunksjon beregnes. Dersom utokorrelsjonsfunksjonen for tidsforskyvning 0 hr betydelig større verdi enn for ndre verdier v forskyvningen, kn vi konkludere t signl hr utpreget hvit-støy-krkter. 5

Like dokumenter

Institutt for elektroteknikk og databehandling

Institutt for elektroteknikk og dtbehndling Stvnger, 7. mi 997 Løsningsforslg til eksmen i TE 9 Signler og Systemer, 6. mi 997 Oppgve ) Et system er lineært dersom superposisjonsprinsippet gjelder, d.v.s.