Fasit til midtveiseksamen

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Fasit til midtveiseksamen"

Agnes Kristensen
7 år siden
Visninger:

1 Fasit til midtveiseksamen INF344/444 Signalbehandling 2. november 24 Oppgave Betrakt systemet x(n) T y (n) med y(n) = 4 5 [x(n+)] 2. Avgjør og begrunn ditt svar om hvorvidt dette systemet er. lineært, 2. kausalt, 3. BIBO stabilt, 4. uten minne (dvs statisk), 5. inverterbart. Systemet er. Ikke-lineært. T [x (n)+x 2 (n)] = 4 5 [x (n+)+x 2(n+)] ( 2. Ikke kausalt. y(n) avhenger av x(n +), dvs. på famtidige input. x (n+) Ikke BIBO-stabilt. Har at y(n) ± når x(n +) ±, dvs. systemet er ikke stabilt. x 2(n+) 2 )=T[x (n)] + T [x 2 (n)]. 4. Ikke minneløst (evt. ikke statisk, dvs dynamisk). Systemet avhenger av framtidige input. For at systemet skal være minneløst må utsignalet det kun avhenge av input fra samme tid. 5. Ikke inverterbart. Både x() = og x() = gir y() = 4/5, dvs. ikke mulig å avgjøre innsignalet fra et dette ut-signalet. Oppgave 2 Impulsresponsen, h(n), til et lineært tidsinvariant system er kjent til å være null unntatt i intervallet N n N. Inngangssignalet, x(n), er kjent til å være null unntatt i intervallet N 2 n N 3.Somet resultat er utsignalet, y(n), begrenset til null unntatt for et intervall N 4 n N 5. 2a Bestem N 4 og N 5 uttrykt ved N,N,N 2 og N 3. For et LTI system er utsignalet gitt ved konvolusjonen av innsignalet og impulsresponsen: y(n) = k= h(k)x(n k).

2 Siden h(k) for N n N,er x(n) for N 2 n N 3, som gir: y(n)= N k=n h(k)x(n k). x(n k) for N 2 n k N 3. Dette gir og N 4 = N + N 2 N 5 = N + N 3. 2b Hvis x(n) er null bortsett fra for N sammenhengende punkter og h(n) er null bortsett fra for M sammenhengende punkter, hva er da det største antall sammenhengede punkter y(n) kan være ulik null? Begrunn svaret! Hvis x(n) for n n (n + N ) og h(n) for n n (n + M ) fås fra 2a at utsignalet er forskjellig fra null i intervallet (n + n ) n (n + n + M + N 2). Utsekvensen er derfor av lengde M + N, som er den størst lengden y(n) kan være ulik null. Oppgave 3 3a -transformen er kjent for å ha følgende egenskap ( tids skift ): Hvis x(n) X ( ) så er x(n k) k X ( ). Vis denne egenskapen. Z[x(n k)] = = n= m= = k x(n k) n x(m) (m+k) m= = k Z[x(n)] x(m) m qed. 2

3 3b Bestem -transformen til signalet x (n) =α n u(n)= { α n, n, n <. Er x (n) et effekt-signal (power-signal) eller et energi-signal? Begrunn svaret! X () = α n n = (α ) n. n= n= Hvis α < > α, konvergerer rekken til /( α ). Dermed har vi at x(n) =α n u(n) X ( )= α ROC: > α. Energien til signalet er gitt som E n= x(n) 2,oghvisEer endelig er signalet et energisignal. x (n) er derfor et energi-signal såfremt α <. Power er definert som gjennomsnittlig energi, dvs. P = lim N 2N+ N n= N x(n) 2.HvisP er endelig (og større enn ) er x (n) et power-signal. Har dermed at x(n) er power-signal hvis α =. 3c Bestem -transformen til signalet x 2(n) =u(n) u(n N). Er x 2(n) et effekt-signal (power-signal) eller et energi-signal? Begrunn svaret! Antar N>.Benytterresultatfra3aogfår: X()=Z{u(n)} Z{u(n N)}=( N )Z{u(n)} og får fra 3b at X 2 () = N ROC: hele -planet unntatt =. ROC gitt fra endelig kausal rekke. Spesialtilfelle: = X()=N. Fra argumentasjon i 3b: x 2 (n) er et energi-signal. Oppgave 4 Differensiallikningen y(n) =.5 y(n ) +.5 x(n) () beskriver et filter med system funksjon H() =

4 4a Lag et pol-nullpunkt plott for H(w). Pole/Zero Plot.5 Imaginary Part Real Part Pol-nullpkt plott av (). 4b Skisser H(w) og H(w). Hva slags filter er dette? Magnitude (db) and Phase Responses Magnitude (db) Phase (degrees) Normalied Frequency ( π rad/sample) Plott av magnitude og fase for (). Dette er et høypassfilter. 4c Beskriver likning () et FIR (Finite-length Impulse Response) system eller et IIR (Infinite-length Impluse Response) system. Begrunn svaret! Dette er et IIR-system da diff.likning beskriver er et system uten endelig minne (evt. gjennkjenne h(n) som step-funksjon). 4

5 4d Er systemet vi diskuterer i denne oppgaven et minimum-fase, maksimum-fase eller et mikset-fase system? Begrunn svaret! Dette er et minimum-fase system da alle nullpkt ligger innenfor enhetssirkelen (evt. se at differansen i fasen for w = π og w =er lik null). 4e Det fins en enkel transformasjon som transformerer et lavpassfilter til et høypassfilter og vise versa. Beskriv kort denne transformasjonen med utgangspunkt i systemet definert i denne oppgaven. Her kan man argumentere enten i tidsdomene eller i frekvensdomene. Frekvensdomene arg: Speiling av filter om imaginær -akse. Tidsdomene arg: Flytting i frekvens w π w i frekvensdomene gir opphave til multiplikasjon med e jπ i tid-domene. Dette gir fortegnsbytte på odde filter-koeffisienter. 5

Like dokumenter

Uke 4: z-transformasjonen

Uke 4: z-transformasjonen Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2012 2/30 Dagens temaer z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper