Repetisjon: LTI-systemer

Transkript

1 Forelesning, 11. mars 4 Tilhørende pensum er i læreboken. repetisjon av FIR-filtre frekvensresponsen til et FIR-filter beregne utgangen fra FIR-filtret ved hjelp av frekvensresponsen steady-state og transient respons forholdet mellom impuls- og frekvensrespons frekvensresponsens periodisitet og konjugerte symmetri eksempler Repetisjon: Implementering av FIR-filtre Det generelle FIR-filtret er definert som y[n] = b k x[n k] Vi bygger FIR-filtre av tre elementer: multiplikator: skalerer inngangen x[n] med en konstant β adderer: legger sammen de to inngangene x 1 [n] og x [n] enhetsforsinker: forsinker inngangen x[n] med en tidsenhet, til x[n 1] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 1 INSTITUTT FOR INFORMATIKK Repetisjon: Blokkdiagrammer Repetisjon: LTI-systemer Et diskret-tid system er tidsinvariant dersom Flere former kan beskrive samme filter, blant de vanligste er direkte og transponert form. også betyr at x[n] y[n] Begge definerer feed-forward differensligninger. x[n n ] y[n n ] x[n] b4 v [n] 4 Et diskret-tid system er lineært dersom x[n] b x 1 [n] y 1 [n] x[n 1] b1 b3 v [n] 3 og x [n] y [n] x[n ] b b b1 v [n] også betyr at α x 1 [n] + β x [n] α y 1 [n] + β y [n] x[n 3] b3 v [n] 1 x[n 4] b4 y[n] b y[n] LTI-systemer tilfresstiller kravene til linearitet og tidsinvarians. FIR-filtre er en type LTI-systemer. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4

2 LTI og konvolusjon LTI-systemers tidsinvarians og linearitet gir konvolusjonssummen y[n] = x[l]h[n l] l= Konvolusjon representeres ved, og er kommutativ x[n] h[n] = h[n] x[n] assosiativ x 1 [n] x [n] x 3 [n] = x1 [n] x [n] x 3 [n] En kaskade av LTI-systemer kan settes opp i vilkårlig rekkefølge, med total impulsrespons h[n] =h 1 [n] h [n] h 3 [n] =h 1 [n] h 3 [n] h [n] =h [n] h 1 [n] h 3 [n] =h [n] h 3 [n] h 1 [n] =h 3 [n] h 1 [n] h [n] =h 3 [n] h [n] h 1 [n] Frekvensrespons for FIR-filtre Frekvensresponsen til et FIR-filter definerer hvordan filtret opererer på en inngang x[n], sett fra frekvensdomenet. Den tilsvarer hvordan impulsresponsen beskriver filtret i tidsdomenet. Frekvensresponsen sier hvordan spektret til inngangen x[n] filtreres, med spektret til utgangen y[n] som resultat. Ad spm. vedr. assosiative og distributive lov 1 en multiplikasjon er distributiv hvis det gjelder at xy + z = xy + xz og y + zx = yx + zx medlemmer av et sett S er assosiative under en vilkårlig binær operator dersom x 1[n] x [n] x 3[n] = x 1[n] x [n] x 3[n] INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Sinusoidal respons av FIR-filter LTI-systemer gir en særlig enkel utgang hvis inngangen x[n] er et signal på kompleks eksponentialform x[n] = Ae jφ e j ˆωn Utgangen til et FIR-filter blir da der y[n] = = b k x[n k] b k Ae jφ e j ˆωn k < n < M = b k e Ae jφ e j ˆωn = H ˆω Ae jφ e j ˆωn < n <, H ˆω = b k e kalles systemets frekvensrespons. Frekvensresponsen En konvensjon er at frekvensresponsen skrives som He j ˆω istedenfor H ˆω. Grunnen er for å understreke at uttrykket i mange tilfeller inneholder potenser av e j ˆω. Frekvensresponsen til et FIR-filter er He j ˆω = b k e = Utgangen y[n] = He j ˆω Ae jπ e j ˆωn h[k]e Når inngangen til et FIR-filter er et diskret-tid signal på kompleks eksponentialform vil utgangen være på samme form, med samme frekvens ˆω og ulik kompleks amplitude. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

3 Frekvensresponsen er kompleks Notasjon For tilfellet der x[n] = Ae jφ e jωn ˆ gjelder det at y[n] = He j ˆω Ae jφ e j ˆωn < n < Det anbefales å styre unna notasjonen < n < y[n] = He j ˆω x[n] < n <, fordi den bare gjelder for denne spesielle inngangen, noe som er lett å glemme. He j ˆωn = He j ˆωn e j Hej ˆωn = Re { He j ˆωn } + j Im { He j ˆωn } Frekvensresponsen He j ˆωn definerer hvordan et LTI-system virker på magnituden og fasen til en inngang på kompleks eksponentialform. Gitt at gjelder det at x[n] = Ae jφ e j ˆωn y[n] = He j ˆω e j Hej ˆω Ae jφ e j ˆωn = A He j ˆω e j Hej ˆω +φ e j ˆωn INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 1 I det foregående er utgangens amplitude gitt av produktet A He j ˆω, fasen er argumentet til faktoren e j Hej ˆω +φ og utgangens frekvens er gitt av faktoren e j ˆωn Fordi magnituden til frekvensresponsen kun innvirker på amplituden til utgangen kalles den også gain. Eksempel på frekvensrespons Gitt filterkoeffisientene {b k } = {1,, 1} får vi følgende frekvensrespons H 1 e j ˆω = 1 + e j ˆω j ˆω + e som kan skrives om til Vi ser at H 1 e j ˆω =1 + e j ˆω j ˆω + e j ˆω =e j ˆω e j ˆω + + e =e j ˆω + cos ˆω H1 e j ˆω = + cos ˆω Vi observerer at utgangen har samme normaliserte vinkelfrekvens som inngangen. og at H 1 e j ˆω = ˆω INSTITUTT FOR INFORMATIKK 11 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 1

4 Plott av magnitude og fase Frekvensresponsen H 1 e j ˆω = e j ˆω + cos ˆω kan fremstilles grafisk som på figuren. Magnituden til frekvensresponsen 4 Et annet eksempel Hvilken frekvensrespons får vi dersom filterkoeffisientene er {b k } = {1,, 4,, 1} 3 1 Direkte substitusjon gir H e j ˆω = 1 e j ˆω + 4e j ˆω e j3 ˆω j4 ˆω + e Normalisert vinkelfrekvens ω, i enheter av π 4 Fasen til frekvensresponsen Hvordan kan dette skrives på lignende form som forrige eksempel? Hva blir H e j ˆω og H e j ˆω nå? Normalisert vinkelfrekvens ω, i enheter av π INSTITUTT FOR INFORMATIKK 13 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 14 Plott av magnitude og fase Frekvensresponsen H e j ˆω = e j ˆω 4 4 cos ˆω + cos ˆω kan fremstilles grafisk som på figuren. Magnituden til frekvensresponsen Eksempel på å finne utgangen Gitt inngangen x[n] = e j π 6 e j π n som har frekvensen ˆω = π/. Utgangen fra et filter med frekvensrespons He j ˆω finnes ved hjelp av responsen ved inngangens frekvens; He jπ/ Normalisert vinkelfrekvens ω, i enheter av π 1 Fasen til frekvensresponsen y[n] = He j π e j π 6 e j π n = j π e j π 6 + Hej π e j π n Normalisert vinkelfrekvens ω, i enheter av π Vi finner utgangen y[n] gitt en frekvensrespons H 1 e j ˆω = e j ˆω + cos ˆω INSTITUTT FOR INFORMATIKK 1 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 16

5 Superposisjon FIR-filtret er lineært og tidsinvariant, noe som gjør det enkelt å finne utgangen dersom inngangen er en sum av sekvenser på kompleks eksponentialform. Anta en inngang x[n] = A + A 1 cos ˆω 1 n + φ 1 som kan skrives om til x[n] = A e jn + A 1 ejφ1 e j ˆω1n + A 1 j ˆω1n e jφ1 e Dette er en sum av komplekse eksponentialer, med frekvensene ˆω = { ˆω 1,, ˆω 1 }. Superposisjon II Utgangen y[n] finner vi ved å multiplisere hvert ledd i summen med frekvensresponsen ved frekvensen til dette leddet. y[n] = He j A e jn + He j ˆω1 A 1 ejφ1 e j ˆω1n + He j ˆω1 A 1 j ˆω1n e jφ1 e = He j A + j ˆω 1 A 1 ˆω1 ejφ1+ Hej e j ˆω1n + j ˆω 1 A 1 ˆω1 ej φ1+ He j e j ˆω1n = He j A + j ˆω 1 A1 cos ˆω 1 n + φ 1 + He j ˆω1 Hva blir da utgangen y[n]? Her er det brukt at He j ˆω1 = H e j ˆω1 som gir j ˆω 1 e j He j ˆω 1 = j ˆω 1 e j He j ˆω 1 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 17 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 18 Eksempel, cosinus-inngang Inngangen π x[n] = 1 cos 6 n + π sendes gjennom et filter med frekvensrespons H 1 e j ˆω = e j ˆω + cos ˆω Eksempel, cosinus-inngang forts Inngangen og utgangen kan vises grafisk som i plottet under. Legg merke til at utgangen er en skalert utgave av inngangen, forsinket med ett sampel. y[n] = π cos 6 n 1 + π For ˆω = π/6 gir frekvensresponsen H 1 e j π 6 = e j π 6 + cos π 6 = e j π Inngangen x[n] Utgangen er da gitt ved y[n] = H1 e j π 6 π 1 cos 6 n + π + H 1e j π 6 = π cos 6 n + π π 6 = π cos 6 n 1 + π Tidsindeks n 4 Utgangen y[n] Tidsindeks n INSTITUTT FOR INFORMATIKK 19 INSTITUTT FOR INFORMATIKK

6 Generalisering Når inngangen x[n] er en sum av mange komplekse eksponentialer x[n] = X + = X + N Xk ej ˆωkn + X k e j ˆωkn N X k cos ˆω k n + X k Som tidligere antatt er He j ˆω = H e j ˆω. Da er utgangen gitt ved y[n] = He j X + N He j ˆωk X k ej ˆωkn + He X k N = He j X + j ˆω k Xk e j ˆωkn cos ˆω k n + X k + He j ˆωk Eksempel for sum av sinusoider Inngangen x[n] = cos π 4 n π + 3 cosπ 6 n er en sum med frekvensene { ˆω k } = {, π/4, π/6} Utgangen vi får ved å sende x[n] gjennom et LTI-filter er y[n] = He j X + j ˆω k Xk cos ˆω k n + X k + He j ˆωk Ser på utgangen fra to forskjellige filtre, med impulsresponsene H 1 e j ˆω = e j ˆω + cos ˆω H e j ˆω = e j ˆω 4 4 cos ˆω + cos ˆω Hva blir utgangene y 1 [n] og y [n]? INSTITUTT FOR INFORMATIKK 1 INSTITUTT FOR INFORMATIKK Eksempel fortsatt Inngangen x[n] og de to utgangene y 1 [n] og y [n] er vist i plottet. 1 Inngangen x[n] Utgangen y 3 1 [n] Utgangen y 4 [n] Tidsindeks n Steady-state og transienter Vi har krevd at inngangen x[n] er definert for intervallet < n <, da vil LTI FIR-filtret produsere en utgang definert for de samme n. Uten dette kravet blir ikke resultatet like enkelt, men en uendelig inngangssekvens er ikke praktisk implementerbar. Anta x[n] = Xe j ˆωn Xe j ˆωn n u[n] = n < Det vil si at x[n] er definert for n <. Da er utgangen y[n] = b k Xe j ˆωn k u[n k] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4

7 Avkortet inngang x[n] Innsatt for x[n] får vi n < n y[n] = b ke Xe j ˆωn n < M M b ke Xe j ˆωn M n En x[n] definert på intervallet n N 1 vil ha nok en transient, for n N. En slik inngang kan være x[n] = Xe j ˆωn u[n] u[n N] n < = Xe j ˆωn n < N n N Utgangen y[n] blir noe mer komplisert, definert over tre ulike regioner av n. 1. For n < vil x[n] =, som naturlig gir y[n] =.. For n M vil den komplekse multiplikatoren til e j ˆωn avhenge av n. Tiden n M kalles transientperioden til filtret, jf. impulsresponsen som glir innover x[n]. 3. For n M vil y[n] tilsvare utgangen gitt en uendelig inngang x[n]. Da blir utgangen n < n b ke Xe j ˆωn M y[n] = b ke Xe j ˆωn n < M M n < N M k=n N+1 b k e Xe j ˆωn N n < N +M n N + M antar N M INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Eksempel, avkortet inngang x[n] Inngangen er gitt ved π x e [n] = 1 cos 6 n + π u[n] u[n 1] n < = e j π e j π 6 n + e j π e j π 6 n n n 1 Utgangen fra et filter med koeffisientene {b k } = {1,, 1}, slik at M =, er y[n] = b k e e j π e j π 6 n k + e j π e j π n k 6 u[n k] u[n k 1] Dette kan beregnes ved å sette opp uttrykk for utgangen i de forskjellige periodene. Eksempel, avkortet inngang x[n] Filterkoeffisientene er {b k } = {1,, 1}. Plottet viser utgang y[n], fra uendelig inngang x[n] endelig inngang x e [n], definert for n. utgang y[n] med transienter, fra endelig x[n] 4 Utgang y[n], beregnet fra uendelig inngang x[n] Endelig inngang x[n], definert fra n= til n= Utgang y[n] med transientperioder, beregnet fra endelig inngang x[n] Tidsindeks n INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

8 Egenskaper ved frekvensresponsen He j ˆω er en funksjon av den normaliserte frekvensvariabelen ˆω, og tar komplekse verdier. Kjennskap til noen egenskaper forenkler analysen av He j ˆω. He j ˆω kan beregnes direkte fra filterkoeffisientene {b k } eller impulsresponsen h[n]. Det er også enkelt å finne {b k } eller h[n] hvis man har He j ˆω. Sammenhengen er h[n] = He j ˆω = h[k]δ[n k] h[k]e i i tidsdomenet frekvensdomenet Eksempel, h[n] til He j ˆω Impulsresponsen h[n] = δ[n] δ[n 1] +4δ[n ] +3δ[n 4] tilsvarer et filter med koeffisientene og en differensligning {b k } = {, 1, 4,, 3} y[n] = x[n] x[n 1]+4x[n ]+3x[n 4] Frekvensresponsen til systemet er gitt som He j ˆω = som for dette tilfellet gir h[k]e He j ˆω = e j e j ˆω + 4e j ˆω j4 ˆω + + 3e = e j ˆω + 4e j ˆω j4 ˆω + 3e INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 Eksempel, He j ˆω til h[n] Hva er den tilhørende impulsresponsen til He j ˆω j ˆω/ = j sin ˆω/e Vi skriver om He j ˆω på formen He j ˆω = e He j ˆω j ˆω/ e = j j b k e j ˆω/ j ˆω/ e = e j ˆω/ e j ˆω/ j ˆω/ e j ˆω/ = 1 e = 1 e j ˆω j ˆω = b + b 1 e Da har vi filterkoeffisientene {b k } = {1, 1} som gir impulsresponsen h[n] = δ[n] δ[n 1] Periodisitet He j ˆω er periodisk med en periode på π. Dette ser vi enkelt ved å evaluere He j ˆω+π j ˆω+πk = b k e = b k e e jπk = He j ˆω Dette stemmer med resultater fra kapittel 4; vi oppdager ikke frekvensendringer på π for diskret-tid signaler. x[n] = Xe j ˆω+πn = Xe j ˆωn e jπn Det er altså umulig å skille signalene x 1 [n] = Xe j ˆωn j ˆω+πn og x [n] = Xe fra hverandre. Av den grunn behøver ikke frekvensresponsen He j ˆω å spesifiseres for større intervall enn π < ˆω π INSTITUTT FOR INFORMATIKK 31 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3

9 Konjugert symmetri Frekvensresponsen er kompleks, men har ofte symmetrier i magnituden He j ˆω og fasen He j ˆω. Den er konjugert symmetrisk He j ˆω = H e j ˆω for filtre med reelle koeffisienter {b k } b k = b k Sammenhengen vises enkelt M H e j ˆω = b k e = b k ej ˆωk = He j ˆω Følgelig, beregning av He j ˆω1 for ˆω 1 = π/ kan gjøres ved He j π/ = H e jπ/ Magnitudens symmetri Magnitude-funksjonen j ˆω = He j ˆω H e j ˆω = He j ˆω He j ˆω j ˆω = He j ˆω H e j ˆω = He j ˆω He j ˆω = j ˆω = He j ˆω Magnitude-funksjonen er symmetrisk om ˆω =, og er således en like funksjon. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 33 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 34 Fasens symmetri Gitt at har vi He j ˆω = Re{He j ˆω } + j Im{He j ˆω } H e j ˆω = Re{He j ˆω } j Im{He j ˆω } Fase-funksjonen He j ˆω = tan 1 Im{Hej ˆω } Re{He j ˆω } He j ˆω = tan 1 Im{Hej ˆω } Re{He j ˆω } = He j ˆω = He j ˆω Noen småting til slutt Hvorfor fremstille j ˆω og He j ˆω kun for intervallet π < ˆω π? Sekvenser x[n], uttrykt ved sine prinsipale alias, er det vi har, uinteressant om det er beregnet direkte eller samplet fra et kontinuerlig-tid signal. Filtrering sett fra frekvensdomenet forenkler studiet av hvordan filtrene opererer på ulike frekvenser, jf. lavpass-, høypass- og båndpass-filtre. Fase-funksjonen er anti-symmetrisk om ˆω =, det vi kaller en odde funksjon. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 36