Repetisjon: Spektrum for en sum av sinusoider

Transkript

1 Forelesning 9. april 4 Pensum i boken: - og -, noe fra -4 ikke nødvendig å lese, -6., og til 3-4 Oversikt Spektrum for et signal, frekvensinnholdet Bruk av Fourier-transform FT for å beregne spektra, spektralanalyse CTFT, kontinuerlig-tid Fourier-transform Spektralanalyse Formål: Å avgjøre hvordan effekten i et signal er distribuert i frekvensbåndet. Tidligere har vi gjort dette ved å lese frekvenskomponentene direkte fra uttrykk for signaler xt og x[n]. For periodiske signaler har vi også benyttet Fourier-rekker. I praksis er det ønskelig å kunne beregne denne effektfordelingen over frekvensbåndet direkte fra en endelig sekvens av sampler. DTFT, diskret-tid Fourier-transform DFT, diskret Fourier-transform Valg av FT avh. av om tid og frekvens er diskret eller kontinuerlig INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK Repetisjon: Spektrum for en sum av sinusoider Et signal bestående av sinusoider har en kompakt representasjon ved sitt spektrum. Et slikt signal kan skrives som xt A + N A k cosf k t + φ k k { N X + Re X k e jfkt}, k der X A er en reell konstant og X k A k e jφ k er den komplekse amplituden til komponent k. Eulers inverse formler tillater følgende omskriving xt N k { Xk ejfkt + X k e jfkt} Det tosidige spekteret til xt defineres som settene av N + frekvenser og komplekse amplituder. Vi kan skrive dette som settet av par {, X, f, X, f, X,..., f N, X N, f N, X N } Dette er en representasjon av xt i frekvensdomenet. Gitt ny notasjon for den komplekse amplituden A for k a k A ke jφ k for k har vi gitt f. xt N k N a k e jfkt, INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4

2 Gitt alle par av f k, a k plot en spektrallinje ved hver frekvens f k hver linje er a k høy og merket med a k xt 5+ cos πt π Plot av xt 5 + cosπ t π/3 + 5 cos4π t + π/4 π +5 cos 4πt+ 4 Fourier-rekker Alle periodiske signaler xt kan uttrykkes som en sum av sinusoider, ved hjelp av Fourier-syntese. Frekvensene i et periodisk signal er alle heltallsmultipler av en felles grunnfrekvens f /T. 5 xt Fourier-syntese xt k j T kt a k e Tid t [s] Tosidig spektrum for xt 5 + cosπ t π/3 + 5 cos4π t + π/ / e jπ/4 5/ e jπ/4 Fourier-analyse absoluttverdi av a k e jπ/3 5 5 e jπ/3 eller a k T T a k T T/ T / j T kt xt e j T kt xt e frekvens INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Fourier-rekker, eksempel Det periodiske impulstoget pt δt n kan uttrykkes ved Fourier-rekker pt a k e jkωst k der ω s /. Vi evaluerer Fourier-integeralet for å finne {a k } a k Ts/ / δte jωskt dt Ts/ δt dt / CTFT, kontinuerlig-tid Fourier-transform En generell definisjon av frekvensspektret for ethvert kontinuerlig-tid signal xt. CTFT av signalet xt analyse Xjω Invers CTFyntese xt xte jωt dt Xjωe jωt dω Også frekvensvariablen ω er kontinuerlig. trenger altså ikke være periodisk INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

3 Fourier-rekker, grense Et periodisk signal x T t, med periode T, kan representeres ved Fourier-rekker som j T kt x T t a k e og a k T T/ k T / j T kt x T t e Anta et ikke-periodisk signal xt, med endelig lengde. xt for t [ T /, T /] Dette signalet kan representere en periode av et periodisk signal, så lenge T > T. Da kan vi lage et periodisk signal ved å repetere kopier av xt hvert T sekund. x T xt nt der xt nt er kopien som er sentrert rundt nt. Fourier-rekker, grense Ved å øke T relativt til T vil det periodiske signalet x T t være likt det ikke-periodiske signalet xt over lengre perioder. Vi hevder at xt t xt for < t < lim T Vi skriver om Fourier-representasjonen for x T t til ak T T/ T / x T t e jωkt dt Ettersom T blir fundamentalfrekvensen ω uendelig liten. Settet {kω } nærmer seg da den kontinuerlige variabelen ω. Vi sammenligner med ligningen for CTFT, og ser at Xjω lim T T/ x T t e jωkt dt T / xt e jωt dt INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK CTFT, eksempel Anta det ensidige eksponential-signalet xt e 7t ut CTFT, eksempel Vi finner Fourier-transformen til xt ved Xjω e 7t ute jωt dt e 7+jωt dt 7 + jω e 7+jωt 7 + jω 7 + jω.5 Representasjon av signalet xt e 7t ut, samt magnitude og fase for den Fourier transformerte Xjω xt tid t i sekunder. Xjω frekvens ω, i enheter av π Xjω frekvens ω, i enheter av π bare definert for t INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK

4 Noen CTFT-par tidsdomenet frekvensdomenet e at ut F a + jω Aδt F A F δω e jωt F δω ω ax t + bx t F ax jω + bx jω A cosω t + φ F πae jφ δω ω + πae jφ δω + ω Konvolusjon i tidsdomenet gir multiplikasjon i frekvensdomenet Konvolusjonsintegralet yt xt ht xτht τdτ har Fourier-transform Y jω xτht τdτ e jωt dt Vi endrer integrasjonsrekkefølgen Y jω xτ ht τe jωt dt dτ og substituerer σ t τ Y jω xτ hσ e jωσ dσ e jωτ dτ Hjωe jωτ xτ Hjω xτ HjωXjω dτ e jωτ dτ INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4 Multiplikasjon i tidsdomenet gir konvolusjon i frekvensdomenet har Fourier-transform Y jω yt ptxt ptxte jωt dt Substitusjon av invers Fourier-transform gir oss Y jω xt pt Xjλe jλt dλ Xjλe jλt dλ e jωt dt Vi endrer integrasjonsrekkefølgen Y jω Xjλ pte jω λt dt dλ XjλP jω λ dλ Xjω P jω Frekvensskift Finn Fourier-transformen til når pt e jωt Vi har at yt xtpt, Y jω Xjω Pjω og et FT-par fra listen er Da har vi e jωt F δω ω Y jω Xjω δω ω Xjω ω Så, å multiplisere et signal xt med e jωt vil simpelthen flytte Xjω til høyre langs ω-aksen, med en størrelse ω. The frequency shift property INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6

5 Samplingsteoremet en gang til... Signalet x c t samples med perioden, og vi representerer operasjonen som amplitudemodulasjon av et periodisk pulstog pt. 4 x s t x c tpt x c t δt n x c tδt n x c n δt n Kontinuerlig tid signalet x c t Det periodiske pulstoget pt.5 Samplingsteoremet en gang til... Ettersom pt er periodisk kan det uttrykkes ved Fourier-rekker pt a k e jkωst e jkωst og vi har k x s t x c t der ω s /. k k e jkωst x c te jkωst k Kontinuerlig tid signalet x t og det amplitudemodulerte pulstoget pt, kalt x t c s tid t i sekunder INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8 Samplingsteoremet vist ved CTFT Fourier-transformen finnes som X s jω k jω kωs Illustrasjon av over- og undersampling i frekvensdomenet Fourier-transformen til et periodisk pulstog modulert av x c t er sammensatt av periodisk repeterte kopier av jω. X s jω k jω k/ts Et båndbegrenset signal x c t har frekvensinnhold i området ω b ω ω b. Hver kopi i X s jω er sentrert rundt k ω s, med samme båndbredde. Overlapp mellom to nabokopier unngås hvis som betyr at k + ω s k ω s > ω b ω s > ω b Xjω X s jω, ω s > ω b X s jω, ω s < ω b Vinkel ω, i enheter av ω b INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK

6 Diskret-tid Fourier-transform DTFT Fourier-transformen til et diskret-tid signal x[n] Xe j ˆω j ˆωn x[n]e er en funksjon av den kontinuerlige frekvensvariablen ˆω, og er periodisk med. Gitt at x[n] er samplet fra et kontinuerlig-tid signal xt, via det modulerte impulstoget x s t. To former for x s t er og x s t x c t x s t x c t k e jkωst δt n x c n δt n Vi finner også to former for Fouriertransformen, nemlig og X s jω X s jω jω nωs x c n δt n e jωt dt x c n e jωtsn x[n] e jωtsn Dette er uttrykket for en DTFT Xe j ˆω j ˆωn x[n]e Den omvendte operasjonen er den inverse DTFT x[n] π Xe j ˆω e j ˆωn d ˆω π j ˆωn x[n] e INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK DTFT, eksempel Sammenhengen mellom DTFT og CTFT er da Xe j ˆω Xe jωts ˆωωTs k jω k/ts For et båndbegrenset signal xt, gitt ved jω for ω π/, overlapper ikke de skiftede kopiene jω lω s Xe jωts jω for ω π/ Signalet x c t cosω b t er båndbegrenset og kan samples med periode π/ω b til x[n] x c n cosω b n cos ˆω b n CTFT av x c t er jω πδω ω b + πδω + ω b For DTFT har vi to uttrykk Xe jωts cosω b n e jωnts k jω kωs x t c C til D omformer /fs x[n] DTFT jω Xe Pga tilstrekkelig sampling vet vi at Xe jωts jω π δω ω b + δω + ω b som gjør at vi kan skrive DTFom Xe j ˆω π δ ˆω ˆω b + δ ˆω + ˆω b for ω ω b. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4

7 Valg av ω k Diskret Fourier-transform Det er to problemer med å beregne DTFT-summen for en sekvens av sampler:. ω er en kontinuerlig variabel. summen er uendelig En tilnærming til DTFT kan være Xe jωkts L n x[n]e jωkts, k [, N ] der problemene over er løst ved at. sekvensen x[n] kun evalueres for intervallet n L. frekvensvariablen er diskretisert til et endelig sett {ω k } for k,,..., N Samplede signaler x[n] har periodiske spektra, med periode ˆω, evt ω /. Vi velger å se på intervallet ω og evaluerer ved de N frekvensene ω k k N, for k,,..., N som, innsatt i tilnærmingen, gir L Xe j NTs Ts j x[n]e NTs knts n L x[n]e j N kn for k,,..., N n Dette er den diskrete Fourier-transformen, DFT X[k] L n x[n]e j/nkn for k,,..., N som skrives X[k] p.g.a. avhengigheten av k. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Generelt antas det at N L, fordi vi da har en eksakt invers DFT, i tillegg til effektive beregningsalgoritmer. Sistnevnte går under samlebetegnelsen Fast Fourier-transform FFT. Ettersom forholdet mellom DTFT og CFT er Xe jωts k jω k/ts og forholdet mellom DTFT og DFT er Xe j ˆω Xe j N k ˆω N L n x[n]e j N kn, k,,..., N finner vi at DFT forholder seg til CFom X[k] X e j Ts NTs X e jωts ω k NTs l j ω l ω k NTs Mer om DFT CTFT finner et kontinuerlig-frekvens spektrum jω fra et kontinuerlig tid signal x c [n]. DFT forholder seg til CTFT ved DFT er en funksjon av en frekvensindeks k, som relateres til en CTFT-frekvens ω k ved NTs k ω k I DFT inngår bare et endelig segment av det samplede signalet I DFT evalueres spektret bare ved et diskret sett med frekvenser INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

8 Fourier-transformene Diskret tid Kontinuerlig tid Diskret frekvens DFT, X[k] Fourierrekker, {a k } Kontinuerlig frekvens DTFT, Xe j ˆω CTFT, jω Bruk av tidsvindu For å beregne en DFT kreves et sekvens x[n] med endelig lengde. Hvis x[n] har uendelig lengde må vi velge et endelig utsnitt, en prosess som kan representeres ved å multiplisere x[n] med en vindussekvens w[n]. Fourier rekker {a k } diskretiser frekvensen øk perioden mot uendelig, gir kontinuerlig frekvens j ω^ DTFT, Xe CTFT, Xj ω diskretiser tiden, sampling En mulig w[n] er firkantvinduet n N w[n] ellers Ved å se x[n] gjennom vinduet w[n] får vi den endelige sekvensen x[n] x[n] w[n]x[n], definert for n N DFT, X[k] Det vi beregner DFT for er altså den endelige x[n], ikke den uendelige x[n]. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 Anta at x[n] er samplet fra et kontinuerlig-tid signal x c t. Vinduet kan legges på enten x[n] etter sampling eller x c t før sampling. x t c x t c C til D omformer w ct /fs ~ xt x[n] C til D omformer /fs w[n] ~ x[n] DFT ~ Xe jω k ~ x[n] Xe jω k DFT Alt som kreves er at w[n] w c n, og vi har at x[n] x c n w c n x c n w[n]x[n] Gitt at vi velger det rektangulære vinduet i diskret tid, er det ekvivalente kontinuerlig-tid vinduet gitt som t T w c t w R t ellers der L < T < L. Spørsmålet er: Hvilken effekt har vindusfunksjonen på Fourier-transformen av signalet? Xe jωkts L n med analysefrekvensene w[n]x[n]e jωktsn, ω k k N k N INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3

9 Det rektangulære vinduet Begreper Analyse av en sum av sinuoider Anta det båndbegrensede signalet x c t A + A cosω t + φ, med Fourier-transform CTFT < t < jω A δω + πx δω ω + πx δω + ω der X A e jφ hovedlobe, bredde ω 4π/T sidelobe, høyde sinωt / W R jω ω/ For vindusbreddene T og T > T.5 Firkantvinduet w R t, T s.5 Firkantvinduet w R t, T.5 s Så ser vi på x c t w c tx c t A w c t + X w c te jωt + X w cte jωt Frekvensskift gir Fourier-transformen jω A W c jω + X W c jω ω + X W cjω + ω tid, i sekunder Absoluttverdien av W R jω tid, i sekunder Absoluttverdien av W R jω 5 5 frekvens ω, i enheter av π 5 5 frekvens ω, i enheter av π INSTITUTT FOR INFORMATIKK 33 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 34 Eksempel x c t cosω t, har Fourier-transformen CTFT ω 4π jω.5 δω +.8π δω 4π+.8π δω + 4π π δω +.8π δω 4π+.8π δω + 4π.5 Signalet x c t cos t, i uendelig tid. Tidsvinduet reduserer frekvensoppløsningen, som blir grovere jo kortere vinduet er. Bredde på hovedloben er ω 4π/T, så frekvenskomponentene må ligge minst så langt fra hverandre for å unngå overlapp. Vi plotter jω A W c jω + X W c jω ω + X W cjω + ω amplitude.5.5 Spektrum av individuelle komponenter, T 3 s.5 Spektrum av individuelle komponenter, T s tid, i sekunder Fourier transform av x c t med uendelig lengde π a k π.8π Sum av spektrum for individuelle komponenter Sum av spektrum for individuelle komponenter Den røde kurven er x c t w c tx c t, der det rektangulære vinduet har varighet lik at ω 3 ω /T T 3 s INSTITUTT FOR INFORMATIKK 35 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 36