LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling"

Knut Holm
7 år siden
Visninger:

1 Side 1 av 4 HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet EL/RT LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Tid: Fredag , kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Eksamen består av 4 sider (derav 1 side med formler) og 12 oppgaver. Faglærer: Førsteamanuensis, Dr.ing. Per J. Nicklasson, Tlf Hver deloppgave som er nummerert med tall eller bokstav gir 5 poeng.

2 Side 2 av 4 Oppgaver 1. Anta at et system har følgende sammenheng mellom inngang xn og utgang yn : yn axn n d, a 0. Utled uttrykk for absoluttverdi og fase av systemet frekvensrespons He j. Løsningen kan finnes på to alternative måter, enten ved å la xn e jn være inngang til systemet, eller ved å benytte impulsresponsen hn n n d. Første alternativ gir yn ae jn nd ae jn d e jn,dvs.athe j ae jn d. Ved å benytte den andre fremgansmåten og definisjonen på frekvensresponsen He j hke jk, finner vi at He j an n d e jn ae jn d. Videre finner vi at He j a og He j n d n 2. Anta at vi har gitt følgende differensligning for et diskret system: yn ayn 1 xn, a 0. a. Vis at for xn Kn og y 1 c, vil utgangen for n 0 være gitt som yn a n1 c a n K Finner ved innsetting at y0 ac K, y1 ay0 a 2 c ak, y2 ay1 a 3 c a 2 K osv. Vi ser at y1 ay0 a 2 c ak b. Hva blir yn for n 0 og det totale uttrykket yn,- n? For å finne yn for n 0 løser vi ut yn 1 fra differensligningen, og får yn 1 1/ayn xn. Vi kan nå beregne y 1 c, y 2 1/ay 1 c/a, y 3 1/ay 2 c/a 2, y 4 1/ay 3 c/a 3 eller yn a n1 c, n 1 Ved å summere ligningen fra delspørsmålene a) og b), får vi yn a n1 c Ka n un 3. Beregn konvolusjonen av følgene 1,4,17,36 og 4,7, 5,15. Begge følgene starter i tidsindeks n 0. 1,4,17,36 4,7, 5,15 4,23,91,258,227,75, Anta at Xz log1 az 1, z a. Vis at xn 1 n 1 a n /nun 1. Hint: Se tabellen for z-transformerte. Vi benytter sammenhengen nxn z dxz. Først beregninger vi den deriverte av Xz mhp. z, dz dxz az 2.Vifår z dxz az 1,ogsiden az 1 az 1 1 a a n 1 un 1, dz 1az 1 dz 1az 1 1az 1 1 az 1 får vi nxn a a n 1 un 1 1 n 1 a n un 1. Ved å løse mhp. xn får vi xn 1 n 1 a n /nun Lag plot av poler og nullpunkter, og skisser konvergensområdet for følgende z-transformerte: 1 1/3z 1 a. Xz, xn kausal 11/2z 1 1 2/3z 1 Poler i -1/2 og 2/3. Nullpunkt i 1/3. Konvergensområdet må ligge utenfor ytterste pol, siden xn er kausal. Se figuren under k

b. Xz 1z 1 2z 2, xn absolutt summerbar 1 13/6z 1 z 2 Poler i 3/2 og 2/3. Nullpunkter i 1 og -2. Siden xn er absolutt summerbar, må enhetsirkelen være med i konvergensområdet, se figuren under. 6.

Gitt et signalflytgrafen for et system som vist i figuren under: a. Sett opp differensligninger for un, wn og yn. un Gxn wn 1 wn run 1 ryn 1 yn 1 run ryn 1 b. Utled Hz Yz/Xz for systemet.

3 b. Xz 1z 1 2z 2, xn absolutt summerbar 1 13/6z 1 z 2 Poler i 3/2 og 2/3. Nullpunkter i 1 og -2. Siden xn er absolutt summerbar, må enhetsirkelen være med i konvergensområdet, se figuren under. 6. Forklar kort hva som er hensikten med ulike strukturer i form av signalflygrafer for diskrete systemer. Stikkord: Beregningsbehov, numeriske betraktninger, lagringsbehov, parallellisering. 7. Gitt et signalflytgrafen for et system som vist i figuren under: a. Sett opp differensligninger for un, wn og yn. un Gxn wn 1 wn run 1 ryn 1 yn 1 run ryn 1 b. Utled Hz Yz/Xz for systemet. Z-transformerer differensligningene over: Uz GXz z 1 Wz Wz ruz 1 rz 1 Yz Yz 1 ruz rz 1 Yz Fra siste ligning får vi Uz 1 rz 1 /1 ryz og fra første og andre ligning får vi Uz GXz rz 1 Uz 1 rz 2 Yz, som gir Uz 1/1 rz 1 GXz 1 rz 2 Yz. Vi sammenligner de to ligningene for Uz,og får 1 rz 1 /1 ryz 1/1 rz 1 GXz 1 rz 2 Yz som gir 1 rz 1 /1 r 1/1 rz 1 1 rz 2 Yz G/1 rz 1 Xz. Fra denne ligningen finner vi Hz Yz/Xz G/1rz 1 1rz 1 /1r1/1rz 1 1 rz 2 G1r 1rz 1 2 1r1 rz 2 G1 r/1 2rz 1

4 8. Gitt signalflytgrafen i figuren under. Tegn den transponerte av signalflytgrafen. xn skal være til venstre i figuren.

5 Side 3 av 4 9. Forklar kort prinsippene bak to forskjellige fremgangsmåter for design av diskrete IIR-filtre. Impulsinvariansmetoden, der impulsinvariansen til det diskrete systemet skal være lik impulsinvariansen til et analogt system i gitte tidspunkter. Vi designer det analoge systemet som tilfredsstiller gitte designkrav til frekvensresponsen (disse er igjen gjerne oversatt fra krav gitt mhp. frekvensrespons for diskrete systemer), tar ut punkter fra impulsresponsen hn Th c nt, og z-transformerer den følgen som da fremkommer for å finne Hz, som igjen gir grunnlag for en diskret implementasjon. Vi vet da at He j Hj/T,. Det analoge systemet må være båndbegrenset. Alternativt kan vi benytte den bilineære transformasjonen, der vi også designer et analogt system med transferfunksjon H c s først, og så setter vi inn s 2/T d 1 z 1 /1 z 1 for å finne Hz. 10. Forklar kort prinsippene bak to forskjellige fremgangsmåter for design av diskrete FIR-filtre. Ved bruk av vindusmetoden går vi ut fra et ideelt system med ønsket frekvensrespons H d e j h d ne jn som er i henhold til gitt designkrav. For å gjøre systemet realisertbart, n plukker vi så ut en del av den tilsvarende impulsreponsen ved å benytte en eller annen vindusfunksjon av begrenset lengde, dvs. hn h d nwn. I stedenfor den ideelle frekvensresponsen med loddrette flanker og null fase, får vi nå en frekvensrespons som ligner, men som har rippel, slakkere flanker og fase ulik null. Fasen gjøres vanligvis lineær, ved å forlange symmetrigenskaper av den ideelle frekvensresponsen og vindusfunksjonen. Den andre fremgangsmåten går ut på å benytte en metode som ved bruk av en iterativ algoritme kommer nærmest mulig en ideell spesifisert frekvensrespons. Et mål for nærheten er ofte angitt med maksimalt tillatt avvik fra den ideelle responsen. Dette kan også være vektet mhp. frekvens, dvs. at størrelsen av avviket er viktigere i enkelte frekvensområder enn i andre. Det er vanlig å forsøke å komme frem til en polynomisk funksjon som kommer nærmest mulig opp mot den ideelle frekvensresponsen. Man lager seg et polynom utfra en intiell kvalifisert gjetning, og endrer formen av dette for hver iterasjon. Når kravet til nærhet er oppnådd, stopper algoritmen, og koeffisientene til filterets impulsrespons fremkommer. 11. Forklar hva som menes med begrepet DFS, og hvordan en kan komme frem til DFT en for en diskret følge av endelig lengde fra DFS en til en assosiert følge. Sett opp formler for syntese- og analyse-ligningen for både DFS og DFT. Med DFS mener vi den diskrete Fourier-serien til en periodisk følge x n med periode N,dvs. x n x n N. Xk xnw kn N, xn 1 XkW kn N N, W N e j2/n n0 k0 x n 1 X kw kn N N,W N e j2/n k0 kn X k x nw N n0 (syntese-ligningen) (analyse-ligningen) X k kan enten tolkes som en en følge av endelig lengde, eller som en periodisk følge. Dersom vi har en følge xn av endelig lengde N, kan vi gjøre denne periodisk ved å repetere den langs tidsaksen. Dersom vi nå beregner DFS en til denne assosierte periodiske følgen, og plukker ut en periode av X k, får vi den diskrete Fourier-transformen eller DFT en til xn.vi Koeffisientene Xk kan vi assosiere med sampler av Fourier-transformen til xn, dvs. sampler av Xe j.

6 xn 1 XkW kn N N,W N e j2/n k0 kn Xk xnw N n0 (syntese-ligningen) (analyse-ligningen) 12. Forklar hvordan resultatet av en konvolusjon yn hn xn kan beregnes vha. FFT er. Anta at både xn og hn har endelige lengder. Forklar spesielt hvilke forutsetninger som må være oppfylt foratresultatetskalbliriktig. Vi benytter oss av at konvolusjon i tidsdomenet blir til multiplikasjon i frekvensplanet, slik at vi kan beregne yn fra yn IFFT{FFT{hn}FFT{xn}}. IFFT{} betegner den inverse N-punkts DFT en, dvs. synteseligningen, implementert vha. FFT. Vi må merke oss at i dette tilfellet når DFT er benyttes istedenfor Fourier-transformerte (f.eks. Xe j ), vil multiplikasjon av DFT er tilsvare sirkulær konvolusjon av tilsvarende tidsfunksjoner. For at sirkulær konvolusjon skal gi det samme resultatet som lineær konvolusjon må lengden av DFT ene, N, være slik at N L P 1, der L er lengden av xnog P er lengden av hn.

Like dokumenter

EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling

HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side 1 av 4 EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Tid: Tirsdag 07.03.2006, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler: