STE 6219 Digital signalbehandling Løsning til kontinuasjonseksamen

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "STE 6219 Digital signalbehandling Løsning til kontinuasjonseksamen"

Arnfinn Egeland
8 år siden
Visninger:

1 HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side av 4 STE 629 Digital signalbehandling Løsning til kontinuasjonseksamen Tid: Fredag , kl: 09:00-2:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Eksamen består av 4 sider (derav side med formler) og oppgaver med totalt 20 deloppgaver. Faglærer: Professor Dr.ing. Per J. Nicklasson, Tlf / Hver deloppgave gir 5 poeng.

2007, kl: 09:00-2:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne.

2 Side 2 av 4 Oppgaver. Beregn konvolusjonen av følgene 2,8, 3,22 og,28,3,2. Begge følgene starter i tidsindeks n 0. Løsning: 2,8, 3,22, 28,3,2 2,48,27,390,75,222, Forklar kort følgende begreper med en kombinasjon av ord og formler, evt. kan du også angi karakteristiske egenskaper: a. Impulsrespons Responsen av et system når inngangen er en diskret impuls, dvs. hn yn når xn n, hvor n, n 0 0, ellers b. Frekvensrespons Responsen av et lineært tidsinvariant system for harmoniske (sinus, cosinus) inngangssignaler. Inngangen xn e jn gir utgangen yn He j e jn, der He j betegnes frekvensresponsen. Dette er generelt en kompleks størrelse med fase og amplitude. En sinus med en gitt frekvensfår endret amplitude (angis av He j ) og fase (angis avhe j ) når den passerer gjennom systemet. c. Minimumfase-system LTI-system med minst mulig negativ fase av alle systemer med samme amplitude av frekvensresponsen. Alle poler og nullpunkter av systemfunksjonen er innenfor enhetssirkelen i det komplekse plan. d. FIR-system Finite Impulse Response LTI system med impulsrespons som har endelig utstrekning i tid, dvs. at impulsresponsen kun har et endelig antall punkter ulik null, hn 0, n M 3. Gitt systemet med systemfunksjon: Hz 3 z 6 z2 z 3 a. Tegn signalflytgrafen som svarer til en implementasjon av systemet på direkte form. b. Tegn den transponerte av signalflytgrafen som svarer til en implementasjon på direkte form.

hn yn når xn n, hvor n, n 0 0, ellers b. Frekvensrespons Responsen av et lineært tidsinvariant system for harmoniske (sinus, cosinus) inngangssignaler.

3 4. Gitt systemet med systemfunksjon: Hz 7 6 z 6 z2 z 2 z2 Tegn den transponerte av signalflytgrafen som svarer til en implementasjon av systemet på formen Direkte form II. Tegner først signalflytgrafen for systemet på Direkte form II : Den transponerte blir: 5. Forklar kort med ord og formler hva som menes med den bilineære transformasjonen, og hvordan dette begrepet kan inngå i en designprosess for diskrete systemer. Egner denne designprosessen seg for alle typer diskrete systemer? Forklar. Med den bilineære transformasjonen menes det at man i en transferfunksjon H c s for et kontinuerlig lineært system erstatter Laplace variabelen s med s 2 T d Man kan benytte dette til å designe diskrete systemer ved at en først designer et kontinuerlig system i z z henhold til gitte spesifikasjoner (som evt. kan være oversatt fra spesifikasjoner for et diskret system), og så finner systemfunksjonen for det diskrete systemet utfra Hz H c 2 z T d. Metoden egner seg ikke for z systemer der det er viktig at faseegenskapene bevares gjennom transformasjonen, fordi fasen vris på en ulineær måte når den bilineære transformasjonen benyttes. 6. Når inngangen til et kausalt LTI-system er gitt som xn 3 2 n un 4 3 2n un er den z-transformerte av utgangen Yz z z 2 z 2z a. Beregn z-transformen av xn.

Forklar kort med ord og formler hva som menes med den bilineære transformasjonen, og hvordan dette begrepet kan inngå i en designprosess for diskrete systemer.

4 Vi finner den z-transformerte direkte ved å benytte den vedlagte tabell, som gir Xz 3 2 z 4 3, 2 z 2z z z 2z 2 z 2z z 2. b. Hva blir konvergensområdet for Yz? Konvergensområdet består av snittet mellom konvergensområdet for Xz og Hz. Yz har poler i z, z 2, og z /2. Sammenligner vi dette med polene for Xz, som er i z /2 og z 2, ser vi at Hz må bidra med poler i z og z /2. Dessuten vet vi at systemet er kausalt, og konvergensområdet for Hz blir dermed fra ytterste pol og utover, dvs. z. Konvergensområdet for Yz blir dermed z 2. c. Beregn impulsresponsen til systemet. Vi finner Hz utfra Hz Yz Xz z z 2 z 2 z 2 z z z 2 z z z 2 z 2z 2/3 z 2 z 2z 2/3, z /2z Invers z-transform gir hn n 2/3un 2/3/2 n un. d. Er systemet stabilt? Begrunn svaret. En av polene til systemet ligger på enhetssirkelen, og systemet er ikke stabilt. 7. Bestem sprangresponsen til det kausale systemet som har følgende z-transformert av impulsresponsen: Hz z 3 / z 4 Hint: Benytt delbrøkoppspaltning og formler for sum av rekker, samt tabeller for å inverstransformere. Hz z3 z z3, z z 4 z 4 un z, z z z UzHz z z4, z z z4 Den første faktoren er grei å inverstransformere (finnes direkte fra tabell), mens den andre krever noe mere z z 4 z 4 z arbeid. Ved å benytte formelen for summasjon av rekker, kan vi imidlertid utlede at z 4 z 4 k som tilsvarer den z-transformerte avn 4k. I tillegg er dette leddet tidsforsinket k0 med 4 tidsenheter fordi z 4 faktoren står foran. Det følger nå at sprangresponsen er gitt som un hn un n44k 8. Gitt et system med en signalflytgraf som vist under. k0 k0 Er signalflytgrafen beregnbar? Begrunn svaret. Nei, den er ikke beregnbar fordi den inneholder en lukket sløyfe uten tidsforsinkelser.

Sammenligner vi dette med polene for Xz, som er i z /2 og z 2, ser vi at Hz må bidra med poler i z og z /2.

5 9. Anta at du skal designe et FIR-filter vha. vindusmetoden, dvs. at du skal komme frem til et diskret system med frekvensrespons He j som er nærmest mulig en gitt ideell frekvensrespons H d e j. Forklar hvilken innvirkning formen på vindusfunksjonen wn har på formen av He j. Den Fourier-transformerte We j av vindusfunksjonen vil generelt ha et oscillatorisk utseende med en hovedlobe, og mange sidelober. Et rektangulært vindu har Fourier-transformert We j med en nokså smal hovedlobe, men med markante sidelober. He j er resultatet av en periodisk konvolusjon mellom We j og H d e j. En smal hovedlobe gir de skarpeste transisjoner for He j ved endringer i amplituden av H d e j, mens høye sidelober gir oscillasjoner i He j.de øvrige vindusfunksjonene representerer en avveining mellom bredden av hovedloben og høyden av sidelobene, dvs. en avveining mellom skarphet av transisjon og oscillatorisk oppførsel for He j. 0. Forklar hvorfor det kan være fordelaktig å bruke Kaiser-vindu ved design av FIR-filtre. Det kan være fordelaktig fordi en da kan bestemme formen av vindusfunksjonen utfra spesifikasjoner av tillatt rippel (approksimasjonsfeil) og ønsket bredde av transisjonssoner.. Sammenlign FIR-filtre og IIR-filtre mhp.: a. Oppnåelige amplitudekarakteristikker Enkle ett-trinns designmetoder for IIR-filtre kan stort sett bare anvendes for design av frekvensselektive filtre (lav-, høy-, båndpass) uten spesielle krav til fasen. Her er de nesten enerådende. Andre amplitudekrav medfører at algoritmiske (iterative) metoder må benyttes.ved å benytte designmetoder for FIR-filtre kan en ved hjelp av optimalitetskriterier også oppnå bedre kontroll over amplituderesponsen, enn ved å benytte designmetoder for IIR-filtre, ved at en f.eks. spesifiserer avvik. Dessuten kan en ved bruk av FIR-filtre og iterative optimale metoder oppnå mere spesielle amplitudekarakteristikker enn man kan ved å benytte IIR-filtre. b. Oppnåelige fasekarakteristikker Vanlige metoder for design av IIR-filtre gir ikke kontroll over fasen, kun amplituden (og da som forklart over). Ved å benytte FIR-filtre, får en kontroll over både fasen og amplituden (generalisert lineær fase). c. Antall iterasjoner i designprosedyren Metoder for design av IIR-filtre er som oftest ikke-iterative (ett-skritts) metoder, dvs. at man uten flere interasjoner kan designe filtre utfra spesifikasjoner ved en enkelt serie av beregninger. Typisk foregår dette ved at man setter spesifikasjonene inn i formler, noe som også kan gjøres uten hjelp av programvare. Metoder for design av FIR-filtre er som regel iterative, og utføres i de fleste tilfeller av programvare.

Den Fourier-transformerte We j av vindusfunksjonen vil generelt ha et oscillatorisk utseende med en hovedlobe, og mange sidelober.

6 Laplace-transformasjonen Fourier-transformasjonen Sum av geometrisk rekker DFS Konvolusjon Den ensidige Z-transformasjon Den bilineære transformasjonen Begynnelsesverditeoremet Formelsamling L /s n t n /n!, (n, 2,3,... L /sa n t n e at /n!, n,2, 3,... L /s 2 2 / sint Xe j N n xne jn x k x N /x k0 x k / x, x k0 N X k xnw kn N, xn X kw kn N N,W N e j2/n n0 k0 xn yn xkyn k k Xz xnz n n0 Zun / z, z N Zun / z, z Zn m z m Za n un / az, z a Za n un / az, z a Zna n un az /az 2, z a Zna n un az /az 2, z a z T/2s/T/2s xn 0, n 0 x0 lim z Xz

.. L /s 2 2 / sint Xe j N n xne jn x k x N /x k0 x k / x, x k0 N X k xnw kn N, xn X kw kn N N,W N e j2/n n0 k0 xn yn xkyn k k Xz xnz

Like dokumenter

STE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag

HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side 1 av 3 STE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag Tid: Fredag 20.04.2007, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler: