Fourier-Transformasjoner

Transkript

1 Fourier-Transformasjoner Lars Vidar Magnusson February 21, 2017 Delkapittel 4.1 Background Delkapittel 4.2 Preliminary Concepts

2 Fourier Fourier var en fransk matematiker/fysiker som levde på 1700/1800-tallet. Mest kjent for sitt bidrag til signalprosessering. Alle periodiske funksjoner kan beskrives som en sum av sinus og/eller cosinus ved ulike frekvenser ganget med en koeffisient. En slik sum kalles for en Fourier-rekke.

3 Periodiske Signal Bildet under illustrerer konseptet med at en periodisk funksjon kan deles opp i sin/cos-funksjoner. Merk transformasjonen kan utføres begge veier.

4 Teoretisk Bakgrunn - Komplekse Tall Fourier-transformasjonen er bygget på teorien om komplekse tall. Et kompleks tall C er definert som følgende. C = R + ji Hvor R og I er reele tall, mens j er kvadratroten av 1 i.e. j = 1. Den konjugerte av et kompleks tall er definert som følgende. C = R ji

5 Teoretisk Bakgrunn - Komplekse Tall Det kan ofte være nyttig å bruke polarkoordinater når vi jobber med komplekse tall. C = C (cos θ + j sin θ) Hvor C er lengden til vektoren og θ er vinkelen mellom vektoren og den reelle aksen. Vi har da også følgende... og tan θ = I R tan 1 I R = θ

6 Teoretisk Bakgrunn - Komplekse Tall Vi kan også benytte oss av Euler formelen og representere et komplekst tall med... siden C = C e jθ e jθ = cos θ + j sin θ

7 Teoretisk Bakgrunn - Komplekse Tall Alle disse formlene kan også benyttes for komplekse funksjoner. F (u) = R(u) + ji (u) Og den konjugerte er.. F (u) = R(u) ji (u)

8 Teoretisk Bakgrunn - Fourier-Rekker Vi kan nå formelt definere Fourier-rekker på følgende vis. Vi har en periodisk funksjon f (t) som har en periode T. hvor f (t) = n= c n e j 2πn T t c n = 1 T T /2 f (t)e 2πn j T t dt for n = ±1, ±2.... T /2

9 Teoretisk Bakgrunn - Impulssignaler og Siling Impulssignaler og deres silingsegenskaper (sifting properties) er sentrale for forståelsen av Fourier-transformasjonen. En enhetsimpuls for en kontinuerlig variabel t plassert ved t = 0 er definert som... { t = 0 δ(t) = 0 t 0 og den tilfredstiller også følgende identitet. δ(t)dt = 1 Vi har altså en uendelig topp med 0 i lengde, og som har et areal på 1.

10 Teoretisk Bakgrunn - Impulssignaler og Siling Silingsegenskapen til et impulssignal er definert med følgende ligning... f (t)δ(t)dt = f (0) Siling av en funksjon f (t) med et impulssignal gir derfor bare verdien til funksjonen på lokasjonen til signalet. Mer generelt kan vi si at for et impulssignal med en tilfeldig plassering t 0 så får vi følgende. f (t)δ(t t 0 )dt = f (t 0 )

11 Teoretisk Bakgrunn - Impulssignaler og Siling For en diskret variabel x får ligningene følgende utforming. δ(x) = { 1 x = 0 0 x 0 som åpenbart også tilfredstiller identiteten.. δ(x) = 1 Silingsegenskapen blir da... f (x)δ(x x 0 ) = f (x 0 )

12 Teoretisk Bakgrunn - Impulstog Vi kommer til å få bruk for impulssignaler i form av impulstog. Et impulstog s T (t) er summen av uendelig mange periodiske impulssignaler med T avstand. s T (t) = n= δ(t n T )

13 Fourier-Tranformasjon - En Kontinuerlig Variabel Vi kan nå utlede Fourier-transformasjonen for funksjoner med en kontinuerlig variabel t. F{f (t)} = f (t)e j2πµt dt µ og er en kontinuerlig variabel, t integreres bort, vi sitter igjen med bare µ og får derfor F{f (t)} = F (µ). F (µ) = f (t)e j2πµt dt µ angir frekvensen til hvert av delsignalene.

14 Fourier-Tranformasjon - En Kontinuerlig Variabel Vi kan bruke den samme forenklede notasjonen på den inverse transformasjonen. f (t) = F (µ)e j2πµt dµ Disse to ligningene utgjør Fourier-transformasjonspar og kan benyttes til konvertere til og fra et frekvensdomene (frequency domain).

15 Fourier-Tranformasjon - Et Eksempel Vi skal se på et enkelt eksempel. Vi har et rektangulært signal.

16 Fourier-Tranformasjon - Et Eksempel Ved litt utregning så får vi følgende. Som gir følgende plot... F (µ) = sin(πµ) πµ

17 Fourier-Tranformasjon av Impulssignal Fourier-transformasjonen av et impulssignal i origo blir.. F (µ) = δ(t)e j2πµt dt = e j2πµ0 = 1 Hvis vi utvider til et tilfeldig plassert signal får vi... F (µ) = δ(t t 0 )e j2πµt dt = e j2πµt0 = cos(2πµt 0 ) j sin(2πµt 0 )

18 Fourier-Tranformasjon av Impulstog Siden vi kommer til å få bruk for det senere tar vi en titt på Fourier-transformasjonen til et impulstog. Siden impulstoget er periodisk får vi følgende... hvor s T (t) = n= c n e j 2πn T t c n = 1 T T /2 T /2 2πn j s T (t)e T t dt

19 Fourier-Tranformasjon av Impulstog Siden integralet bare ovelapper impulssignalet i origo, kan vi forenkle ytteligere. c n = 1 T = 1 T e0 = 1 T T /2 T /2 2πn j δ(t)e T t dt Vi får da følgende Fourier-rekkeutvidelse for signaltoget s T (t) = 1 T n= e j 2πn T t

20 Fourier-Tranformasjon av Impulstog Fourier-transformasjonen til et impulstog er nyttig når vi skal utlede den diskrete utgaven av Fourier-transformasjonen. Vi må få på plass et par ting først... F (µ) er den transformerte av f (t). Siden F er lik F 1 bortsett fra fortegnet i potensen, så følger det at.. F{F (t)} = f ( µ) Siden den transformerte av δ(t t 0) er e j2πµt 0, så følger det at... F{e j2πt 0t } = δ( µ t 0) Hvis vi sier at a = t 0 så kan vi også si følgende... F{e j2πat } = δ(µ a)

21 Fourier-Tranformasjon av Impulstog Vi kan nå endelig utlede Fourier-transformasjonen til impulstoget s T (t). S(µ) = F{s T (t)} { 1 = F T { = 1 T F = 1 T = 1 T n= n= n= n= F } e j 2πn T t } e j 2πn T t { e j 2πn T t} ( δ µ n ) T Vi kan se at Fourier-transformasjonen til et impulstog er også et impulstog.