Uke 6: Analyse i frekvensdomenet

Transkript

1 Uke 6: Analyse i frekvensdomenet Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011

2 2/41 Dagens temaer Fra forrige gang Frekvensrespons funksjonen Fourier rekker og transformer Egenskaper til DT Fourier transform LTI systemer som frekvens-selektive filtre

3 3/41 Tema Fra forrige gang

4 4/41 z-transformasjonen Definisjon; formel + ROC Egenskaper Drøfte systemer vha z-transformen Invers z-transformasjon Poler og nullpunkter

5 5/41 Egenfunksjoner til et LTI system La Da er x[n] = e ȷnΩ, < n <, Ω [ π, π] y[n] = h[n] x[n] = = k= k= h[k]x[n k] h[k]e ȷΩ(n k) = e ȷnΩ = H(Ω)e ȷnΩ = H(Ω)x[n] dvs at egenfunksjonen til et LTI system er k= h[k]e ȷkΩ x[n] = e ȷnΩ, < n <, Ω [ π, π] og egenverdien, benevnt H(Ω), er = k= h[k]e ȷkΩ

6 6/41 Diskret tid Fourier transform; DTFT Notasjon: Analyse : X(Ω) F {x[n]} = Alternativt: X(F) = n= n= x[n]e ȷ2πFn x[n]e ȷΩn Syntese : x[n] F 1 {X(Ω)} = 1 2π 2π X(Ω)e ȷΩn dω Alternativt: x[n] = x[n] F X(Ω) 1/2 1/2 0 X(F)e ȷ2πFn df

7 Fra forrige gang Diskret tid Fourier transform; DTFT Notasjon: Analyse : X(Ω) F {x[n]} = x[n]e ȷΩn n= Alternativt: X(F) = x[n]e ȷ2πFn n= Syntese : x[n] F 1 {X(Ω)} = 1 2π 2π X(Ω)e ȷΩn dω 0 1/2 Alternativt: x[n] = 1/2 x[n] F X(Ω) X(F)e ȷ2πFn df H(Ω) plottes Som oftest er det H(Ω) vi er mest interessert i Filtre med konstant gruppeforsinkelse sier vi har lineær fase Da plottes ikke fasen

8 7/41 Tema Frekvensrespons funksjonen

9 8/41 H(Ω): Frekvensresponsen H(Ω) = k= h[k]e ȷkΩ H(Ω) er en funksjon av frekvensvariabelen Ω H(Ω) er, generelt, en kompleks størrelse, og kan skrives som: Reell og imaginær del: H(Ω) = HR (Ω) + ȷH I (Ω) eller Magnitude og fase: H(Ω) = H(Ω) e ȷΘ(Ω), hvor H(Ω) 2 = H(Ω)H (Ω) = H 2 R(Ω) + H 2 I (Ω) og Θ(Ω) = tan 1 H I (Ω) H R (Ω) Gruppeforsinkelsen (eller envelopeforsinkelsen) til H: τ g (Ω) = dθ(ω) dω Periodisitet: Siden x[n] = e ȷnΩ 0 = e ȷn(Ω 0+2π), må vi ha at H(Ω 0 ) = H(Ω 0 + 2π)

10 9/41 H(Ω): Frekvensresponsen Hva er H(F 0 ), H(2F 0 ) og H(3F 0 )?

11 10/41 H(Ω): Frekvensresponsen Hva er Θ H (F 0 ), Θ H (2F 0 ) og Θ H (3F 0 )?

12 11/41 H(Ω): Frekvensresponsen Konstant tidsskift: Når fasen er proporsjonal med frekvensen (lineær)

13 12/41 Eksempel Vi har gitt et LTI-system med impulsrespons h[n] = α n u[n], α R, α < 1 Frekvensresponsen er da H(Ω) = h[n]e ȷnΩ = α n e ȷnΩ = k= (αe ȷΩ ) n = k=0 k=0 1 1 αe ȷΩ Amplituderespons: H(Ω) = 1 1 αe ȷΩ 1 1 αe ȷΩ = 1 1+α 2 2α cos Ω Faserespons: Θ(Ω) = tan 1 H I (Ω) H R (Ω) = tan 1 Gruppeforsinkelse: τ g (Ω) = α2 α cos Ω 1+α 2 2α cos Ω α sin Ω 1 α cos Ω

14 Frekvensrespons funksjonen Eksempel Vi har gitt et LTI-system med impulsrespons h[n] = α n u[n], α R, α < 1 Frekvensresponsen er da H(Ω) = h[n]e ȷnΩ = α n e ȷnΩ = k= (αe ȷΩ ) n = k=0 k=0 1 1 αe ȷΩ Amplituderespons: H(Ω) = 1 1 αe 1 ȷΩ 1 αe = 1 ȷΩ 1+α 2 2α cos Ω Faserespons: Θ(Ω) = tan 1 HI(Ω) HR(Ω) = tan 1 Gruppeforsinkelse: τg(ω) = α2 α cos Ω 1+α 2 2α cos Ω α sin Ω 1 α cos Ω Å regne ut gruppeforsinkelsen er en fin måte å repetere derivasjonsregler på: τ g (Ω) = dθ(ω) dω = Θ (Ω) ( ) = tan 1 α sin Ω 1 α cos Ω = 1 + = ( α sin Ω 1 α cos Ω 1 ( α sin Ω 1 α cos Ω 1 = ( α sin Ω)2 1 + (1 α cos Ω) 2 ) 2 1 α cos Ω ( α sin Ω ) ( ) kjerneregelen ) 2 ( α sin Ω) (1 α cos Ω) ( α sin Ω)(1 α cos Ω) (1 α cos Ω) 2 ( ) kvotientregelen α cos Ω(1 α cos Ω) + α sin Ω α sin Ω (1 α cos Ω) 2 (1 α cos Ω) 2 (1 α cos Ω) 2 = α cos Ω + α2 cos 2 Ω + α 2 sin 2 Ω 1 2α cos Ω + α 2 cos 2 Ω + α 2 sin 2 Ω α cos Ω + α2 = 1 2α cos Ω + α 2 (sin 2 Ω + cos 2 Ω = 1)

15 13/41 Tema Fourier rekker og transformer Kontinuerlig tid Fourier rekke og transform Frekvens analyse av diskret tid periodiske signaler

16 14/41 Fourier rekker og transformer Mål: Utvikle et matematisk verktøy (et prisme ) som dekomponerer signaler ( lys ) inn forskjellige frekvenskomponenter ( farger ) Videre: Utvilke verktøyet ( det inverse prismet ) som syntetiserer tilbake det hvite lyset fra frekvenskomponentene

17 15/41 De fire Fourier rekkene/transformasjonene

18 16/41 Kontinuerlig tid: Fourier rekke og transform Fourier rekker: Dekomposisjon av signaler til sum av sinus/cosinus ledd (eller komplekse eksponensialer) frekvens domenet De aller fleste signaler av prakisk interesse kan dekomponeres i en sum av sinus/cosinus ledd Periodiske signaler: Fourier rekker (Fourier series) Endelig energi signaler: Fourier transform Viktig i analyse av LTI systemer: Et LTI systems respons til en sinus/cosinus er en tilsvarende sinus/cosinus, men med en (kompleks) skalering Et LTI systems respons til en lineær sum av sinus/cosinus ledd er en tilsvarende sum av sinus/cosinus ledd med kun en mulig kompleks skalering av hvert ledd

19 Kontinuerlig tid (CT) og periodiske signaler Fourier rekker Hvis x(t) er et periodisk signal som tilfredstiller Dirichlet krav, så er Syntese likn: x(t) = c k e ȷ2πkf0t k= Analyse likn: ck = 1 T p x(t)e ȷ2πlf0t dt T p Dirichlets krav: 1 Signalet x(t) har et endelig antall diskontinuiteter innenfor enhver periode 2 Signalet x(t) innehar et endelig antall maks og min punkter innenfor enhver periode 3 Signalet x(t) er absolutt integrerbar innefor enhver periode, dvs T p x(t) dt < I praksis vil alle periodiske signaler av interesse tilfredstille disse kravene Andre periodiske signaler kan også ha en Fourier rekke 17/41

20 Tp Fourier rekker og transformer Kontinuerlig tid Fourier rekke og transform Kontinuerlig tid (CT) og periodiske signaler Fourier rekker Hvis x(t) er et periodisk signal som tilfredstiller Dirichlet krav, så er Syntese likn: x(t) = cke ȷ2πkf0t k= x(t)e ȷ2πlf0t dt Analyse likn: ck = 1 Tp Dirichlets krav: 1 Signalet x(t) har et endelig antall diskontinuiteter innenfor enhver periode 2 Signalet x(t) innehar et endelig antall maks og min punkter innenfor enhver periode 3 Signalet x(t) er absolutt integrerbar innefor enhver periode, dvs x(t) dt < Tp I praksis vil alle periodiske signaler av interesse tilfredstille disse kravene Andre periodiske signaler kan også ha en Fourier rekke representasjon Hvis vi har et kontinuerlig periodisk signal x(t) så må dette kunnes skrives som en sum av et endelig antall frekvenskomponenter x(t) = k= c k e ȷ2πkf0t Vi finner c k ved å gange med e ȷ2πlf0t (l Z) og integrere over en periode (får da ut amplituden): c l = x(t)e ȷ2πlf0t dt T p t 0 +T p = t 0 = c k k= c k e ȷ2πkf 0t e ȷ2πlf0t dt k= t 0 +T p e ȷ2π(k l)f0t dt t 0

21 Tp Fourier rekker og transformer Kontinuerlig tid Fourier rekke og transform Hva blir dette hvis k l? Kontinuerlig tid (CT) og periodiske signaler Fourier rekker Hvis x(t) er et periodisk signal som tilfredstiller Dirichlet krav, så er Syntese likn: x(t) = cke ȷ2πkf0t k= x(t)e ȷ2πlf0t dt Analyse likn: ck = 1 Tp Dirichlets krav: 1 Signalet x(t) har et endelig antall diskontinuiteter innenfor enhver periode 2 Signalet x(t) innehar et endelig antall maks og min punkter innenfor enhver periode 3 Signalet x(t) er absolutt integrerbar innefor enhver periode, dvs x(t) dt < Tp I praksis vil alle periodiske signaler av interesse tilfredstille disse kravene Andre periodiske signaler kan også ha en Fourier rekke representasjon c l = k= = k= = k= c k t 0 +T p t 0 e ȷ2π(k l)f0t dt c k 1 ȷ2π(k l)f 0 [ e ȷ2π(k l)f 0t ] t 0 +T p t 0 c k 1 ȷ2π(k l)f 0 ( e ȷ2π(k l)f 0(t 0 +T p ) e ȷ2π(k l)f 0t 0 ) = 0 siden e ȷ( )t = e eȷ( )(t+t p)

22 Tp Fourier rekker og transformer Kontinuerlig tid Fourier rekke og transform og hvis k = l? Kontinuerlig tid (CT) og periodiske signaler Fourier rekker Hvis x(t) er et periodisk signal som tilfredstiller Dirichlet krav, så er Syntese likn: x(t) = cke ȷ2πkf0t k= x(t)e ȷ2πlf0t dt Analyse likn: ck = 1 Tp Dirichlets krav: 1 Signalet x(t) har et endelig antall diskontinuiteter innenfor enhver periode 2 Signalet x(t) innehar et endelig antall maks og min punkter innenfor enhver periode 3 Signalet x(t) er absolutt integrerbar innefor enhver periode, dvs x(t) dt < Tp I praksis vil alle periodiske signaler av interesse tilfredstille disse kravene Andre periodiske signaler kan også ha en Fourier rekke representasjon c l = c k k= t 0 +T p t 0 e ȷ2π0f0t dt = k= c k t 0 +T p dt = T p c k t 0 Ergo: c k = 1 T p c l = 1 T p T p x(t)e ȷ2πlf0t dt Det kan også vises at for et gitt valg av basis e ȷ2πkf 0t er Fourier-rekka en minste kvadraters løsning

23 18/41 Fourier transformasjonen til CT signaler Betrakt et aperiodisk signal x(t) med endelig lengde Konstruer et periodisk signal x p (t) med periode T p Da er x(t) = lim x p(t) T p

24 19/41 Fourier transformasjonen til CT signaler, fortsettelse Hvis x(t) er et aperiodisk signal som tilfredstiller Dirichlets krav, så er Syntese likn,: x(t) = X(f)e ȷ2πft df Analyse likn: X(f) = x(t)e ȷ2πft dt Dirichlets krav: 1 Signalet x(t) har et endelig antall diskontinuiteter 2 Signal x(t) innehar et endelig antall maks og min punkter 3 Signal x(t) er absolutt integrerbart, dvs x(t) dt < Alle signaler av praktisk interesse tilfedstiller disse kravene

25 20/41 Diskret tid Fourier rekker Gitt et signal x[n] med periode N, dvs x[n] = x[n + N] N Da har vi: N 1 Syntese likn: x[n] = c k e ȷ2πkn/N Analyse likn: cl = 1 N k=0 N 1 n=0 x[n]e ȷ2πln/N, l = 0, 1,, N 1 {c k } representerer amplitude og fase til frekvenskoeffisienten s k [n] = e ȷ2πkn/N = e ȷΩ kn, Ω k = 2πk/N {c k } er periodisk med periode N Endelig mengde informasjon i både tid og frekvens Dette kan datamaskiner håndtere!!!

26 21/41 Diskret tid Fourier rekker Energitetthetsspekter av periodiske sekvenser: Gjennomsnittlig energi av et diskret tid periodisk signal: P x = 1 N 1 N x[n] 2 = N 1 c k 2 n=0 k=0 Dvs energien må være lik i tid og frekvens Parseval s relasjon Fourier rekker av reelle diskrete periodiske signaler: Hvis x[n] er reell (x [n] = x[n]), så er c k = c k, eller også Like symmetri: c k = c k, Ulike symmetri: c k = c k Reelle signaler kan uttrykkes som x[n] = c L k=1 c k cos( 2π N kn + θ k) = a 0 + L ( k=1 ak cos( 2π N kn) b k sin( 2π N kn), hvor a 0 = c 0, a k = 2 c k cos θ k, b k = 2 c k sin θ k, og L = N/2 hvis N like og L = (N 1)/2 hvis N ulike

27 Fourier rekker og transformer Frekvens analyse av diskret tid periodiske signaler Diskret Fourier transform av reelle signaler x[n] = x [n] Diskret tid Fourier rekker Energitetthetsspekter av periodiske sekvenser: Gjennomsnittlig energi av et diskret tid periodisk signal: Px = 1 N 1 N x[n] 2 = N 1 ck 2 n=0 k=0 Dvs energien må være lik i tid og frekvens Parseval s relasjon Fourier rekker av reelle diskrete periodiske signaler: Hvis x[n] er reell (x [n] = x[n]), så er c k = c k, eller også Like symmetri: c k = ck, Ulike symmetri: c k = ck Reelle signaler kan uttrykkes som x[n] = c0 + 2 L k=1 ck cos( 2π N kn + θk) = a0 + L ( k=1 ak cos( 2π N kn) bk sin( 2π N kn), hvor a0 = c0, ak = 2 ck cos θk, bk = 2 ck sin θk, og L = N/2 hvis N like og L = (N 1)/2 hvis N ulike c k = 1 N c k = 1 N N 1 n=0 N 1 n=0 x[n]e ȷ2πln/N l = 0, 1,, N 1 x[n]e ȷ2πln/N = c k Med reelle signaler får vi symmetriske c k / symmetri i frekvensdomenet

28 22/41 Fourier transformasjonen til diskrete ikke-periodiske signaler Hvis x[n] er et diskret ikke-periodisk signal: π Syntese likn: x[n] = 1 X(Ω)e ȷΩn dω 2π π Analyse likn: X(Ω) = n= x[n]e ȷΩn X(Ω) representerer frekvensinnholdet i signalet x[n], dvs X(Ω) er en dekomposisjon av x[n] inn i sine frekvenskomponenter Unik over frekvensintervallet ( π, π), eller ekvivalent (0, 2π) X(Ω) er periodisk med periode 2π

29 23/41 Fourier transformasjonen til diskrete ikke-periodiske signaler, fortsettelse Konvergerer: X N (Ω) = N n= N x[n]e ȷΩn konvergerer uniformt til X(Ω), dvs lim {sup Ω X(Ω) X N (Ω) } = 0 N Garantert hvis x[n] er absolutt summerbar Mulig med kvadratisk summerbare sekvenser hvis mean-square konvergenskriterium er oppfylt Energitetthetsspekter E x = n= x[n] 2 = 1 2π π π X(Ω) 2 dω

30 Fourier rekker og transformer Frekvens analyse av diskret tid periodiske signaler Fourier transformasjonen til diskrete ikke-periodiske signaler, fortsettelse Konvergerer: XN(Ω) = N x[n]e ȷΩn konvergerer uniformt n= N til X(Ω), dvs lim {sup Ω X(Ω) XN(Ω) } = 0 N Garantert hvis x[n] er absolutt summerbar Mulig med kvadratisk summerbare sekvenser hvis mean-square konvergenskriterium er oppfylt Energitetthetsspekter Ex = x[n] 2 = 1 2π n= π π X(Ω) 2 dω Absolutt summerbarhet - et tilstrekkelig krav: Hvis n= x[n] <, så vil: X(Ω) = n= x[n] e jωn n= x[n] < Dvs x[n] er absolutt summerbar hvis X(Ω) er endelig Dette tilsvarer BIBO stabilitet, eller at enhetssirkelen ligger i ROC

31 24/41 Diskret tid Fourier transform; DTFT Notasjon: Analyse: X(Ω) F {x[n]} = Alternativt: X(F) = n= n= x[n]e ȷ2πFn Syntese: x[n] F 1 {X(Ω)} = 1 Alternativt: x[n] = x[n] F X(Ω) 1/2 1/2 x[n]e ȷΩn 2π 2π X(F)e ȷ2πnF df X(Ω)e ȷΩn dω

32 Fra z-transf til DTFT Finner X(Ω) ved å evaluere z-transformasjonen langs enhetssirkelen X(z) Z{x[n]} = x[n]z n R=1 = x[n]e j2πfn n= n= 25/41

33 26/41 Tema Egenskaper til DT Fourier transform

34 Egenskaper til DTFT Symmetri 27/41 Realle signaler x[n] har konjugert symetrisk X(Ω) Linearitet: F {ax 1 [n] + bx 2 [n]} = af {x 1 [n]} + bf {x 2 [n]} Shifting i tid: F {x[n k]} = X(Ω)e ȷΩk (dvs frekvensinnhold avhenger bare av form)

35 28/41 Egenskaper til DTFT, fortsettelse Tidsreversering: F {x[ n]} = X( Ω) (dvs frekvensinnhold reellt signal (X( Ω) = X (Ω)) avhenger bare av form) Konjugering: F {x [n]} = X ( Ω) Konvolusjon: F {x 1 [n] x 2 [n]} = F {x 1 [n]}f {x 2 [n]} = X 1 (Ω)X 2 (Ω) Korrelasjon: F {r x1 x 2 } = S x1 x 2 = X 1 (Ω)X 2 ( Ω) Kryss-korrelasjonstetthetsspektrum Wiener-Khintchine teorem: La x[n] være et reellt signal Da er F {r xx (l)} = S xx (Ω) = X(Ω)X( Ω) = X(Ω)X (Ω) (Ingen faseinformasjon, dvs ikke unik!)

36 29/41 Egenskaper til DTFT, fortsettelse Shifting i frekvens: F {x[n]e ȷΩ 0n } = X(Ω Ω 0 ) Modulasjon: F {x[n] cos[ω 0 n]} = 1 2 [X(Ω + Ω 0) + X(Ω Ω 0 )] Parseval s relasjon / energikonservering: E x = π x[n] 2 = 1 X(Ω) 2 dω n= Multiplikasjon: 2π π F {x 1 [n] x 2 [n]} = F {x 1 [n]} F {x 2 [n]} = 1 X 1 (θ)x 2 (Ω θ)dθ 2π : Periodic convolution

37 Sammenheng mellom system funksjon og frekvens respons H(Ω) = H(z) z=e ȷΩ = Hvis H(z) rasjonell, H(Ω) = B(Ω) A(Ω) = n= M k=0 1 + N k=1 h[n]e ȷΩn b k e ȷΩk a k e ȷΩk = b 0 30/41 M (1 z k e ȷΩ ), (1) N (1 p k e ȷΩ ) k=1 k=1 hvor {a k } og {b k } reelle, men {z k } og {p k } kan være komplekse Magnitude kvadrert: H(Ω) 2 = H(Ω)H (Ω) H (Ω) finnes ved å evaluere H (1/z ) på enhetssirkelen Når {h[n]} reell (= {a k } and {b k } reelle) komplekse poler og nullpunkter opptrer i kompleks-konjugerte par H (1/z ) = H(z 1 ), dvs H (Ω) = H( Ω) og H(Ω) 2 = H(Ω)H (Ω) = H(Ω)H( Ω) = H(z)H(z 1 ) z=e ȷΩ

38 31/41 Tema LTI systemer som frekvens-selektive filtre Ideell filterkarakteristikk & enkle filtre

39 32/41 Ideell filterkarakteristikk Ideelle filte har konstant magnitudekarakteristikk Skal se på responskarakterstikk av lavpass, høypass, båndpass, all-pass og båndstop eller bånd-eliminasjons filtre Lineær faserespons Ideelle filtre har lineær fase i passbåndet I alle tilfeller: Ideelle filtre er ikke fysisk realiserbare! Design av enkle digitale filtre 1 Basert på pol- og nullpunktplassering 2 Alle poler innenfor enhetssirkelen (nullpkt hvor som helst) 3 Komplekse poler/nullpkt i komplekskonjugerte par

40 Ideell filterkarakteristikk, fortsettelse 33/41

41 34/41 Enkle filtre Lavpass Lavpass til høypass transformasjon H hp (Ω) = H lp (Ω π), ie h hp [n] = (e ȷπ ) n h lp [n] = ( 1) n h lp [n] Digitale resonatorer Notch filtre Kam filtre All-pass filtre

42 35/41 Lavpass and høypass filtre

43 LTI systemer som frekvens-selektive filtre Ideell filterkarakteristikk & enkle filtre Lavpass and høypass filtre Realiserbarhet (et ideelt lavpass filter): To problemer: Ikke kausalt h lp (n) = sin(ω cπn) πn Ikke absolutt summerbart ustabilt! Design av lavpass: < n < Poler nær enhetssirkel ved lave frekvenser (høyre side) Nullpunkt nær enhetssirkel ved høye frekvenser (venstre side) Design av høypass: Ta et lavpassfilter og bytt plassering av poler og nullpunkt

44 36/41 Lavpass and høypass filtre, fortsettelse

45 Båndpass filter 37/41

46 Båndpass filter LTI systemer som frekvens-selektive filtre Ideell filterkarakteristikk & enkle filtre H(z) = z z 2 = 015 z2 1 z = 015 (z 1)(z + 1) (z 083j)(z + 083j)

47 38/41 Digital resonator

48 LTI systemer som frekvens-selektive filtre Ideell filterkarakteristikk & enkle filtre Digital resonator Digital resonator: To-pols bandpass filter med par av komplekskonjugerte poler nær enhetssirkelen: p 1,2 = re ±jω 0 0 < r < 1 I tillegg kan opptil to nullpunkt velges To opplagte kandidater: z 1,2 {0, ±1}

49 39/41 Notch filter

50 LTI systemer som frekvens-selektive filtre Ideell filterkarakteristikk & enkle filtre Notch filter Notch filter ( hakk eller innsnitt ): En eller flere (ideelt) perfekte nuller i frekvensresponsen, dvs nullpunkt på enhetssirkelen: z 1,2 = e ±jω 1 For å forbedre responsen kan vi også plassere ut poler: p 1,2 = re ±jω1

51 40/41 Kam filter

52 LTI systemer som frekvens-selektive filtre Ideell filterkarakteristikk & enkle filtre Kam filter Kam (Comb) filter: Brukes for å under trykke harmoniske komponenter, dvs har nullpunkt med faste mellomrom i frekvensresponsen Eksempel: Et moving average filter: y[n] = 1 M + 1 H(Ω) = 1 M + 1 M/2 k= M/2 sin(ω M+1 2 ) sin( ω 2 ) x[n k] Mer generelt: Ta et FIR filter med H(z) = M h(k)z k og erstatt z med z = z l k=0 n H l (z) = h[k]z kl = H(lω) k=0

53 41/41 Allpass filter

54 LTI systemer som frekvens-selektive filtre Ideell filterkarakteristikk & enkle filtre Allpass filter Allpass filter: For at et filter skal være allpass så må H(ω) = 1, eller ekvivalent H(Ω) = H(z)H(z 1 ) = 1 z=e jω Hvis vi feks har poler p 1,2 = re ±jω må vi ha nullpunkter i z 1,2 = 1 r e±jω

55 LTI systemer som frekvens-selektive filtre Ideell filterkarakteristikk & enkle filtre Allpass filter Minimum og maximum fase filter (et liten notat): Vi ønsker å analyserer fasen til de påfølgende to FIR systemene: H 1 (z) = z 1 = z 1 (z ) z 1 = 1 2 p 1 = 0 H 2 (z) = z 1 = z 1 ( 1 2 z + 1) z 1 = 2 p 1 = 0 Vi finner faseresponsen til disse ( betyr fasen til ): Θ 1 (Ω) = [e ȷΩ (e ȷΩ + 12 ] ( ) = Ω + tan 1 sin Ω cos Ω [ Θ 1 (Ω) = e ȷΩ ( 1 ] ( sin Ω 2 eȷω + 1) = Ω + tan cos Ω Responsen til disse to er plottet på neste side ) )

56 LTI systemer som frekvens-selektive filtre Ideell filterkarakteristikk & enkle filtre Allpass filter Her er det stor forskjell på hvor mye fasen vandrer! To definisjoner er på sin plass: H 1 er et minimum-fase system, siden Θ 1 (π) Θ 1 (0) = 0 H 1 er et maximum-fase system, siden Θ 1 (π) Θ 1 (0) = π