Forelesning, 23.februar INF2400 Sampling II. Øyvind Ryan. Februar 2006

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Forelesning, 23.februar INF2400 Sampling II. Øyvind Ryan. Februar 2006"

Therese Hoff
4 år siden
Visninger:

1 INF2400 Februar 2006 INF2400

2 Innhold Delkapitlene fra læreboken, 4.3 er til selvstudium. Repetisjon om sampling og aliasing Diskret-til-kontinuerlig omforming Interpolasjon med pulser Oversamling bedrer interpolasjon Ideell båndbegrenset interpolasjon INF2400

3 Nyquist-Shannons samplingsteorem, repetisjon Et kontinuerlig-tid signal x(t) med høyeste frekvens f max kan rekonstrueres eksakt fra samplet versjon x[n] = x(nt s ), hvis samplingsraten f s = 1/T s tilfredsstiller f s > 2 f max. Undersampling, med f s < 2 f max, fører til aliasing og folding. INF2400

4 Aliasing, repetisjon Når for lav samplingsrate gjør at det samplede, tidsdiskrete signalet x[n] = x(nt s ) inneholder frekvenser som ikke nnes i det kontinuerlige signalet x(t). Vi sampler signalet med samplingsfrekvens f s : x(t) = cos(ω 0 t + φ) x[n] = x(nt s ) = cos(ω 0 T s n + φ) Lærte forrige gang hvordan en sekvens av sampler på denne formen kan rekonstrueres. Blant aliasfrekvensene {ω 0 T s + 2πl}, { ω 0 T s + 2πl}, l = 0, ±1, ±2,..., velg den som ligger nærmest 0 (prinsipal alias). Substituer til slutt ω = ˆω/T s. Hvis f s < 2f max vil denne ω være lavere enn opprinnelig frekvens i x(t). INF2400

5 Diskret-til-kontinuerlig omforming En ideell D-til-K omformer interpolerer en kontinuerlig funksjon fra tidsdiskrete sampler x[n]. Interpolerende: Får laget en kontinuerlig funksjon y re (t) s.a. y re (nt s ) = y[n] En reell implementasjon av en D-til-K omformer kaller vi en digital-til-analog (D-til-A eller D/A) omformer. Har to muligheter: 1 Kjenner formel for det diskrete signalet 2 Kjenner ingen slik formel INF2400

6 Diskret-til-kontinuerlig omforming Vi har sett på tilfeller fra 1) der y[n] = A cos(2π f 0 n T s + φ), Substitusjonen n = f s t vil reprodusere det originale signalet y re (t) = A cos(2π f 0 t + φ) såfremt det er samplet i henhold til samplingsteoremet. Typisk kjenner vi ingen formel for det diskrete signalet (2)). Vi vil prøve å lage forskjellige interpolerende D-K omformere. INF2400

7 Interpolasjon med pulser En generell klasse med D-til-K omformere kan beskrives ved y re (t) = y[n]p(t nt s ) n= p(t) kalles den karakteristiske pulsformen til omformeren. Signalet y re (t) består til enhver tid av en sum av diskrete verdier multiplisert med pulsen. y re (t) =... + y[ 2]p(t + 2T s ) + y[ 1]p(t + T s ) + y[0]p(t) + y[1]p(t T s ) + y[2]p(t + 2T s ) +... Valget av pulsform er fritt, men inuerer kvaliteten på interpolasjonen. INF2400

8 Endelig pulsvarighet For pulser med endelig pulsvarighet T p p(t) 0 kun for T p 2 < t T p 2 kreves at T p T s. For slike tilfeller vil y re (t) = y[n]p(t nt s ), n= reduseres til endelig sum. Grensene er gitt ved T p 2 <t nt s T p 2 n Z for alle t. t T s T p 2T s n < t T s + T p 2T s INF2400

9 Lenger pulsvarighet vil si å rekonstruere ved å interpolere med ere sampler. Typer interpolasjon med pulser vi skal se på: Zero-order hold interpolasjon Lineær interpolasjon Kubisk spline interpolasjon Ideell båndbegrenset interpolasjon De første er de enkleste. De tre første har endelig pulsvarighet. INF2400

10 Zero-order hold interpolasjon En enkel form for interpolasjon, der T p = T s. p(t) = { T s < t 1 2 T s 0 ellers INF2400

11 Zero-order hold interpolasjon II Gitt T p = T s, er n begrenset av t T s 1 2 n < t T s som bare holder for ett heltall; y re (t) for en gitt t er altså bare avhengig av en sekvensverdi y[n]. Det rekonstruerte signalet y re (t) får da konstant amplitude y[n], med senter i t = nt s. Hullene mellom samplene er nå fylt. De rekonstruerte signalet y re (t) er ikke kontinuerlig. INF2400

12 Zero-order hold interpolasjon, illustrasjon f 0 = 177 Hz f s = 500 Hz T s = 2 ms Zero-order hold interpolasjon er ingen ideell D-til-K omforming. INF2400

13 Lineær interpolasjon Vi interpolerer lineært ved bruk av en puls bestående av et førsteordens polynom, som trekantpulsen p(t) = { 1 t T T s s t T s 0 ellers INF2400

14 Lineær interpolasjon Ettersom T p = 2T s t 1 n t + 1 T s T s Hvis t kt s kan n ta to verdier, slik at y re (t) for en gitt t avhenger av puls- og sampleverdier for to verdier av n. har vi Hvis t = kt s kt s T s 1 n kt s T s + 1 k 1 n k + 1 Det rekonstruerte signalet y re (t) for en gitt t avhenger av puls- og sampleverdier for tre verdier av n. INF2400

15 Lineær interpolasjon Interpolasjonsligningen innsatt t = kt s y re (kt s ) = gir k+1 n=k 1 y re (t) = n= y[n]p(kt s nt s ) y[n]p(t nt s ) =y[k 1]p(kT s (k 1)T s ) + y[k]p(kt s kt s )+ y[k + 1]p(kT s (k + 1)T s ) =y[k 1]p(T s ) + y[k]p(0) + y[k + 1]p( T s ) = y[k] I samplingspunktene har altså det rekonstruerte signalet y re (t) eksakt verdi: y re (nt s ) = y[n] = y(nt s ) for n Z INF2400

16 Lineær interpolasjon, illustrasjon f 0 = 177 Hz, f s = 500 Hz = T s = 2 ms INF2400

17 Interpolasjon med kubisk spline En kubisk spline p(t) består av tidssegmenter av (forskjellige) tredjegrads polynomer. Vi krever kontinuitet av funksjonen og dens første- og andrederiverte. For vårt formål setter vi T p = 4T s, slik at p(t) = 0 for t < 2T s og t > 2T s og krever i tillegg at p(t) = 0 for t = ±T s, ±2T s og p(0) = 1. INF2400

18 Interpolasjon med kubisk spline INF2400

19 Ettersom T p = 4T s Hvis t kt s sum av 4 pulser. Hvis t = kt s har vi t T s 2 n t T s + 2 kan n ta 4 verdier, slik at y re (t) for en gitt t er en kt s T s Indeksen n kan ta 5 verdier, men 2 n kt s T s + 2 k 2 n k + 2 p(kt s nt s ) = 0 for n = {k 2, k 1, k + 1, k + 2} Det rekonstruerte signalet y re (t) for en gitt t avhenger av puls- og sampleverdi for kun en n. y re (kt s ) = y[n]p(kt s kt s ) = y[n] INF2400

20 f 0 = 177 Hz, f s = 500 Hz = T s = 2 ms Konklusjon Valget av puls p(t) har mye å si for kvaliteten på rekonstruksjonen. En glatt og langvarig puls gir et signal y re (t) nærmest originalen y(t). INF2400

21 Oversampling som interpolasjonshjelp I tillegg til valget av pulsform p(t) har både samplingsraten f s og variasjonen i det originale signalet y(t) noe å si for kvaliteten på rekonstruksjonen. Ved å øke samplingsraten vil signalet forandre seg mindre på en periode T s, slik at approksimasjonene er bedre. INF2400

22 Interpolasjon med oversampling f 0 = 177 Hz, f s = 900 Hz INF2400

23 Ideell båndbegrenset interpolasjon Pulsen tilhørende ideell D-til-K omforming er gitt ved en såkalt sinc-funksjon. p(t) = sin ( ) π Ts t π t 0 Ts t 1 t = 0 INF2400

24 Sinc-pulsen Pulsen er uendelig lang, denert for < t < Det betyr at alle sampler y[n] brukes for å rekonstruere signalet ved en gitt tid t. Vi ser at p(t) = 0 for t = kt s, k 0 Bruk av p(t) gir båndbegrenset interpolasjon, som alltid vil rekonstruere en sinusoide eksakt (gitt at f s 2f 0 ). INF2400

25 Sinc-pulsen og samplingsteoremet I beviset for samplingsteoremet klarer man å uttrykke den kontinuerlige funksjonen y(t) ved y(t) = n= y[n]p(t nt s ) der p(t) er sinc-pulsen, såfremt man sampler raskere enn Nyquist-raten. Beviset bruker Fourier tranform for ikke-periodiske funksjoner. For beviset, se kap i boka, eller i INF3440-boka INF2400

26 Hvorfor båndbegrenset? Sinc-pulsen er ikke periodisk. Har bare lært å ta Fouriertransform for periodiske funksjoner. I kap. 11 lærer vi å ta Fouriertransform for ikke-periodiske funksjoner og. Der regner vi og ut sinc-pulsens Fouriertransform. Hvis p(t) er en sinc-puls bruker vi ordet båndbegrenset siden dens Fouriertransform er 0 kun for begrensede frekvenser. INF2400

27 Oppsummering Målet med kapittel 4 er å presentere og bekrefte nytten av Nyquist-Shannons samplingsteorem, som er meget sentralt innen digital signalbehandling. Vi repeterer: Et kontinuerlig-tid signal x(t) med høyeste frekvens f max kan rekonstrueres eksakt fra samplet versjon x[n] = x(nt s ), hvis samplingsraten f s = 1/T s tilfredsstiller f s > 2 f max. Regelen gjelder for alle signaler med en høyeste frekvens f max. En sum av sinusoider N N x(t) = x k (t) = A k cos(2πf k t + φ k ) k=1 k=1 er et slikt signal, der vi gjerne antar at 0 f 0 f N f max INF2400

28 Sampling av en sum av sinusoider Det kan genereres uendelig mange signaler på formen x(t), både periodiske og ikke-periodiske. Sampling med raten f s = 1/T s gir x[n] = x(nt s ) = N k=1 x k (nts) = N x k [n] k=1 der og x k [n] = A k cos( ˆω k n + φ k ) ˆω k = 2πf k f s INF2400

29 Rekonstruksjon av en sum av sinusoider Rekonstruksjon med pulsforming gir x re (t) = x[n]p(t nt s ), n= der p(t) for ideell D-til-K er sinc-funksjonen. Innsatt for x[n] ( N ) x re (t) = x k [n] p(t nt s ) = n= k=1 ( N k=1 n= x k [n]p(t nt s ) Vi antar f s > 2f k omformeren eksakt rekonstruerer alle komponentene. for alle k [1, N], slik at den ideelle D-til-K N x re (t) = x k (t) = x(t) k=1 INF2400 )

30 Neste gang i boka. FIR-ltre glidende middel et generelt FIR-lter enhetsimpulsresponsen konvolusjon INF2400

Like dokumenter

Forelesning, 17.februar INF2400 Sampling II. Øyvind Ryan. Februar 2005

Forelesning, 17.februar INF2400 Sampling II. Øyvind Ryan. Februar 2005 INF2400 Februar 2005 INF2400 Innhold Delkapitlene 4.4-4.6 fra læreboken, 4.3 er til selvstudium. Repetisjon om sampling og aliasing Diskret-til-kontinuerlig omforming Interpolasjon med pulser Oversamling