3UDNWLVN DQYHQGHOVH DY ')7

Transkript

1 TE6146 ignalbehandling 3UDNWLVN DQYHQGHOVH DY ')7,QWURGXNVMRQ Kjenner DFT og FFT for effektiv numerisk beregning av DFT. Finnes ferdige funksjoner for FFT- algoritmer implementert i C/C og andre programmeringsspråk. Fleste programmer for signalbehandling har FFT-funksjoner, f.eks. kan funksjonen fft() benyttes i MATLAB. kal i det følgende se på bruk av DFT (via FFT) til bruk ved frekvensanalyse av kontinuerlige signaler V F ŸW. Må kjenne begrensninger i bruken, slik at resultatene ikke mistolkes! Fourier-analyse av kontinuerlige signaler vha. DFT 1

2 TE6146 ignalbehandling )RXULHU-DQDO\VH YKD. ')7,, Et kontinuerlig signal som samples, påvirkes av flere faktorer, se Fig Må kjenne innvirkningen av disse faktorene, slik at egenskapene til ; F ŸM( kan avledes fra de beregnede DFT verdiene 9 N. DFT-komponentene av signalet påvirkes av filtrering, sampling og beregning av DFT, se Fig Følgen [ Q utgjør typisk bare en del av det kontinuerlige signalet, dvs. at det opprinnelige signalet er multiplisert med en vindusfunksjon Z Q (rektangulær, Bartlett, Hamming, Hanning, Blackman, Kaiser). Bruk av vindusfunksjon og multiplikasjon i tidsplanet, gir periodisk konvolusjon mellom ;ŸH MF og :ŸH MF. karpe topper og diskontinuiteter i opprinnelig Fourier-transform glattes ut gjennom denne operasjonen. Beregner til slutt DFT av Y Q Z Q [ Q 1"1 9 N! Q0 Y Q H "MŸ2=/1 NQ, N 0,1, T,1 " 1 Fourier-analyse av kontinuerlige signaler vha. DFT 2

3 TE6146 ignalbehandling )RXULHU-DQDO\VH YKD. ')7,,, Antar at vinduslengden / er kortere eller lik DFT lengden 1. Husk at 9 N 9ŸH MF F2=N/1. 9ŸH MF er kontinuerlig i frekvens, mens DFT er diskret i frekvens. Tilsvarende analoge frekvenser blir ( N 2=N 17 pektrumanalysatorer er vanligvis basert på prinsippene vist i Fig Må forstå innvirkningen på resultatet, ved bruk av vindusfunksjoner og sampling i frekvens. Antar i det følgende at effekter av antialiasfiltrering og konvertering fra analog til diskret form er neglisjerbar. er på eksempler med rene sinussignaler for å klargjøre de ulike effekter. e Eks og Eks for sammenheng mellom frekvenser og verdier av DFT 9 N og ; F ŸM(.Merkspesieltat samplingstiden 7 inngår ved beregning av amplituden, slik at ; F ŸM( N X 79 N. Fourier-analyse av kontinuerlige signaler vha. DFT 3

4 TE6146 ignalbehandling (IIHNWHQ DY YLQGXVIXQNVMRQHU,, er på sinussignaler av typen $ cosÿf 0 Q C. Fourier-transformen er et sett av impulser i of 0, som repeteres periodisk med 2=. Anta at V F ŸW $ 0 cosÿ( 0 W 2 0 $ 1 cosÿ( 1 W 2 1 Diskret signal: [ Q $ 0 cosÿf 0 Q 2 0 $ 1 cosÿf 1 Q 2 1, F 0,1 ( 0,1 7 Multipliserer med vindusfunksjon Z Q : Y Q [ Q Z Q $ 0 Z Q cosÿf 0 Q 2 0 $ 1 Z Q cosÿf 1 Q 2 1 Kompleks form: Y Q $ 0 2 Z Q HM2 0 H MF 0 Q $ 0 2 Z Q H"M2 0 H "MF 0 Q $ 1 2 Z Q HM2 1 H MF 1 Q $ 1 2 Z Q H"M2 1 H "MF 1 Q Bruk av Fourier-transformen gir nå (husk at H MF0Q [ Q (2.163) ): 9ŸH MF $ 0 2 HM2 0 :ŸH MŸF"F 0 $ 0 2 H"M2 0 :ŸH MŸFF 0 $ 1 2 HM2 1 :ŸH MŸF"F 1 $ 1 2 H"M2 1 :ŸH MŸFF 1 ) ;ŸH MŸF"F 0 Fourier-analyse av kontinuerlige signaler vha. DFT 4

5 TE6146 ignalbehandling (IIHNWHQ DY YLQGXVIXQNVMRQHU,,, Fourier-transformen av slike vindusfunksjoner skalerer altså Fourier-transformen av signalet. Husk at :ŸH MF alltid vil inneholde rippel, se Avsnitt 7.2, Eks og Fig To hovedeffekter oppstår ved bruk av vindusfunksjoner:. Lekkasje fra en frekvenskomponent til en annen pga. utsmøring av frekvensspekteret. Hovedsaklig avhengig av forskjellen mellom hoved- og sidelober. Har ikke bare noen få klart definerte topper lenger, men flere topper.. Redusert oppløsning pga. hovedlobens bredde. To frekvenskompoenter som er nært hverandre kan ikke skilles klart fra hverandre. Fourier-analyse av kontinuerlige signaler vha. DFT 5

6 TE6146 ignalbehandling (IIHNWHQ DY YLQGXVIXQNVMRQHU,,,, Ved bruk av forskjellige vindusfunksjoner, kan forskjellige egenskaper oppnås. pesielt kan en ved bruk av Kaiser-vindu spesifisere ønskede verdier for bredden av hovedloben og relativt forhold mellom lobene, se ligningene (10.12)-(10.14) og Fig Valget blir basert på en avveining mellom lekkasje og oppløsning. Må eksperimentere med flere vindusfunksjoner for å fullt ut forstå egenskapene til de ulike funksjonene. Fourier-analyse av kontinuerlige signaler vha. DFT 6

7 TE6146 ignalbehandling (IIHNWHQ DY VDPOLQJ L IUHNYHQV,, DFT gir sampler av 9ŸH MF for frekvensene F N 2=N/1 tilsvarende de analoge frekvensene ( N Ÿ2=N /Ÿ17. ampling i frekvens kan av og til gi resultater som kan mistolkes, se Eks Detaljer i 9ŸH MF forsvinner ( picket fence effect ). Ikke sikkert at toppene i 9 N korresponderer med de virkelige toppene, fordi virkelige topper kan være mellom diskrete frekvenser. Relativ forskjell mellom topper i 9 N gjenspeiler ikke nødvendigvis relativ forskjell mellom topper i 9ŸH MF, se Fig (f) og (d). Viktige komponenter i spekteret kan bli utelatt pga. for lav oppløsning, se Eks og Fig Fourier-analyse av kontinuerlige signaler vha. DFT 7

8 TE6146 ignalbehandling (IIHNWHQ DY VDPOLQJ L IUHNYHQV,,, Eks kan antyde at en økning i antall punkter 1 ved utfylling av signalet med nuller ( zero-padding ) vil løse endel problemer, fordi vi får flere diskrete frekvenskomponenter. Dette er bare delvis riktig. Oppløsningen avhenger av lengden og formen på vinduet. Ved å benytte flere punkter vil vi se omhyllningskurven til 9 N klarere, men denne kurven er ikke den sanne ;ŸM( F, se Eks og Fig Ved stor grad av utfylling med nullere, og interpolasjon mellom DFT-verdier, kan en få et meget bra bilde av frekvensinnholdet i signalet, se Eks og Fig Fourier-analyse av kontinuerlige signaler vha. DFT 8

9 TE6146 ignalbehandling 2VXPPHULQJ En /-punkts DFT er tilstrekkelig for en komplett representasjon av en følge med lengde /. Enkel og ukritisk betraktning av de individuelle DFT-komponentene 9 N kan gi opphav til mistolkninger. Korrekt tolkning av DFT er må baseres på kunnskaper om effektene av sampling i frekvens og bruk av vindusfunksjoner, samt praktisk erfaring med analyse av ulike signaler. Gjør vanligvis flere analyser med forskjellig grad av zero padding og forskjellige vindusfunksjoner. Ved korrekt tolkning kan DFT gi et meget godt bilde av frekvensinnholdet i et signal. Frekvens og amplitude kan estimeres med god sikkerhet for forskjellige komponenter. Fourier-analyse av kontinuerlige signaler vha. DFT 9