EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling"

Finn Rønningen
7 år siden
Visninger:

1 HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side 1 av 4 EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Tid: Tirsdag , kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Eksamen består av 4 sider (derav 1 side med formler), 12 oppgaver og 20 delspørsmål. Faglærer: Førsteamanuensis, Dr.ing. Per J. Nicklasson, Tlf / Hver deloppgave gir 5 poeng.

2 Side 2 av 4 Oppgaver 1. Utled differensligningen for et system med frekvensrespons He j e j e j3 /1 1 2 e j 3 4 e j2. He j Ye j /Xe j. Multipliserer over og invers Fourier-transformerer. Får da: yn 1 yn 1 3 yn 2 xn 1 xn 1 xn Definer begrepene impulsrespons og frekvensrespons for et lineært tidsinvariant diskret system. Hva er sammenhengen mellom de to? 1, n 0 Impulsresponsen hn er systemets utgang yn når en diskret enhetsimpuls n sendes inn 0, ellers på systemet. Frekvensresponsen He j hke jk angir endring av fase og amplitude for utgangen når et signal med en gitt frekvens xn A sinn kjøres inn på systemet, dvs. yn A He j sinn He j. Frekvensresponsen er den Fourier-transformerte av impulsresponsen. 3. Gitt det diskrete systemet Txn nxn, hvor den tidsvarierende forsterkningen n er kjent på forhånd. Avgjør om systemet har de egenskaper som er gitt under: a. Stabilt Dersom xn M så er Txn n M. Stabilt dersom n er begrenset. b. Kausalt y 1 n nx 1 n og y 2 n nx 2 n, sådersomx 1 n x 2 n, n n 0,vily 1 n y 2 n for n n 0. Systemet er kausalt. c. Lineært Tax 1 n bx 2 n nax 1 n bx 2 n atx 1 n btbx 1 n. Systemet er lineært d. Hukommelsesløst ( memoryless ) Utgangen kun avhengig av n-te verdi av inngangen, så systemet er hukommelsesløst. 4. Definer hva som menes med et periodisk signal. Er signalet xn e j3n/4 periodisk, og hva er eventuelt perioden? Periodisitet krever xn xn N, N heltall. Signalet er periodisk for N 8. Finnes utfra e j3n/4 e j3/4nn e j3n/42k 2k 3 k, k og N heltall, dvs. N 8 k. Minste verdi for k slik at 4 3 både k og N er heltall, er 3, dvs. N Gitt z-transformerte for inngangen og utgangen til et system: Xz 1/1 3 4 z 1, z 3 og 4 Yz 1/1 2 3 z 1, z 2. Bestem konvergensområdet for systemfunksjonen Hz. 3 Hz Yz/Xz z 1 /1 2 3 z 1. Konvergensområdet må velges slik at ROC(Yz) inneholder snittet mellom ROC(Hz) og ROC(Xz), dvs. ROC(Hz) er z Beregn impulsresponsen hn til det kausale LTI-systemet med systemfunksjon Xz 12z 1 z z 1 1 z 1

3 Xz 12z 1 z z 1 1 z 1 2 1/3 8/ z 1 1 z 1 Benytter den inverse z-transformen xn 2n n un 8 3 un 7. Forklar hva som skjer med frekvensspekteret til et kontinuerlig (analogt) signal ved sampling (i tid) av signalet. Illustrer med en skisse, og angi utfra dette hvilke krav som må stilles til samplingsfrekvensen for at signalets informasjonsinnhold skal være bevart etter samplingen. Det oppstår replika av den originale spekteret rundt hele multiplum av samplingsfrekvensen. Samplingsfrekvensen må være minst dobbelt så høy som høyeste frekvenskomponent i det båndbegrensede signalet. Dersom signalet ikke er båndbegrenset, eller dersom samplingsfrekvensen er for lav, vil de repeterte spektra overlappe og gi aliasing. Se skissen under. 8. Gitt systemet med transferfunksjon Hz 12z 1 z z z 2 Tegn signalflytgrafen som svarer til en implementasjon av systemet på følgende form: a. Direkte form I b. Direkte form II c. Kaskadeform med Direkte form I understrukturer d. Kaskadeform med Direkte form II understrukturer Merk at Hz 12z 1 z z z 2 1z 1 1z z z 1. Se figurene under (jeg har ikke fått endret disse enda). Substituer 0.13 istedenfor 0.125, og 0.8 istedenfor Tilsvarende 0.57 istedenfor 0.5, og 0.23 istedenfor Rekkefølgen av faktorene kan være forskjellig.

4 9. Forklar kort hensikten med forskjellige strukturer (representert med signalflytgrafer) for implementasjon av diskrete systemer i datamaskiner. De ulike strukturene har ulike beregningsbehov, lagringsbehov, numeriske egenskaper (bla. stabilitet) og mulighet for parallellisering. 10. Anta at metoden for impulsvarians skal benyttes ved design av et diskret IIR-filter. Utled et uttrykk for transferfunksjonen Hz til det diskrete systemet som fremkommer ved anvendelse av denne metoden på et kontinuerlig system med transferfunksjon Hs s a A Det kontinuerlige systemet har systemfunksjonen Hs s a A Fra formelsamlingen finner vi at impulsresponsen er gitt av h c t Ae at, t 0. Ved bruk av denne metoden forlanger en at hn T d h c nt d T d Ae atdn un. Fra formelsamlingen finnes Hz T d A 1 e at dz 1

5 11. Anta at du ønsker å designe digitale filtre med fokus på de spesielle egenskapene gitt under. Forklar hvilke filtertyper du vil benytte, og foreslå metoder for design av hvert enkelt filter. Gi korte begrunnelser for valgene. a. Lineær fase FIR-filter. Optimale metoder (Parks-McClellan) eller vindusmetoden. b. Enkel amplitudekarakteristikk med stykkevis konstante amplituder IIR-filter. Impulsinvariansmetoden, eller den bilineære transformen. c. Komplisert amplitudekarakteristikk FIR-filter. Optimale metoder (Parks-McClellan) 12. Anta at du har gitt en diskret følge xn av endelig lengde. Forklar hvordan man ved å ta utgangspunkt i en periodisk diskret følge, kan komme frem til den diskrete Fourier-transformasjonen (DFT en) til følgen av endelig lengde. Hva blir uttrykkene for DFT en (syntese- og analyse-ligning) til xn? Lager en tenkt periodisk følge x n av den opprinnelige følgen ved en periodisk utvidelse. Beregner DFS-koeffisientene, se tabellen: X k x nw kn N, x n 1 X kw kn N N,W N e j2/n k0 Plukker ut en periode av de periodiske DFS-koeffisientene, og får DFT-koeffisientene Xk xnw kn N, xn 1 XkW kn N N,W N e j2/n k0

6 Side 4 av 4 Laplace-transformasjonen DFS Konvolusjon Z-transformasjonen Formelsamling L 1 1/s n t n 1 /n 1!, (n 1,2,3,... L 1 1/s a n t n 1 e at /n 1!, n 1,2,3,... L 1 1/s 2 2 1/ sint X k x nw kn N, x n 1 X kw kn N N,W N e j2/n k0 xn yn xkyn k k Xz xnz n Zun 1/1 z 1, z 1 Z u n 1 1/1 z 1, z 1 Zn m z m Za n un 1/1 az 1, z a Z a n u n 1 1/1 az 1, z a Zna n un az 1 /1 az 1 2, z a Z na n u n 1 az 1 /1 az 1 2, z a

Like dokumenter

STE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag

HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side 1 av 3 STE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag Tid: Fredag 20.04.2007, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler: