'HQ GLVNUHWH )RXULHU-WUDQVIRUPHQ (')7)

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "'HQ GLVNUHWH )RXULHU-WUDQVIRUPHQ (')7)"

Transkript

1 TE6146 ignalbehandling 'HQ GLVNUHWH )RXULHU-WUDQVIRUPHQ (')7),QWURGXNVMRQ,, Har tidligere sett på Fourier- og Z-transformene for diskrete følger. For følger av endelig varighet, er det mulig å utvikle en alternativ Fourier-presentasjon - den diskrete Fourier-transformen (DFT). Den diskrete Fourier-transformen kan tolkes som sampler (NB! Med hensyn på frekvens) av Fourier-transformen til signalet. amplene er likt fordelt mhp. frekvens. Den diskrete Fourier-transformen 1

2 TE6146 ignalbehandling,qwurgxnvmrq,,, DFT er av stor teoretisk, og ikke minst praktisk verdi. DFT er en følge, og ikke en kontinuerlig funksjon av frekvens. Mulig med mange innfallsvinkler for å forklare DFT. Tar her utgangspunkt i Fourier-serien til periodiske diskrete følger, og viser at koeffisientene i Fourier-serien tilsvarer DFT til en følge av endelig varighet, tilsvarende en periode av den opprinnelige følgen. DFT implementeres vha. Fast Fourier Transform (FFT), og utgjør et meget kraftig verktøy for signalbehandling. Den diskrete Fourier-transformen 2

3 TE6146 ignalbehandling 'HQ GLVNUHWH )RXULHU-VHULHQ,, er i det følgende på periodiske følger [ Q [ Q U1, U og 1 heltall Disse kan uttrykkes vha. komplekse eksponentielle harmoniske komponenter, H N Q H MŸ2=/1 NQ H N Q U1 Den diskrete Fourier-serien (DF) kan uttrykkes som Analyseligning: ; NQ N! [ Q : 1 (8.11) Q0 ynteseligning: [ Q 1! ; "NQ N : 1 1 (8.12) N0 : NQ "MŸ2=/1 NQ 1 H Den diskrete Fourier-transformen 3

4 TE6146 ignalbehandling 'HQ GLVNUHWH )RXULHU-VHULHQ,,, Merk at det kun benyttes 1 harmoniske komponenter. For et kontinuerlig signal må det benyttes uendelig mange komponenter i Fourier-serien. Harmoniske komponenter som skilles med 1 i tidsindeks, er like dvs. H 0 Q H 1 Q, H 1 Q H 11 Q, H NO1 Q H N Q Diskrete frekvenser er multiplum av grunnfrekvens Ÿ2=/1. Følgen ; N kan tolkes som en følge av endelig varighet N 0,T,Ÿ1 " 1, eller som en periodisk følge for alle N. Periodisk tolkning gir dualitet mellom tids- og frekvensrepresentasjon. Benytter notasjonen [ Q ')6 ; N e Eks for anvendelse. Den diskrete Fourier-transformen 4

5 TE6146 ignalbehandling 'HQ GLVNUHWH )RXULHU-VHULHQ,,,, DF har en rekke nyttige egenskaper: [ Linearitet [ Tidsskift gir frekvensskift [ Dualitet mellom tids- og frekvensrepresentasjon [ ymmetri [ Periodisk konvolusjon gir multiplikasjon av DF er e Tabell 8.1 for oppsummering. kal se nærmere på periodisk konvolusjon, som er forskjellig fra vanlig aperiodisk konvolusjon. Den diskrete Fourier-transformen 5

6 TE6146 ignalbehandling ')6 RJ HULRGLVN NRQYROXVMRQ Dersom [ 1 Q og [ 2 Q er to periodiske følger med periode 1, har en [ 1 P [ 2 Q " P ')6 ; 1 N ; 2 N! P0 Forskjeller fra vanlig aperiodisk konvolusjon:. ummasjonen er over kun over det endelige intervallet 0 t P t Ÿ1 " 1, dvs. en periode. Verdiene av [ 2 Q " P i intervallet 0 t P t Ÿ1 " 1 repeteres periodisk for P utenfor intervallet e Eks. 8.4 Har også dualitet [ 3 Q [ 1 Q [ 2 Q ')6 ; 3 N 1 1! O0 ; 1 O ; 2 N " O Den diskrete Fourier-transformen 6

7 TE6146 ignalbehandling )RXULHU-WUDQVIRUPHQ WLO HULRGLVNH VLJQDOHU,, Periodiske følger er hverken absolutt eller kvadratisk summerbare, og har ikke Fourier-transform i vanlig forstand. Kan imidlertid definere Fourier-transform med form som periodisk pulstog. Kan også tolke Fourier-serien innenfor rammeverket til Fourier-transformen. er på følge [ Q med periode 1 og diskrete Fourier-serie koeffisienter ; N. Definerer Fourier-transformen som ;. ŸH MF! 2= ; N -ŸF " 2=N (8.35) 1 1 N". Fourier-transformen er periodisk med periode 2= (; N er periodisk, og impulsene har avstand 2=/1) Den diskrete Fourier-transformen 7

8 TE6146 ignalbehandling )RXULHU-WUDQVIRUPHQ WLO HULRGLVNH VLJQDOHU,,, Den inverse Fourier-transformen (se s ) gir 2=". 1 ; 2= 0". ; ŸH MF H MFQ GF 1! ; MŸ2=/1 NQ N H 1 N0 dvs. Fourier-serien til [ Q. e Eks. 8.5 for utledning av Fourier-transformen til et diskret periodisk impulstog, som et nytt periodisk impulstog. kal se på Fourier-transformen til periodisk utvidelse av en ikke-periodisk følge [ Q U. U. - Q " U1! [ Q " U1 U". La [ Q [ Q ' Q [ Q '! U". Den diskrete Fourier-transformen 8

9 TE6146 ignalbehandling )RXULHU-WUDQVIRUPHQ WLO HULRGLVNH VLJQDOHU,,,, Fourier-transformen er gitt av ; ŸH MF ;ŸH MF 3 ŸH MF ;ŸH MF!. 2= 1 N". -ŸF " 2=N 1 (8.42).! 2= 1 ;ŸHMŸ2=/1 N -ŸF " 2=N 1 N". Kan fastslå at ; N ;ŸH MŸ2=/1 N ;ŸH MF FŸ2=/1 N utfra (8.35) og (8.42) Den periodiske følgen med DF koeffisienter har en tolkning som likt (i frekvens) fordelte sampler av Fourier-transformen til følgen av endelig lengde som fremkommer ved å ta ut en periode av [ Q, dvs. sampler av Fourier-transformen til [ Q [ Q, 0t Q t 1 " 1 0, ellers Den diskrete Fourier-transformen 9

10 TE6146 ignalbehandling )RXULHU-WUDQVIRUPHQ WLO HULRGLVNH VLJQDOHU,,9 Husk også at ;ŸH MF! Q0 [ Q H "MFQ! Q0 [ Q H "MFQ (8.45) så det følger ved sammenligning med ; N! Q0 ; N ;ŸH MF F2=N/1 e også Eks. 8.6 [ Q : 1 NQ (8.11) at Den diskrete Fourier-transformen 10

11 TE6146 ignalbehandling 6DPOLQJ DY )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,, Vil se nærmere på sammenhengen mellom ikke-periodisk følge med Fourier-transform ;ŸH MF og den periodiske følgen med DF-koeffisienter som er sampler av ;ŸH MF, ; N ;ŸH MF FŸ 2= 1 N ;ŸH Følgen ; N kan også tolkes som en sampling av ]-transformen på enhetssirkelen ; N ;Ÿ] MŸ 2= ;ŸH MŸ 2= ]H 1 N 1 N, og vil derfor være MŸ 2= 1 N periodisk, se Fig Følgen kan være DF-koeffisientene til en følge [ Q, gitt av [ Q 1 1! N0 ; N : 1 "NQ Den diskrete Fourier-transformen 11

12 TE6146 ignalbehandling 6DPOLQJ DY )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,,, Ved innsetting får en (se s. 556) [ Q 1 1! N0 ; N : 1 "NQ 1 1! N0. 1! [ P! "NŸQ"P : 1 1 P". N0 Følger videre at Q " P 1 1! N0 så. [ Q [ Q '! U"..! P"..! P". "MŸ2=/1 NP [ P H : [ P Q " P. "NŸQ"P : 1! - Q " P " U1 U".. - Q " U1! [ Q " U1 U". 1 "NQ Den diskrete Fourier-transformen 12

13 TE6146 ignalbehandling 6DPOLQJ DY )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,,,, Følgen [ Q, som tilsvarer sampling av ;ŸH MF for å komme frem til ; N, er altså en sum av skiftede kopier av [ Q. Kan være overlapp mellom de skiftede kopienene, slik at en periode av [ Q ikke tilsvarer [ Q, se Fig Kriterier for å unngå aliasing i WLGVODQHW (1%!) ved sampling i frekvensplanet:. [ Q må ha endelig lengde. Antall sampler av ;ŸH MF må være større eller lik lengden av [ Q [ Q kan nå finnes som en periode av [ Q ;ŸH MF kan rekonstrueres ved interpolasjon fra ; N, men hovedpoenget er at [ Q kan presenteres eller rekonstrueres uten å kjenne alle verdier av ;ŸH MF. Den diskrete Fourier-transformen 13

14 TE6146 ignalbehandling ')7,, Når Fourier-serien benyttes for å representere en følge av endelig lengde, snakker en om den diskrete Fourier-transformen, DFT. er nå på følger av endelig lengde 1, dvs. [ Q,0t Q t 1 " 1, [ Q 0 ellers. Kan evt. fylles ut med nullere for å få riktig lengde. Kan assosiere periodisk følge til følgen av endelig lengde. [ Q! [ Q " U1 U". Benytter modulo-notasjon: [ Q [ ŸQ modulo 1 ; ŸŸQ 1 Kan se for seg at [ Q legges rundt en sylinder med omkrets 1. [ Q fremkommer ved å gå rundt sylinderen flere ganger. Når sylinderen brettes ut, fremkommer [ Q. Den diskrete Fourier-transformen 14

15 TE6146 ignalbehandling ')7,,, Den periodiske følgen [ Q har en Fourier-serie representasjon, med koeffisienter ; N som selv er en periodisk følge. En HULRGH DY I OJHQ ; N EHQHYQHV ')7 DY [ Q og betegnes ; N. Følger at ; N ; ŸN modulo 1 ; ŸŸN 1 og at ; N ; N, 0t N t 1 " 1 0, ellers Den diskrete Fourier-transformen 15

16 TE6146 ignalbehandling ')7,,,, Kan skrive formlene for analyse og syntese vha. DFT som: ; N [ Q! Q0 [ Q : NQ 1! [ Q : NQ 1,0tNt1" 1 Q0 0, ellers 1! 1 N0 0, ellers ; N : "NQ 1! ; N : "NQ 1,0tQ t 1 " 1 N0 Benytter notasjonen [ Q ')7 ; N Den diskrete Fourier-transformen 16

17 TE6146 ignalbehandling ')7,,9 DFT er sampler av en periode av den periodiske Fourier-transformen ;ŸH MF En evaluering av [ Q 1 1! N0 ; N : 1 "NQ for verdier av Q utenfor intervallet 0 t Q t 1 " 1, tilsvarer en periodisk utvidelse av [ Q. Periodisiteten er iboende, og må ikke glemmes! e Eks. 8.7 for anvendelse. Den diskrete Fourier-transformen 17

18 TE6146 ignalbehandling (JHQVNDHU IRU ')7,, Linearitet: D[ 1 Q E[ 2 Q ')7 D; 1 N E; 2 N Følgene har samme lengde (etter evt. utvidelse av en av følgene med nullere). irkulært skift av følge: [ ŸŸQ " P 1,0tQ t 1 " 1 ')7 H "MŸ2=N/1 P ; N Tilsvarer dreining av sylinder i henhold til tidligere tolkning. e Eks Dualitet: ; Q ')7 1[ ŸŸ"N 1,0tNt1 " 1 se Eks ymmetriegenskaper, se Tabell 8.2. pesielt viktig for reelle følger. irkulær konvolusjon - må diskuteres nærmere. Den diskrete Fourier-transformen 18

19 TE6146 ignalbehandling 6LUNXO U NRQYROXVMRQ RJ ')7,, Vanlig (lineær) konvolusjon av følger gir multiplikasjon av Fourier-transformer. Ved bruk av DFT er oppstår viktige forskjeller! Definerer 1-punkts sirkulær konvolusjon med operatoren Ÿ1 : [ 1 Q Ÿ1 [ 2 Q ')7 ; 1 N ; 2 N [ 1 Q Ÿ1 [ 2 Q! [ 1 P [ 2 ŸŸQ " P 1,0tQ t 1 " 1 P0 Ved lineær konvolusjon inngår multiplikasjon med en følge som er reversert og lineært skiftet i tid [ 1 P [ 2 Q " P. Ved sirkulær konvolusjon er den andre følgen sirkulært reversert i tid, og sirkulært skiftet sammenlignet med den første. Kan tenke seg den ene av følgene legges rundt en sirkel, og den andre rundt en skive som plasseres inni sirkelen. Denne følgen er reversert mhp. tidsindeks. kiven dreies, og resultatet av konvolusjonen for gitt Q finnes ved å multiplisere elementer i de to følgende som har samme plassering (indeks P, og summere (over P. Den diskrete Fourier-transformen 19

20 TE6146 ignalbehandling 6LUNXO U NRQYROXVMRQ RJ ')7,,, e Eks for eksempel på sirkulær konvolusjon. Merk at når en følge reverseres og skiftes sirkulært, se Fig. 8.14, vil punktene i den resulterende følgen ikke ha samme rekkefølge som ved lineær reversering og skifting. e Fig Ved sirkulær reversering modulo 1 av [ 2 Q vilvibare ha positive indekser. Tenk at følgen først utvides periodisk, og så snus om Q 0. Endre så indeksen langs tidsaksen fra Q til P. Plukk deretter ut de 1 første punktene fra 0 til Ÿ1 " 1. Dette er [ 2 ŸŸ"P 1. Ved sirkulær skifting mot økende tidsindeks, dvs. positiv Q,vilde punkter av følgen som forsvinner utenfor intervallet 0 t Q t 1 " 1 komme inn igjen ved følgens begynnelse, dvs. for P 0. Motsatt ved sirkulært skift mot avtagende tidsindeks, dvs. n negativ. Den diskrete Fourier-transformen 20

21 TE6146 ignalbehandling /LQH U NRQYROXVMRQ YKD. ')7,, Ønsker å beregne lineær konvolusjon vha. DFT på følgende måte:. Beregn 1-punkts DFT er ; 1 N og ; 2 N av [ 1 Q og [ 2 Q.. Beregn produktet ; 3 N ; 1 N ; 2 N, 0t N t 1 " 1.. Beregn [ 3 Q [ 1 Q Ÿ1 [ 2 Q som den inverse DFT av ; 3 N Må sikre at sirkulær konvolusjon blir lik lineær konvolusjon. Ved vanlig konvolusjon er lengden av den resulterende følgen [ 3 Q gitt som / 3 " 1 når lengdene av [ 1 Q og [ 2 Q er / og 3. irkulær konvolusjon kan betraktes som lineær konvolusjon med tidsaliasing av resultatet. Resultatet av sirkulær konvolusjon er en følge. [ 3 Q! [ 3 Q " U1, 0tQ t 1 " 1 U". Ikke overlapp dersom lengden 1 av DFT ene er minimum / 3 " 1 e Eks Den diskrete Fourier-transformen 21

22 TE6146 ignalbehandling /LQH U NRQYROXVMRQ YKD. ')7,,, Dersom 1 / 3 kan alle verdiene i den sirkulære konvolusjonen være forskjellig fra resultatet av en lineær konvolusjon. Dersom 3 /, vil imidlertid noen av verdiene i en /-punkts sirkulær konvolusjon være lik resultatet av en lineær konvolusjon. Når 3 / vil kun følgen [ 3 Q / gi overlapp for 0 t Q t / " 1. De siste Ÿ3 " 1 punktene fra 0 t Q t 3 " 2 vil adderes til de første Ÿ3 " 1 punktene av [ 3 Q, og de siste Ÿ3 " 1 punktene av [ 3 Q, fra / t Q t / 3 " 2, vil bli forkastet. De siste Ÿ/ " 3 1 punktene fra Ÿ3 " 1 til Ÿ/ " 1 vil være lik resultatet av en lineær konvolusjon mellom følgene e også Fig Konklusjonen angir et meget viktig resultat: 9HG n V UJH IRU DW ')7 HQH KDU WLOVWUHNNHOLJ OHQJGH, YLO HQ NXQQH EHQ\WWH VLUNXO U NRQYROXVMRQ RJ ')7 IRU n EHUHJQH OLQH U NRQYROXVMRQ. Den diskrete Fourier-transformen 22

23 TE6146 ignalbehandling,pohphqwdvmrq DY /7,-V\VWHPHU YKD. ')7,, Anta at en uendelig lang følge skal filtreres fortløpende. Hvordan kan en benytte DFT for å utføre filtrering i sann tid? Kan benytte blokkonvolusjon, og dele inngangsignalet opp i blokker som inngår i konvolusjonen med filterets impulsrespons. Resultatet av konvolusjonene settes så sammen på riktig måte. Anta at inngangssignalet [ Q deles inn i blokker med lengde /, [ Q.! U0 [ U Q " U/ hvor U te blokk benevnes [ U Q [ Q U/, 0 t Q t / " 1, og at impulsresponsen K Q har lengde 3. Lineær konvolusjon har lengde / 3 " 1. Finner utgangen som \ Q [ Q ' K Q! U0. \ U Q " U/, \ U Q [ U Q ' K Q Den diskrete Fourier-transformen 23

24 TE6146 ignalbehandling,pohphqwdvmrq DY /7,-V\VWHPHU YKD. ')7,,, Beregner DFT er av lengde 1 u / 3 " 1 ved å utvide [ U Q og K Q med nullere, slik at sirkulær konvolusjon blir lik lineær konvolusjon. Finner nå \ U Q ved konvolusjon, se Fig Får overlapp med Ÿ3 " 1 punkter mellom \ U Q og \ U"1 Q. Disse må adderes sammen. Overlapp oppstår fordi resultatet av konvolusjonen generelt har lengre varighet enn inngangssignalet Metoden kalles overlap-add. Konvolusjon kan implementeres vha. DFT. Den diskrete Fourier-transformen 24

25 TE6146 ignalbehandling,pohphqwdvmrq DY /7,-V\VWHPHU YKD. ')7,,,, Finnes alternativ metode der det benyttes en /-punkts sirkulær konvolusjon av en 3-punkts impulsrespons med en /-punkts blokk [ U Q av [ Q. Identifiserer de punkter som vil være lik resultatet av en lineær konvolusjon, og forkaster resten. Deler [ Q inn i blokker slik at Ÿ3 " 1 punkter overlapper. Utfører sirkulær konvolusjon med K Q og får \ U Q. Forkaster punktene i \ U Q som er slik at 0 t Q t 3 " 2 Benytter Ÿ/ " 3 1 nye punkter, og Ÿ3 " 1 punkter fra forrige resultat. Metoden kalles overlap save. e Fig Den diskrete Fourier-transformen 25

26 TE6146 ignalbehandling,pohphqwdvmrq DY /7,-V\VWHPHU YKD. ')7,,9 Kan nå implementere LTI-systemer vha. blokk-konvolusjon. Blokk-konvolusjon kan utføres direkte, eller vha. DFT. Fordelaktig med DFT fordi denne metoden kan implementeres slik at regnebehovet reduseres. Dette gjøres vha. gruppe med algoritmer som har fellesbetegnelsen FFT. Den diskrete Fourier-transformen 26

27 TE6146 ignalbehandling 2VXPPHULQJ Har definert DFT ved å gå veien gjennom DF for periodiske følger. Har definert Fourier-transform for periodiske signaler. Fant at koeffisientene i Fourier-serien kan tolkes som sampler av Fourier-transformen til en følge av endelig lengde, som oppstår ved å ta ut en periode av den periodiske følgen. DFT kan oppfattes som sampling av en periode av Fourier-transformen. Har definert sirkulær konvolusjon, og vist hvordan lineær konvolusjon kan oppnås ved å utføre sirkulær konvolusjon. Har vist hvordan LTI-systemer kan implementeres vha. blokkkonvolusjon og DFT. pesielt kan dette benyttes til filtrering av signaler med uendelig varighet i sann tid. Den diskrete Fourier-transformen 27

3UDNWLVN DQYHQGHOVH DY ')7

3UDNWLVN DQYHQGHOVH DY ')7 TE6146 ignalbehandling 3UDNWLVN DQYHQGHOVH DY ')7,QWURGXNVMRQ Kjenner DFT og FFT for effektiv numerisk beregning av DFT. Finnes ferdige funksjoner for FFT- algoritmer implementert i C/C og andre programmeringsspråk.

Detaljer

STE6146 Signalbehandling =-WUDQVIRUPHQ

STE6146 Signalbehandling =-WUDQVIRUPHQ TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ,QWURGXNVMRQ Fourier-transformen er et meget nyttig verktøy for diskrete signaler og systemer Fourier-transformen konvergerer ikke for alle følger Trenger mere generelt

Detaljer

67( 'LJLWDO VLJQDOEHKDQGOLQJ

67( 'LJLWDO VLJQDOEHKDQGOLQJ TE6146 ignalbehandling 67( 'LJLWDO VLJQDOEHKDQGOLQJ 'LVNUHWH VLJQDOHU RJ V\VWHPHU Et signal er noe som inneholder informasjon Kan fysisk realiseres ved strømmer og spenninger, lyd, bilde etc ignalbehandling

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Side 1 av 4 HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet EL/RT LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Tid: Fredag 11.03.2005, kl: 09:00-12:00 Tillatte

Detaljer

6DPSOLQJ DY NRQWLQXHUOLJH VLJQDOHU

6DPSOLQJ DY NRQWLQXHUOLJH VLJQDOHU TE6146 ignalbehandling 6DPOLQJ DY NRQWLQXHUOLJH VLJQDOHU,QWURGXNVMRQ Mest vanlige måte å oppnå diskrete signaler på er ved sampling av kontinuerlige signaler Under gitte forutsetninger kan kontinuerlige

Detaljer

Uke 9: Diskret Fourier Transform, I

Uke 9: Diskret Fourier Transform, I Uke 9: Diskret Fourier Transform, I Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/23 Dagens temaer Sampling og periodisitet DFT DFT og DTFT 3/23 Tema Sampling

Detaljer

EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling

EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side 1 av 4 EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Tid: Tirsdag 07.03.2006, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

STE 6146 Digital signalbehandling. Løsningsforslag til eksamen avholdt

STE 6146 Digital signalbehandling. Løsningsforslag til eksamen avholdt HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet EL/RT STE 6146 Digital signalbehandling Løsningsforslag til eksamen avholdt 06.02.03 Oppgaver 1. Forklar hva som er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 27 Tid for eksamen: 14.3 17.3 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: INF 347 / INF 447 Digital Signalbehandling

Detaljer

7UDQVIRUPDQDO\VH DY OLQH UH WLGVLQYDULDQWH V\VWHPHU

7UDQVIRUPDQDO\VH DY OLQH UH WLGVLQYDULDQWH V\VWHPHU TE6146 ignalbehandling 7UDQVIRUPDQDO\VH DY OLQH UH WLGVLQYDULDQWH V\VWHPHU,QWURGXNVMRQ Har sett på Z- og Fourier-transformen Ønsker å se mere detaljert på anvendelsen av disse på lineære tidsinvariante

Detaljer

Repetisjon: Eksempel. Repetisjon: Aliasing. Oversikt, 26.februar Gitt. Alle signaler. Ettersom. vil alle kontinuerlig-tid signaler.

Repetisjon: Eksempel. Repetisjon: Aliasing. Oversikt, 26.februar Gitt. Alle signaler. Ettersom. vil alle kontinuerlig-tid signaler. Oversikt, 6.februar Tilhørende pensum i boken er. -.. Repetisjon regning med aliasing og folding rekonstruksjon ved substitusjon FIR-filtre glidende middel et generelt FIR-filter enhetsimpulsresponsen

Detaljer

Fourier-Transformasjoner II

Fourier-Transformasjoner II Fourier-Transformasjoner II Lars Vidar Magnusson February 27, 2017 Resten av Delkapittel 4.2 Preliminary Concepts Delkapittel 4.3 Sampling and the Fourier Transform of Sampled Functions Delkapittel 4.4

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Stavanger, 6. august 013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 5.1 Implementering av IIR filter....................

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Side1av4 HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet EL/RT LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Tid: Mandag 27.08.2009, kl: 09:00-12:00

Detaljer

Uke 6: Analyse i frekvensdomenet

Uke 6: Analyse i frekvensdomenet Uke 6: Analyse i frekvensdomenet Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/26 Dagens temaer Fra forrige gang Frekvensrespons funksjonen Fourier rekker og

Detaljer

Utregning av en konvolusjonssum

Utregning av en konvolusjonssum Forelesning 4.mars 2004 Tilhørende pensum: 5.4-5.8 byggeklosser i implementasjon av FIR-filtre multiplikator adderer enhets blokkdiagrammer over FIR-filtre LTI-systemer tidsinvarians linearitet utlede

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF3440/4440 Signalbehandling Eksamensdag: xx. desember 007 Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Repetisjon: LTI-systemer

Repetisjon: LTI-systemer Forelesning, 11. mars 4 Tilhørende pensum er 6.1-6.4 i læreboken. repetisjon av FIR-filtre frekvensresponsen til et FIR-filter beregne utgangen fra FIR-filtret ved hjelp av frekvensresponsen steady-state

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: mai 2002 IN 155 Digital Signalbehandling Tid for eksamen: 6. mai 9.00 21. mai 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider.

Detaljer

Dagens temaer. Definisjon av z-transformasjonen. Tema. Time 5: z-transformasjon og frekvens transformasjon. Fra forrige gang

Dagens temaer. Definisjon av z-transformasjonen. Tema. Time 5: z-transformasjon og frekvens transformasjon. Fra forrige gang Dagens temaer Time 5: z-transformasjon og frekvens transformasjon Andreas Austeng@ifi.uio.no, NF3470 fi/uio September 2009 Fra forrige gang Kausalitet, stabilitet og inverse systemer Z 1 { }: nvers z-transformasjon

Detaljer

6WUXNWXUHU IRU GLVNUHWH V\VWHPHU

6WUXNWXUHU IRU GLVNUHWH V\VWHPHU TE6146 ignalbehandling 6WUXNWXUHU IRU GLVNUHWH V\VWHPHU,QWURGXNVMRQ For LTI system med rasjonal systemfunksjon, er sammenhengen mellom inngang og utgang gitt av differensligning med konstante koeffisienter

Detaljer

Forelesning, 23.februar INF2400 Sampling II. Øyvind Ryan. Februar 2006

Forelesning, 23.februar INF2400 Sampling II. Øyvind Ryan. Februar 2006 INF2400 Februar 2006 INF2400 Innhold Delkapitlene 4.4-4.6 fra læreboken, 4.3 er til selvstudium. Repetisjon om sampling og aliasing Diskret-til-kontinuerlig omforming Interpolasjon med pulser Oversamling

Detaljer

Uke 5: Analyse i z- og frekvensdomenet

Uke 5: Analyse i z- og frekvensdomenet Uke 5: Analyse i z- og frekvensdomenet Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/32 Dagens temaer Fra forrige gang Kausalitet, stabilitet og inverse systemer

Detaljer

Forelesning, 17.februar INF2400 Sampling II. Øyvind Ryan. Februar 2005

Forelesning, 17.februar INF2400 Sampling II. Øyvind Ryan. Februar 2005 INF2400 Februar 2005 INF2400 Innhold Delkapitlene 4.4-4.6 fra læreboken, 4.3 er til selvstudium. Repetisjon om sampling og aliasing Diskret-til-kontinuerlig omforming Interpolasjon med pulser Oversamling

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF3470 Digital signalbehandling Eksamensdag: 1. desember 013 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 15 sider. Vedlegg:

Detaljer

STE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag

STE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side 1 av 3 STE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag Tid: Fredag 20.04.2007, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Dagens temaer. Endelig lengde data. Tema. Time 11: Diskret Fourier Transform, del 2. Spektral glatting pga endelig lengde data.

Dagens temaer. Endelig lengde data. Tema. Time 11: Diskret Fourier Transform, del 2. Spektral glatting pga endelig lengde data. Dagens temaer Time : Diskret Fourier Transform, del Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF37 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Spektral glatting pga endelig lengde data Bruk av en Frekvensestimering

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Bokmål Eksamensdato: 7.mai 24 Varighet/eksamenstid: 5 timer Emnekode: TELE 23 Emnenavn: Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: Faglærer(e):

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Tirsdag 25. mars 2014 Tid for eksamen : 15:00 19:00 Oppgavesettett er på : 6 sider

Detaljer

Tidsdomene analyse (kap 3 del 2)

Tidsdomene analyse (kap 3 del 2) INF3470 Digital signalbehandling Tidsdomene analyse (kap 3 del 2) Sverre Holm 3.9 Diskret konvolusjon Metode for å finne responsen fra et filter med 0 initialbetingelser, fra impulsresponsen h[n] Enkelt

Detaljer

Bruk av tidsvindu. Diskret Fourier-transform. Repetisjon: Fourier-transformene. Forelesning 6. mai 2004

Bruk av tidsvindu. Diskret Fourier-transform. Repetisjon: Fourier-transformene. Forelesning 6. mai 2004 Repetisjon: Fourier-transformene Forelesning 6. mai 4 Spektralanalyse Pensum i boken: 3-4 til 3-5. Diskret tid Kontinuerlig tid Diskret frekvens DFT, X[k] Fourierrekker, {a k } Kontinuerlig frekvens DTFT,

Detaljer

Uke 6: Analyse i frekvensdomenet

Uke 6: Analyse i frekvensdomenet Uke 6: Analyse i frekvensdomenet Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/39 Dagens temaer Fra forrige gang Frekvensrespons funksjonen Fourier rekker og

Detaljer

TMA Matlab Oppgavesett 2

TMA Matlab Oppgavesett 2 TMA4123 - Matlab Oppgavesett 2 18.02.2013 1 Fast Fourier Transform En matematisk observasjon er at data er tall, og ofte opptrer med en implisitt rekkefølge, enten i rom eller tid. Da er det naturlig å

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF/ Signalbehandling Eksamensdag: 9. desember Tid for eksamen:. 7. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Bedømmelse: Ved bedømmelse vektlegges oppgavene I, II og III likt.

Bedømmelse: Ved bedømmelse vektlegges oppgavene I, II og III likt. Side 1 av 5 + 2 sider vedlegg NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR TELETEKNIKK Signalbehandling Faglig kontakt under eksamen: Navn: Tor A. Ramstad Tlf.: 94314 KONTINUASJONSEKSAMEN

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Eksamensdato: 14.5.213 Varighet/eksamenstid: Emnekode: Emnenavn: 5 timer EDT24T Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e):

Detaljer

STE 6219 Digital signalbehandling Løsning til kontinuasjonseksamen

STE 6219 Digital signalbehandling Løsning til kontinuasjonseksamen HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side av 4 STE 629 Digital signalbehandling Løsning til kontinuasjonseksamen Tid: Fredag 03.08.2007, kl: 09:00-2:00

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling

LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN STE 629 Digital signalbehandling Tid: Torsdag 0.08.2006, kl: 09:00-2:00 Tillatte

Detaljer

Uke 10: Diskret Fourier Transform, II

Uke 10: Diskret Fourier Transform, II Uke 10: Diskret Fourier Transform, II Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 011 /38 Dagens temaer Spektral glatting pga endelig lengde data Bruk av DFT en

Detaljer

Hjelpemidler/hjelpemiddel: D - "Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Enkel kalkulator tillatt."

Hjelpemidler/hjelpemiddel: D - Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Enkel kalkulator tillatt. Side av 8 + sider vedlegg NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ELEKTRONIKK OG TELEKOMMUNIKASJON Signalbehandling Faglig kontakt under eksamen: Navn: Tor A. Ramstad Tlf.: 46660465

Detaljer

Tidsdomene analyse (kap 3 del 2)

Tidsdomene analyse (kap 3 del 2) INF3470 Digital signalbehandling Tidsdomene analyse (kap 3 del 2) Sverre Holm 3.9 Diskret konvolusjon Metode for å finne responsen fra et filter med 0 initialbetingelser, fra impulsresponsen h[n] Enkelt

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Bokmål Eksamensdato: 6.mai 215 Varighet/eksamenstid: 5 timer Emnekode: TELE 23 Emnenavn: Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e):

Detaljer

Repetisjon: Spektrum for en sum av sinusoider

Repetisjon: Spektrum for en sum av sinusoider Forelesning 9. april 4 Pensum i boken: - og -, noe fra -4 ikke nødvendig å lese, -6., -8-3. og -3.5 3- til 3-4 Oversikt Spektrum for et signal, frekvensinnholdet Bruk av Fourier-transform FT for å beregne

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Eksamensdato: 19.5.211 Varighet/eksamenstid: Emnekode: 5 timer EDT24T Emnenavn: Signalbehandling 1 Klasse(r): 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e): Håkon Grønning

Detaljer

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2012 2/30 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper

Detaljer

Sampling ved Nyquist-raten

Sampling ved Nyquist-raten Samplingsteoremet Oppgavegjennomgang, 7.mai Oversikt Presisering av samplingsteoremet Løse utsendt oppgave om sampling Løse oppgave, V Løse oppgave 3, V If a function f (t contains no frequencies higher

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL SIGNALBEHANDLING 1 JUNI 2010

LØSNINGSFORSLAG TIL SIGNALBEHANDLING 1 JUNI 2010 LØSNINGSFORSLAG TIL SIGNALBEHANDLING JUNI Løsningsforslag til eksamen i Signalbehandling, mai Side av 5 Oppgave a) Inngangssignalet x(t) er gitt som x( t) = 5cos(π t) + 8cos(π 4 t). Bruker Eulers formel

Detaljer

7HNQLNNHU IRU ILOWHUGHVLJQ

7HNQLNNHU IRU ILOWHUGHVLJQ TE6146 ignalbehandling 7HNQLNNHU IRU ILOWHUGHVLJQ,QWURGXNVMRQ ystemer som modifiserer enkelte frekvenser i et signal relativt andre, kalles ILOWUH Diskrete (digitale) filtre er en meget viktig klasse LTI-systemer,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 29. mars 2007 Tid for eksamen: 09.00 2.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: INF 3470 / INF 4470 Digital Signalbehandling

Detaljer

f(t) F( ) f(t) F( ) f(t) F( )

f(t) F( ) f(t) F( ) f(t) F( ) NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI OG ANVENDT GEOFYSIKK Oppgave SIG4045 Geofysisk Signalanalyse Lsningsforslag ving 3 a) ' xy (t) = x()y(t + )d : La oss, for

Detaljer

Basisbilder - cosinus. Alternativ basis. Repetisjon Basis-bilder. INF april 2010 Fouriertransform del II. cos( )

Basisbilder - cosinus. Alternativ basis. Repetisjon Basis-bilder. INF april 2010 Fouriertransform del II. cos( ) INF 30 0. april 00 Fouriertransform del II Kjapp repetisjon Bruk av vinduer Konvolusjonsteoremet Filtre og filtrering i frekvensdomenet Eksempel: 3 5 4 5 3 4 3 6 Repetisjon Basis-bilder Sort er 0, hvit

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Bokmål Eksamensdato: 16.mai 1 Varighet/eksamenstid: Emnekode: Emnenavn: 5 timer EDT4T Signalbehandling Klasse(r): EI EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e):

Detaljer

Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1.

Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1. FYS2130 Våren 2008 Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1. Vi har på forelesning gått gjennom foldingsfenomenet ved diskret Fourier transform, men ikke vært pinlig nøyaktige

Detaljer

Introduksjon. «Diskret» sinus/cosinus i 1D. Funksjonen sin(θ) INF april 2010 Fourier -- En annen vinkling på stoffet i kapittel 4

Introduksjon. «Diskret» sinus/cosinus i 1D. Funksjonen sin(θ) INF april 2010 Fourier -- En annen vinkling på stoffet i kapittel 4 Introduksjon INF 2310 13. april 2010 Fourier -- En annen vinkling på stoffet i kapittel 4 Fourier: Vi kan uttrykke ethvert bilde som en vektet sum av sinus- og cosinus-signaler med ulik frekvens og orientering

Detaljer

FFT. Prosessering i frekvensdomenet. Digital signalprosessering Øyvind Brandtsegg

FFT. Prosessering i frekvensdomenet. Digital signalprosessering Øyvind Brandtsegg FFT Prosessering i frekvensdomenet Digital signalprosessering Øyvind Brandtsegg Representasjonsmåter Tidsdomene: Amplityde over tid Frekvensdomene: Amplityde over frekvens Hvorfor? Prosessering i frekvensdomenet

Detaljer

pdf

pdf FILTERDESIGN Ukeoppgavene skal leveres som selvstendige arbeider. Det forventes at alle har satt seg inn i instituttets krav til innleverte oppgaver: Norsk versjon: http://www.ifi.uio.no/studinf/skjemaer/erklaring.pdf

Detaljer

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/26 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper

Detaljer

Fourier-Transformasjoner IV

Fourier-Transformasjoner IV Fourier-Transformasjoner IV Lars Vidar Magnusson March 1, 2017 Delkapittel 4.6 Some Properties of the 2-D Discrete Fourier Transform Forholdet Mellom Spatial- og Frekvens-Intervallene Et digitalt bilde

Detaljer

Eksempel 1. Frekvensene i DFT. Forelesning 13. mai På samme måte har vi at. I et eksempel fra forrige uke brukte vi sekvensen

Eksempel 1. Frekvensene i DFT. Forelesning 13. mai På samme måte har vi at. I et eksempel fra forrige uke brukte vi sekvensen Frekvensene i DFT Forelesning 3. mai 4 Pensum i boken: fra 3-5.3 til 3-8.4, samt 3-9. Delkapitlene 3-8.5, 3-8.6 og 3-8.7 er nyttig selvstudium. Oversikt Spektralanalyse av signaler med endelig lengde Spektralanalyse

Detaljer

STE6146 Signalbehandling .RQWLQXHUOLJH ILOWUH

STE6146 Signalbehandling .RQWLQXHUOLJH ILOWUH TE6146 ignalbehandling.rqwlqxhuoljh ILOWUH,QWURGXNVMRQ Ved enkelte metoder for design av digitale filtre, baserer en seg på tilgjengeligheten av metoder for design av analoge (kontinuerlige) filtre. Må

Detaljer

Fasit til midtveiseksamen

Fasit til midtveiseksamen Fasit til midtveiseksamen INF344/444 Signalbehandling 2. november 24 Oppgave Betrakt systemet x(n) T y (n) med y(n) = 4 5 [x(n+)] 2. Avgjør og begrunn ditt svar om hvorvidt dette systemet er. lineært,

Detaljer

Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler

Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33505 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 2 Konvolusjon og filtrering og frevensanalyse av signaler Sarpsborg 21.01.2005 20.01.05

Detaljer

Dagens temaer. Tema. Time 6: Analyse i frekvensdomenet. z-transformasjonen. Fra forrige gang. Frekvensrespons funksjonen

Dagens temaer. Tema. Time 6: Analyse i frekvensdomenet. z-transformasjonen. Fra forrige gang. Frekvensrespons funksjonen Dagens temaer Time 6: Analyse i frekvensdomenet Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Oktober 2009 Fra forrige gang Frekvensrespons funksjonen Fourier rekker

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF347/447 Digital signalbehandling Eksamensdag:. desember 5 Tid for eksamen: 9. 3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Ingen

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Kandidatnr: Eksamensdato: 27.5.21 Varighet/eksamenstid: Emnekode: 5 timer EDT24T Emnenavn: Signalbehandling 1 Klasse(r): 2ET 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e):

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 2. juni 2010 Tid for eksamen : 09:00 12:00 Oppgavesettet er på : XXX sider

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF3470/4470 Digital signalbehandling Eksamensdag: 5. januar 019 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg:

Detaljer

Formelark for eksamen i TE 559 Signaler og systemer Kontinuerlig tid Diskret tid Beskrivelse Dierensialligning Dieranseligning y(t) =y (t) +3u(t) +5u (t) y[k] =,y[k, ] + u[k] Beskrivelse Impulsrespons,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF3440/4440 Signalbehandling Eksamensdag: 11. desember 006 Tid for eksamen: 15.30 18.30 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:

Detaljer

Forelesening INF / Spektre - Fourier analyse

Forelesening INF / Spektre - Fourier analyse Forelesening INF 24 27/ - 25 Spektre - Fourier analyse Spektre - Fourier analyse og syntese Tosidig spektrum Beat notes Amplitudemodulasjon Periodiske og ikke-periodiske signaler Fourier rekker - analyse

Detaljer

INF mars 2017 Fourier I -- En litt annen vinkling på stoffet i kapittel 4

INF mars 2017 Fourier I -- En litt annen vinkling på stoffet i kapittel 4 INF 2310 22. mars 2017 Fourier I -- En litt annen vinkling på stoffet i kapittel 4 I dag: Sinus-funksjoner i 1D og 2D 2D diskret Fouriertransform (DFT) Mandag 27. mars: Supplementsforelesning holdt av

Detaljer

Tidsdomene analyse (kap 3 del 1)

Tidsdomene analyse (kap 3 del 1) INF3470 Digital signalbehandling Tidsdomene analyse (kap 3 del 1) Sverre Holm Mål for kapittel 3: Systemer 1. Forstå linearitet, superposisjon, tidsinvarians og kausalitet t 2. Vite hvordan å identifisere

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Tirsdag 25. mars 2014 Tid for eksamen : 15:00 19:00 Løsningsforslaget

Detaljer

Løsningsforslag til hjemmeeksamen i INF3440 / INF4440

Løsningsforslag til hjemmeeksamen i INF3440 / INF4440 Løsningsforslag til hjemmeeksamen i INF3 / INF Jan Egil Kirkebø 7. oktober 3 Oppgave a π = 9 n= (n)!(3 + 39n) (n!) 39 n Srinivasa Ramanujan Vi ser at første dag i 999 har index 5, mens siste registrerte

Detaljer

Fourier-Transformasjoner

Fourier-Transformasjoner Fourier-Transformasjoner Lars Vidar Magnusson February 21, 2017 Delkapittel 4.1 Background Delkapittel 4.2 Preliminary Concepts Fourier Fourier var en fransk matematiker/fysiker som levde på 1700/1800-tallet.

Detaljer

sin(2 ui/n) starter på 0 og repeteres u ganger per N samples. cos(2 ui/n) starter på 1 og repeteres u ganger per N samples

sin(2 ui/n) starter på 0 og repeteres u ganger per N samples. cos(2 ui/n) starter på 1 og repeteres u ganger per N samples 0700 Foreløbig versjon! INF 0 mars 07 Fourier I -- En litt annen vinkling på stoffet i kapittel I dag: Sinus-funksjoner i D og D D diskret Fouriertransform (DFT) Introduksjon I/II Et gråtonebilde Typisk

Detaljer

Uke 6: Analyse i frekvensdomenet

Uke 6: Analyse i frekvensdomenet Uke 6: Analyse i frekvensdomenet Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/41 Dagens temaer Fra forrige gang Frekvensrespons funksjonen Fourier rekker og

Detaljer

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2013 2/31 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper

Detaljer

Midtveiseksamen. INF Digital Bildebehandling

Midtveiseksamen. INF Digital Bildebehandling INSTITUTT FOR INFORMATIKK, UNIVERSITETET I OSLO Midtveiseksamen INF2310 - Digital Bildebehandling Eksamen i: INF2310 - Digital Bildebehandling Eksamensdag: Tirsdag 21. mars 2017 Tidspunkt for eksamen:

Detaljer

Transformanalyse. Jan Egil Kirkebø. Universitetet i Oslo 17./23. september 2019

Transformanalyse. Jan Egil Kirkebø. Universitetet i Oslo 17./23. september 2019 Transformanalyse Jan Egil Kirkebø Universitetet i Oslo janki@ifi.uio.no 17./23. september 2019 Jan Egil Kirkebø (Inst. for Inf.) IN3190/IN4190 17./23. september 2019 1 / 22 Egenfunksjoner til LTI-systemer

Detaljer

Kap 7: Digital it prosessering av analoge signaler

Kap 7: Digital it prosessering av analoge signaler Kap 7: Digital it prosessering av analoge signaler Sverre Holm Temaer 1. Sampling og rekonstruksjon 2. Finne spektret til samplet signal 3. Gjenvinning med forskjellige interpolasjoner 4. Nullinnsetting

Detaljer

( x+ π 2) Bakgrunn: Sinus og cosinus. Bakgrunn: Samplet sinus i 1D. Bakgrunn: Samplet sinus i 2D. Bakgrunn: Sinus i 2D. sin( x)=cos.

( x+ π 2) Bakgrunn: Sinus og cosinus. Bakgrunn: Samplet sinus i 1D. Bakgrunn: Samplet sinus i 2D. Bakgrunn: Sinus i 2D. sin( x)=cos. Bakgrunn: Samplet sinus i 1D Bakgrunn: Sinus og cosinus En generell samplet sinusfunksjon kan skrives som: y(t) = A sin(2πut/n + φ) t : tid; 0, 1,..., N-1 A : amplitude u : antall hele perioder* N : antall

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF347/447 Digital signalbehandling Eksamensdag: 1. desember 16 Tid for eksamen: 14.3 18.3 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF2400 Digital signalbehandling 16. 23. april 2004,

Detaljer

Dagens temaer. 3 domener. Tema. Time 4: z-transformasjonen. z-dometet; ett av tre domener. Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470

Dagens temaer. 3 domener. Tema. Time 4: z-transformasjonen. z-dometet; ett av tre domener. Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470 Dagens temaer Time 4: z-transformasjonen Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470 z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper Ifi/UiO September 2009 H(z); systemfunksjonen og

Detaljer

Fasit, Eksamen. INF3440/4440 Signalbehandling 9. desember c 0 + c 1z 1 + c 2z 2. G(z) = 1/d 0 + d 1z 1 + d 2z 2

Fasit, Eksamen. INF3440/4440 Signalbehandling 9. desember c 0 + c 1z 1 + c 2z 2. G(z) = 1/d 0 + d 1z 1 + d 2z 2 Fasit, Eksamen INF/ Signalbehandling 9. desember Oppgave : Strukturer To systemfunksjoner, G(z) og H(z), er gitt som følger: G(z) = c + c z + c z /d + d z + d z og H(z) = /d + dz + d z c + c z + c z. Figur

Detaljer

Forelesning nr.13 INF 1410

Forelesning nr.13 INF 1410 Forelesning nr.3 INF 4 Komplekse frekvenser og Laplace-transform Oversikt dagens temaer Me Mer om sinusformede signaler om komplekse frekvenser Introduksjon til Laplace-transform Løsning av kretsligninger

Detaljer

y(t) t

y(t) t Løsningsforslag til eksamen i TE 559 Signaler og Systemer Høgskolen i Stavanger Trygve Randen, t.randen@ieee.org 3. mai 999 Oppgave a) Et tidsinvariant system er et system hvis egenskaper ikke endres med

Detaljer

SPEKTALANALYSATORER. Fig. 1 Illustrasjon av sammenhengen tidsfunksjon - frekvensspektrum

SPEKTALANALYSATORER. Fig. 1 Illustrasjon av sammenhengen tidsfunksjon - frekvensspektrum SPEKTALANALYSATORER Fig. 1 Illustrasjon av sammenhengen tidsfunksjon - frekvensspektrum Vi har ofte nytte av å kunne veksle mellom de to grafiske presentasjonsmåtene for et elektrisk signal, tidsfunksjon

Detaljer

Sampling, kvantisering og lagring av lyd

Sampling, kvantisering og lagring av lyd Litteratur : Temaer i dag: Neste uke : Sampling, kvantisering og lagring av lyd Cyganski kap 11-12 Merk: trykkfeilliste legges på web-siden Sampling av lyd Kvantisering av lyd Avspilling av samplet og

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG for KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SIE2010 Informasjons- og signalteori, 29. juli y(n) = ay(n 1) + x(n k),

LØSNINGSFORSLAG for KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SIE2010 Informasjons- og signalteori, 29. juli y(n) = ay(n 1) + x(n k), NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR TELETEKNIKK Signalbehandling LØSNINGSFORSLAG for KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SIE200 Informasjons- og signalteori, 29. juli 2002 Oppgave I Gitt

Detaljer

HØGSKOLEN - I - STAVANGER. Institutt for elektroteknikk og databehandling

HØGSKOLEN - I - STAVANGER. Institutt for elektroteknikk og databehandling HØGSKOLEN - I - STAVANGER Institutt for elektroteknikk og databehandling EKSAMEN I: TE 559 Signaler og systemer VARIGHET: 5 timer TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator, K. Rottmanns formelsamling OPPGAVESETTET

Detaljer

Fourier-Transformasjoner

Fourier-Transformasjoner Fourier-Transformasjoner Lars Vidar Magnusson February 5, 2018 Delkapittel 4.1 Background Delkapittel 4.2 Preliminary Concepts Delkapittel 4.3 Sampling and the Fourier Transform of Sampled Functions Delkapittel

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4 Stavanger, 13. august 2013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 2013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 1 En kort oppsummering. 1 2 Adaptiv

Detaljer

Eksempel: Ideelt lavpassfilter

Eksempel: Ideelt lavpassfilter Filterdesign i frekvensdomenet Lavpassfiltre Romlig representasjon av ideelt lavpassfilter Slipper bare gjennom lave frekvenser (mindre enn en grense D 0 som kalles filterets cut-off-frekvens) I signalbehandling

Detaljer

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Presentasjon av Field II. Teori om simuleringsmetoden

Presentasjon av Field II. Teori om simuleringsmetoden Presentasjon av Field II Teori om simuleringsmetoden Oversikt Lineære system Romlig impulsrespons Field II teori Opprinnelig simuleringsmetode/implementering Oppdeling av aperture i rektangulære element

Detaljer

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4245 Statistikk (B, K1, I) 3.1, 3.2, 3.3 foreleses torsdag 15.januar 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 160 170 180 190 hoyde i cm Mette.Langaas@math.ntnu.no

Detaljer