1 Trigonometriske Funksjoner Vekt: 1. 2 Trigonometriske Funksjoner Vekt: 1

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "1 Trigonometriske Funksjoner Vekt: 1. 2 Trigonometriske Funksjoner Vekt: 1"

Lauritz Endresen
6 år siden
Visninger:

1 OPPGAVER TIL FORELESNINGSUKE NUMMER Ukeoppgavene skal leveres som selvsendige arbeider. De forvenes a alle har sa seg inn i insiues krav il innlevere oppgaver: Norsk versjon: hp:// Engelsk versjon: hp:// Krav il godkjenning av innlevere oppgaver er beskreve i filen: hp:// Trigonomeriske Funksjoner Vek: a) Plo følgende rigonomeriske funksjoner under hverandre (med parallelle -akser) for inervalle.5, slik a du får vis hvordan de forholder seg il hverandre mh. frekvens og faseskif. (Bruk gjerne MATLAB.). cos(π). cos(π + π) 3. cos(8π) 4. cos(4π π/3) b) Finn frekvens, faseskif og ampliude for cosinus-funksjonene i figur. Trigonomeriske Funksjoner Vek: a) Bruk fasoraddisjon for å skrive følgende funksjoner på formen Acos(ω + φ) (). cos(ω) + cos(ω + φ). 4 cos(ω + π/) +.5 cos(ω π/3) 3. cos(ω + 4π/3) + cos(ω 5π/3) NB: Bruk a vi ve a: N A n cos(ω + φ n ) = Acos(ω + φ) () n= der man finner A og φ ved å beregne N Ae jφ = A n e jφn (3) n=

2 3 Diskree Trigonomeriske Funksjoner Vek: a) Hvilke av de følgende diskree funksjonene er periodiske (dvs. de finnes en N slik a x[n] = x[n + N] for alle n), og hva er periodene deres (dvs. N)? cos(n + π/) cos(πn + π/) ) cos( πn cos(πn + π) Hin: Bruk a cos(θ) = cos(θ + π) for alle θ. b) Angi den cosinus-funksjonen i diskre id som vi får ved å a 5 sampler per halve periode av en cosinus i koninuerlig id med vinkelfrekvens 6π. c) Angi den cosinus-funksjonen i diskre id som vi får ved å a sampler med avsand sekunder av en cosinus i koninuerlig id med vinkelfrekvens π. d) Angi den cosinus-funksjonen i diskre id som vi får ved å a sampler med avsand sekunder av en cosinus i koninuerlig id med vinkelfrekvens 6π. e) Skisser grafene il de o cosinusene med vinkelfrekvenser π og 6π i koninuerlig id i samme koordinasysem. Bruk dee il å forklare sammenhengen mellom svarene i c) og d). 4 Regning med komplekse all Vek: a) Gjør følgende uregninger: 3 + j4 3+j4 il karesisk form +j il karesisk form +e jπ/ ( ) n + e jπn b) Vis a: (cos(θ) + j sin(θ)) n = (cos(θn) + j sin(θn)) (4) 5 Komplekse all og de komplekse plane Vek: Gi e kompleks all på karesisk form z = a + jb. Vi kaller a = Re{z} for realdelen il z og b = Im{z} for imaginærdelen il z. j = er den såkale imaginære enheen. (Merk a den imaginære enheen kalles ofe j i fysiske fag som dee, og i i maemaiske fag som kompleks analyse.) E kompleks all på karesisk form kan represeneres i de karesiske koordinasyseme som punke (a, b). E anne koordinasysem er de polare, der de o koordinaene (r, θ) angir hhv. avsand fra origo og vinkel mo førseaksen. Vi skriver e kompleks all på polar form som re jθ. Lag en skisse og bruk rigonomeri for å finne (r, θ) fra (a, b). En vanlig operasjon på komplekse all er å komplekskonjugere: z = (a+jb) = a jb. Dee ilsvarer å snu foregne på imaginærdelen. Hva slags geomerisk operasjon ilsvarer dee i de karesiske koordinasyseme? Vis hva ( e jθ), dvs. den komplekskonjugere av e kompleks all på polar form blir ved å bruke a e jθ = cos(θ) + j sin(θ). Gi en olkning av ( e jθ) k i koordinasyseme. Skisser for k =,, 3 og valgfri θ. Hva må θ være for a ( e jθ) k =?

3 6 Regning med komplekse all Vek: Regn u følgende for polar form (z = re jθ ) og/eller karesisk form (z = a + jb) som angi: z på polar form zz på polar og karesisk form (hva er dee de samme som?) z k på polar form z + z på polar og karesisk form z z på polar og karesisk form (z + z ) på polar og karesisk form j (z z ) på polar og karesisk form z på polar og karesisk form (Merk: oppgaven er å finne c og d slik a c + jd = a+jb, sam s og φ slik a se jφ = re.) jθ Bruk punkene over for å finne e urykk for cos(θ) og sin(θ) ved komplekse eksponenialer. Hva er mengden av alle punker som kan beskrives med de komplekse eksponeniale z = e jθ, θ < π? Hva er forskjellen på z og z? Skriv følgende all som komplekse all på polar form z = re jθ (k er e vilkårlig helall): ( ) k j k k() 7 Geomeriske rekker Vek: a) Beregn verdien il følgende endelige geomeriske rekker: k= 3k 9 k=5 (4.5)k b) En uendelig geomerisk rekke a k (5) k= konvergerer hvis a <. Besem hvilke av de følgende uendelige geomeriske rekkene som konvergerer, og beregn verdien il disse: k= k k= 3 a, a > 4 3

4 k= k k= k c) Finn konvergensområde il følgende uendelige geomeriske rekker: k= ( x ) k, x R k= (x ) k, x R k= (z ) k, z C k= (x ) k, x R k= k z k, z C Dee beyr: finn de verdier av x og z som gjør a rekken konvergerer. F.eks. så har vi a konvergerer for 3x < x < /3. (3x) k (6) k= 4

5 Ampliude Ampliude Ampliude Ampliude Figur : Finn frekvens, faseskif og ampliude il cosinus-funksjonene over. 5

Like dokumenter

FYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse

FYS3220 Oppgaver om Fourieranalyse Innhold Enkle fourieranalyse oppgaver... 1 1) egn frekvensspeker for e sammensa sinus signal... 1 2) Fra a n og b n il c n og θ... 2 Fourier serieanalyse... 2 3) Analyse