Dagens temaer. Tema. Time 6: Analyse i frekvensdomenet. z-transformasjonen. Fra forrige gang. Frekvensrespons funksjonen

Transkript

1 Dagens temaer Time 6: Analyse i frekvensdomenet Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Oktober 2009 Fra forrige gang Frekvensrespons funksjonen Fourier rekker og transformer Egenskaper til DT Fourier transform LTI systemer som frekvens-selektive filtre 2 Tema Fra forrige gang z-transformasjonen DTFT; Diskret tid Fourier transformasjon z-transformasjonen Definisjon; formel + ROC Egenskaper Drøfte systemer vha z-transformen Invers z-transformasjon Poler og nullpunkter 3 4

2 Egenfunksjoner til et LTI system La Da er x[n] = e jnω, < n <, Ω [ π, π]. y[n] = h[n] x[n] = k= h[k]x[n k] = k= h[k]ejω(n k) = e jnω k= h[k]e jkω = H(Ω)e jnω = H(Ω)x[n]. dvs at egenfunksjonen til et LTI system er x[n] = e jnω, < n <, Ω [ π, π]. og egenverdien, benevnt H(Ω), er H(Ω) = k= h[k]e jkω. Diskret tid Fourier transform; DTFT Notasjon: Analyse : X(Ω) F{x[n]} = n= x[n]e jωn. Alternativt: X(F) = n= x[n]e j2πfn. Syntese : x[n] F 1 {X(Ω)} = 1 2π 2π X(Ω)ejΩn dω. Alternativt: x[n] = 1/2 1/2 X(F)ej2πnF df. x[n] F X(Ω). 5 6 Frekvensresponen til LTI system Tema Frekvensrespons funksjonen Hvis inngangssignalet er en kompleks eksponensial x[n] = Ae jφ e jωn, blir utgangssignalet hvor y[n] = k= h[k]aejφ e jω(n k) ( = h[k]e jωk) Ae jφ e jωn k= = H(Ω)Ae jφ e jωn n < H(Ω) = k= h(k)e jωk. H(w): Egenverdi til LTI system, Ae jφ e jωn : Egenfunksjonen til LTI systems. H(Ω) og h[n] er relatert på en unik måte. 7 8

3 H(Ω): Frekvensresponsen H(Ω) = k= h[k]e jkω. H(Ω) er en funksjon av frekvensvariabelen Ω. H(Ω) er, generelt, en kompleks størrelse, og kan skrives som: Reell og imaginær del: H(Ω) = H R (Ω) + jh I (Ω) eller Magnitude og fase: H(Ω) = H(Ω) e jθ(ω), hvor H(Ω) 2 = H(Ω)H (Ω) = HR 2(Ω) + H2 I (Ω) og Θ(Ω) = tan 1 H I (Ω) H R (Ω). Gruppeforsinkelsen (eller envelopeforsinkelsen) til H: τ g (Ω) = dθ(ω) dω. http: //en.wikipedia.org/wiki/group_velocity/ Periodisitet: Siden x[n] = e jnω 0 = e jn(ω 0+2π), må vi ha at H(Ω 0 ) = H(Ω 0 + 2π). Example Betrakt LTI-system med enhets step respon h[n] = α n u[n], α R, α < 1. Frekvensresponsen er da H(Ω) = = k= h[n]e jnω = k=0 (αe jω ) n = Kvadrert magnityde H(Ω) er H(Ω) = 1 αe jω og faseresponsen er Θ(Ω) = tan 1 H I (Ω) H R (Ω) = tan 1 Gruppeforsinkelsen er gitt som τ g (Ω) = α2 α cos Ω 1 1 αe jω. k=0 αn e jnω 1 = 1 αe jω 1+α 2 2α cos Ω, 1+α 2 2α cos Ω. α sin Ω 1 α cos Ω Fourier rekker og transformer Tema Fourier rekker og transformer Kontinuerlig tid Fourier rekke og transform Frekvens analyse av diskret tid periodiske signaler Mål: Utvikle et matematisk verktøy (et prisme ) som dekomponerer signaler ( lys ) inn i sinus og cosinus komponenter ( farger ). Virere: Utvilke verktøyet ( det inverse prismet ) som syntetiserer et signal fra beskrivelser av dets frekvenskomponenter

4 De fire Fourier rekkene/transformasjonene Kontinuerlig tid Fourier rekke og transform Fourier rekker: Dekomposisjon av signaler til sum av sinus/cosinus ledd (eller komplekse eksponensialer) frekvens domenet. De aller fleste signaler av prakisk interesse kan dekomponeres i en sum av sinus/cosinus ledd. Periodiske signaler: Fourier series. Endelig energi signaler: Fourier transform. Viktig i analyse av LTI systemer: Et LTI systems respons til en sinus/cosinus er en tilsvarende sinus/cosinus, men med en (kompleks) skalering. Et LTI systems respons til en lineær sum av sinus/cosinus ledd er en tilsvarende sum av sinus/cosinus ledd med kun en mulig kompleks skalering av hvert ledd Fourier rekker til CT periodiske signaler Hvis x(t) er et periodisk signal som tilfredstiller Dirichlet krav, så er Syntese likn.: x(t) = k= c ke j2πkf 0t. Analyse likn.: c k = 1 T p T p x(t)e j2πkf 0t dt. Dirichlets krav: 1. Signalet x(t) har et endelig antall diskontinuiteter innenfor enhver periode. 2. Signalet x(t) innehar et endelig antall maks og min punkter innenfor enhver periode. 3. Signalet x(t) er absolutt integrerbar innefor enhver periode, dvs T p x(t) dt <. I praksis vil alle periodiske signaler av interesse tilfredstille disse kravene. Andre periodiske signaler kan også ha en Fourier rekke representasjon. 15 Fourier transformasjonen til CT signaler Betrakt et aperiodisk signal x(t) med endelig lengde. Konstruer et periodisk signal x p (t) med periode T p. Da er x(t) = lim Tp x p (t). 16

5 Fourier transformasjonen til CT signaler Hvis x(t) er et aperiodisk signal som tilfredstiller the Dirichlet krav, så er Syntese likn,: x(t) = X(f )ej2πft df. Analyse likn.: X(f ) = x(t)e j2πft dt. Dirichlets krav: 1. Signalet x(t) har et endelig antall diskontinuiteter. 2. Signal x(t) innehar et endelig antall maks og min punkter. 3. Signal x(t) er absolutt integrerbart, dvs x(t) dt <. Alle signaler av praktisk interesse tilfedstiller disse kravene. Diskret tid Fourier rekker. Gitt et signal x[n] med periode N, dvs. x[n] = x[n + N] N, da vil x[n] = N 1 k=0 c ke j2πkn/n, hvor {c k } er Fourier koeffisienten i rekkeutviklingen. Fourier koeffisienter: c l = 1 N 1 N n=0 x[n]e j2πln/n, l = 0, 1,..., N 1. {c k } representerer amplitude og fase til frekvenskoeffisienten s k [n] = e j2πkn/n = e jω k n, Ω k = 2πk/N. {c k } er periodisk med periode N Energitetthetsspekter av periodiske sekvenser Gjennomsnittlig energi av et diskret tid periodisk signal: P x = 1 N 1 N n=0 x[n] 2 = N 1 k=0 c k 2. Parseval s relasjon. Fourier rekker av reelle diskrete periodiske signaler Hvis x[n] er reell (x [n] = x[n]), så er c k = c k, eller også Like symmetri: c k = c k, Ulike symmetri: c k = c k. Reelle signaler kan uttrykkes som x[n] = c L k=1 c k cos( 2π N kn + θ k) = a 0 + L ( k=1 ak cos( 2π N kn) b k sin( 2π N kn), hvor a 0 = c 0, a k = 2 c k cos θ k, b k = 2 c k sin θ k, og L = N/2 hvis N like og L = (N 1)/2 hvis N ulike. Fourier transformasjonen til diskrete ikke-periodiske signaler. X(Ω) = n= x[n]e jωn. X(Ω) representerer frekvensinnholdet i signalet x[n], dvs. X(Ω) er en dekomposisjon av x[n] inn i sine frekvenskomponenter. Unik over frekvensintervallet ( π, π), eller ekvivalent (0, 2π). X(Ω) er periodisk med periode 2π. x[n] = 1 π 2π π X(Ω)ejΩn dω

6 Fourier transformasjonen til diskrete ikke-periodisk signaler... Konvergerer: X N (Ω) = N n= N x[n]e jωn konvergerer uniformt til X(Ω), dvs. lim N {sup Ω X(Ω) X N (Ω) } = 0. Garantert hvis x[n] er absolutt summerbar. Mulig med kvadratisk summerbare sekvenser hvis mean-square konvergenskriterium er oppfylt. Energitetthetsspekter E x = n= x[n] 2 = 1 π 2π π X(Ω) 2 dω. Diskret tid Fourier transform; DTFT Notasjon: Analysis : X(Ω) F{x[n]} = n= x[n]e jωn. Alternativt: X(F) = n= x[n]e j2πfn. Syntese : x[n] F 1 {X(Ω)} = 1 2π 2π X(Ω)ejΩn dω. Alternativt: x[n] = 1/2 1/2 X(F)ej2πnF df. x[n] F X(Ω) Fra z-transf. til DTFT Finner X(Ω) ved å evaluere z-transformasjonen langs enhetssirkelen. X(z) Z{x[n]} = n= x[n]z n z = Re j2πf. Lar R = 1 og får: Tema Egenskaper til DT Fourier transform 23 24

7 Egenskaper til DTFT Symmetri Realle signaler x[n] har konjugert symetrisk X(Ω). Linearitet: F{ax 1 [n] + bx 2 [n]} = af{x 1 [n]} + bf{x 2 [n]}. Shifting i tid: F{x[n k]} = X(Ω)e jωk. (dvs. frekvensinnhold avhenger bare av form.) Egenskaper til DTFT... Tidsreversering / Folding: F{x[ n]} = X( Ω) (dvs. frekvensinnhold reelt signal (X( Ω) = X (Ω)) avhenger bare av form.) Konjugering: F{x [n]} = X ( Ω). Konvolusjon: F{x 1 [n] x 2 [n]} = F{x 1 [n]}f{x 2 [n]} = X 1 (Ω)X 2 (Ω). Korrelasjon: F{r x1 x 2 } = S x1 x 2 = X 1 (Ω)X 2 ( Ω). Kryss-korrelasjonstetthetsspektrum. Wiener-Khintchine teorem: La x[n] være et reelt signal. Da er F{r xx (l)} = S xx (Ω) = X(Ω)X( Ω) = X(Ω)X (Ω). (Ingen faseinformasjon, dvs ikke unik!) Egenskaper til DTFT... Shifting i frekvens: F{x[n]e jω 0n } = X(Ω Ω 0 ). Modulasjon: F{x[n] cos[ω 0 n]} = 1 2 [X(Ω + Ω 0) + X(Ω Ω 0 )]. Parseval s relasjon / Energi: E x = n= x[n] 2 = 1 π 2π π X(Ω) 2 dω. Multiplikasjon: F{x 1 [n] x 2 [n]} = F{x 1 [n]} F{x 2 [n]} = 1 2π X1 (θ)x 2 (Ω θ)dθ. : Periodic convolution. Sammenheng mellom system funksjon og frekvens respons H(Ω) = H(z) z=e jω = n= h[n]e jωn Hvis H(z) rasjonell, H(Ω) = B(Ω) A(Ω) = M k=0 b k e jωk 1+ N Π M k=1 (1 z k e jω ) Π N k=1 (1 p k e jω ), = b k=1 a k e jωk 0 hvor {a k } og {b k } reelle, men {z k } og {p k } kan være komplekse. Magnitude kvadrert: H(Ω) 2 = H(Ω)H (Ω) H (Ω) finnes ved å evaluere H (1/z ) på enhetssirkelen. Når {h[n]} reell (= {ak } and {b k } reelle) komplekse poler og nullpunkter opptrer i kompleks-konjugerte par H (1/z ) = H(z 1 ), i.e. H (Ω) = H( Ω) og H(Ω) 2 = H(Ω)H (Ω) = H(Ω)H( Ω) = H(z)H(z 1 ) z=e jω

8 Ideell filterkarakteristikk Tema LTI systemer som frekvens-selektive filtre Ideell filterkarakteristikk & enkle filtre Ideelle filte har konstant magnitudekarakteristikk. Skal se på responskarakterstikk av lavpass, høypass, båndpass, all-pass og båndstop eller bånd-eliminasjons filtre. Lineær faserespons Ideelle filtre har lineær fase i passbåndet. I alle tilfeller: Ideelle filtre er ikke fysisk realiserbare! Design av enkle digitale filtre 1. Basert på pol- og nullpunktplassering. 2. Alle poler innenfor enhetssirkelen (nullpkt hvor som helst). 3. Komplekse poler/nullpkt. i komplekskonjugerte par Ideell filterkarakteristikk... Enkle filtre Lavpass Lavpass til høypass transformasjon H hp (Ω) = H lp (Ω π), i.e. h hp [n] = (e jπ ) n h lp [n] = ( 1) n h lp [n]. Digitale resonatorer Notch filtre Kam filtre All-pass filtre 31 32

9 Lavpass and høypass filtre Lavpass and høypass filtre Båndpass filter Digital resonator 35 36

10 Notch filter Kam filter Allpass filter 39