Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling

Transkript

1 Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå 2D diskret Fourier-transform 2D DFT) som et ortogonalt basisskifte, og bevise denne sammenhengen. Denne forelesningen forutsetter at du har god kjennskap til lineær algebra, og mye av det vi går gjennom her er ikke pensum. Forelesningen er allikevel nyttig for å forstå Fourier transformasjonen. 11. mars 2015 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Standard indreprodukt Standard indreprodukt i R er: x, y : x T y x i y i otasjon: Ofte én-indekseres vektorelementene i grunnleggende lineær algebra, men vi null-indekserer. otasjon: Ofte angis dimensjonene med små bokstaver, men vi vil her bruke store, f.eks. istedetfor n. Kan kalles prikkprodukt eller skalarprodukt. x, x er den euklidske normen. i0 Standard indreprodukt i C er: x, y : x T y x i yi i0 otasjon: betegner kompleks-konjugering. Ortogonalitet Et indreproduktrom er et vektorrom med et spesifikt indreprodukt. F.eks. det euklidske rommet i R 3, altså vektorrommet R 3 med standard indreprodukt i R 3 som indreprodukt. To vektorer x og y kalles ortogonale i et indreproduktrom hvis x, y 0. Vi skriver at x y. Her betegner, indreproduktet til indreproduktrommet. Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29

2 Standard indreprodukt for komplekse matriser Basis Standard indreprodukt i C M, er: A,B : i0 a ij bij j0 To matriser A og B er ortogonale hvis A,B 0. Dette er egentlig bare en spesialtilfelle av definisjonen på forrige slide fordi C M, er et vektorrom på lik linje med C ; begrepet vektor brukes i denne sammenhengen som en betegnelse på elementene i et vektorrom. En basis for et vektorrom V er en mengde vektorer { v 0,..., v } der v i V for alle i) som: 1 Er lineært uavhengige, dvs., i0 c i v i 0 c i 0 i 2 Utspenner V, dvs., V Span{v 0,...,v } En basis for V) kan betraktes som en minst mulig mengde som kan representere alle vektorer i V). Å skifte basisen som brukes til å uttrykke en vektor kalles et basisskifte. Et basisskifte endrer hvordan vektoren er representert, men ikke hva den representerer. Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ortogonal basis I En mengde vektorer { v 0,..., v } kalles en ortogonal mengde dersom v i, v j 0 i j En ortogonal basis er en basis og en ortogonalt mengde. Et ortogonalt basisskifte er et basisskifte mellom ortogonale basiser. Ortogonal basis II Teorem: Ortogonalt basisskifte La S : { v 0,..., v } være en ortogonal basis for et indreproduktrom. Enhver y i dette rommet kan da skrives som: y c i v i i0 der c i for i 0,1,..., 1 er gitt ved: c i y, v i v i, v i der, betegner indreproduktet til indreproduktrommet. c 0,c 1,...,c kalles koordinatene til y mhp. S. Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29

3 En ortogonal basis En ortogonal basis - bevis basis) For u 0,1,...,M 1 og v 0,1,..., 1, la: A u,v : 1 e j2πu 0 +v 0 M )..... ) e j2πu) M e j2πu) +v 0 M e j2πu 0 M +v) ) +v) ) Teorem A {A u,v u 0,1,...,M 1 v 0,1,..., 1} er en ortogonal basis for C M, mhp. standard indreprodukt i C M,. Dersom A er en ortogonal mengde må den også være en basis for det aktuelle rommet, C M, : 1 Siden elementene i A, A u,v, er ulik 0-matrisen, vil ortogonalitet medføre lineær uavhengighet. 2 A utspenner C M, hvis elementene er lineært uavhengige: Det finnes elementer i A. Hver matrise ligger i C M,. Dimensjonen av C M, er. dersom elementene i A er lineært uavhengige må de utspenne C M,. Altså står og faller hele teoremet på om A er en ortogonal mengde. Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 En ortogonal basis - bevis ortogonalitet I) A er en ortogonal mengde hvis og bare hvis A u,v,a u,v 0 når u u og/eller v v. Generelt er: A u,v,a u,v 1 M M 2 2 ) e j2πux M +vy j2π u ) e e j2π u u ) )x M +v v )y Dersom u u og v v trengs ikke for å vise ortogonalitet): A u,v,a u,v 1 M 2 2 e 0 1 En ortogonal basis - bevis ortogonalitet II) Dersom v v : A u,v,a u,v 1 M 2 2 e j2πu u )x M e j2πv v )y Siden v v vil v v { 1),..., 1,1,..., 1} og dermed e j2πv v 1. Siden n 1 k0 rk 1 rn når r 1: 1 r A u,v,a u,v 1 ) e j2πu u )x M 2 2 M 1 ej2πv v 1 e j2πv v 1 M 2 2 e j2πu u )x M e j2πv v 0 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29

4 En ortogonal basis - bevis ortogonalitet III) Dersom u u kan vi føre et helt tilsvarende resonnement for å vise at A u,v,a u,v 0: 1 Bytt summasjonsrekkefølgen. 2 Trekk ut potensen med v v i eksponenten fra indre sum. 3 u u { M 1),..., 1,1,...,M 1} e j2πu u M 1 kan bruke formelen for geometrisk rekke. 4 Telleren blir 0 hele uttrykket blir 0. En ortogonal basis - bevis ortogonalitet IV) Vi har altså vist at A u,v,a u,v ) 1 δu u,v v ), der δ er Kronecker delta, dvs. at: 0 når u u og/eller v v. A er en ortogonal mengde. ) 1 når u u og v v. mengden av Au,v for u 0,1,...,M 1 og v 0,1,..., 1 er en ortonormal mengde dvs. en ortogonal mengde der alle elementene har indreproduktnorm 1). Sammen med basis-beviset har vi dermed bevist teoremet; A {A u,v u 0,1,...,M 1 v 0,1,..., 1} er en ortogonal basis for C M, mhp. standard indreprodukt i C M,. Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 2D DFT - et ortogonalt basisskifte I Siden A er en ortogonal basis for C M, mhp. dets standard indreprodukt, så sier teoremet om ortogonalt basisskifte at: Enhver f C M, oppfyller: f u0 c u,v A u,v v0 som etter og omdøpt c u,v til Fu,v) kan skrives på komponentform som: fx,y) 1 u0 v0 Fu,v)e j2πux M +vy ) 2D DFT - et ortogonalt basisskifte II Videre sier teoremet om ortogonalt basisskifte:... der c u,v Fu,v) for u 0,1,...,M 1 og v 0,1,..., 1 er gitt ved: Fu,v) f,a u,v A u,v,a u,v ) 1 fx,y)e j2πux M +vy ) ) 1 fx,y)e j2πux M +vy ) Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29

5 2D DFT - et ortogonalt basisskifte III Vi definerer 2D diskret Fourier-transform 2D DFT) av et bilde f R M, som koordinatene til f mhp. A. Altså er 2D DFT av f matrisen F C M, som er gitt ved: Fu,v) fx,y)e j2πux M +vy ) for u 0,1,...,M 1 og v 0,1,..., 1. Vi gå tilbake til standardbasisen for matriser ved å bruke: fx,y) 1 u0 v0 Fu,v)e j2πux M +vy ) for x 0,1,...,M 1 og y 0,1,..., 1. Kalles 2D invers diskret Fourier-transform 2D IDFT). Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Egenskaper ved 2D DFT: Periodisk Betegn 2D DFT-en til bildet f R M, som F. F er periodisk Fu,v) Fu +km,v +k) når k Z. Bevis: Fu +km,v +k) PS: Gjelder selv om f er kompleks. fx,y)e j2πu+km)x + v+k)y M ) fx,y)e j2πux M +vy ) e j2πkx+y) fx,y)e j2πux M +vy ) Fu,v) Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Egenskaper ved 2D DFT: f blir også periodisk Betegn 2D DFT-en til bildet f R M, som F. f er periodisk fx,y) fx +km,y +k) når k Z. Bevis: Som forrige: fx +km,y +k) u0 v0 u0 v0 u0 v0 Fu,v)e j2πu+km)x + v+k)y M ) Fu,v)e j2πux M +vy ) e j2πkx+y) Fu,v)e j2πux M +vy ) fx,y) Altså antas indirekte at f er periodisk når vi bruker 2D DFT. Egenskaper ved 2D DFT: Konjugert symmetrisk Betegn 2D DFT-en til bildet f R M, som F. F er konjugert symmetrisk Fu,v) F u, v). Bevis: F u,v) f x,y)e j2πux M +vy ) fx,y)e j2π ux M + vy ) F u, v) Siden F u, v) F u,v), så er Fu,v) F u, v). Merk: f må være reell! Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29

6 Egenskaper ved 2D DFT: Sinus og cosinus I Eulers formel relaterer den komplekse eksponentialen til de trigonometriske funksjonene: e jθ cosθ+j sinθ Fra denne formelen får vi de to trigonometriske identitetene: cosθ cosθ+cosθ j sinθ j sinθ cosθ+j sinθ+cos θ)+j sin θ) 2 j sinθ+j sinθ sinθ + cosθ cosθ j sinθ+cosθ j sin θ) cos θ) ejθ +e jθ 2 ejθ e jθ Egenskaper ved 2D DFT: Sinus og cosinus II Korollar: 2D DFT av en samplet 2D cosinus Den samplede cosinusen fx,y) cos 2π u + v y M med u,v Z, u < M/2 og v < /2 sin 2D DFT er Fu,v) 2 δu u,v v )+δu +u,v +v )). Bevis: For u < M/2 og v < /2 er: Fu,v) cos 2π ) e j2π u u M + v y )) )) e j2πux M +vy ) ) +e j2π u e j2πux M +vy ) 2 2 δu u,v v )+δu +u,v +v )) Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Egenskaper ved 2D DFT: Sinus og cosinus III Korollar: 2D DFT av en samplet 2D sinus Den samplede sinusen fx,y) sin 2π u + v y M )), med u,v Z, u < M/2 og v < /2 sin 2D DFT er Fu,v) δu u,v v ) δu +u,v +v )). Bevis: Helt analogt: For u < M/2 og v < /2 er: )) u Fu,v) sin 2π M + v y e j2πux M +vy ) ) e j2π u ) e j2π u e j2πux M +vy ) δu u,v v ) δu +u,v +v )) Egenskaper ved 2D DFT: Sinus og cosinus IV 2D DFT-en til en samplet 2D sinus eller cosinus med frekvens u,v ) er altså hhv. δu u,v v ) δu +u,v +v )) og 2 δu u,v v )+δu +u,v +v )). u og v må være heltallige. Vi antok i tillegg at de var mindre enn halvparten av sine respektive bildelenger i absoluttverdi, men tilsvarende egenskap gjelder generelt. Enheten til frekvensen er per bildelengde, Mx. Ikke-null piksler i 2D DFT-en angir frekvensen! At det er et symmetrisk par er en nødvendighet ettersom f er reell; vi har jo vist at 2D DFT da er konjugert symmetrisk. Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29

7 Eksempel I: 2D DFT av samplet 2D cosinus Eksempel I: 2D DFT av samplet 2D cosinus Samplet 2D cosinus med frekvens 20, 0) Absoluttverdien av 2D DFT-en Svart og hvitt indikerer hhv. 0 og /2. Merk at senterpikselen er 0,0)-frekvensen. De hvite pikslene er forstørret for fremvisning. Samplet 2D cosinus med frekvens 0, 10) Absoluttverdien av 2D DFT-en Svart og hvitt indikerer hhv. 0 og /2. Merk at senterpikselen er 0,0)-frekvensen. De hvite pikslene er forstørret for fremvisning. Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Eksempel I: 2D DFT av samplet 2D cosinus Eksempel IV: 2D DFT av summen av to cosinuser Samplet 2D cosinus med frekvens 20, 10) Absoluttverdien av 2D DFT-en Svart og hvitt indikerer hhv. 0 og /2. Merk at senterpikselen er 0,0)-frekvensen. De hvite pikslene er forstørret for fremvisning. Samplet 2D cosinus med 20,0) + cosinus med 0, 10) Absoluttverdien av 2D DFT-en Svart og hvitt indikerer hhv. 0 og /2. Merk at senterpikselen er 0,0)-frekvensen. De hvite pikslene er forstørret for fremvisning. Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29 Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29

8 Oppsummering 2D DFT av bildet f R M, er koordinatene til f mhp. A {A u,v : u 0,1,...,M 1 v 0,1,..., 1}, der: A u,v : 1 e j2πu 0 M +v 0 e j2πu) +v 0 M. )... e j2πu 0 M +v) ) ) e j2πu) M. +v) ) A er en ortogonal basis for C M,. 2D DFT av en sinus eller cosinus med frekvens u,v) er kun ulik 0 i u,v) og u, v). Ole Marius Hoel Rindal IF2310, F9supp / mars / 29