Kompleks eksponentialform. Eulers inverse formler. Eulers formel. Polar til kartesisk. Kartesisk til polar. Det komplekse signalet

Transkript

1 Komplekse tall Vi definerer det komplekse tallet z C. Komplekse eksponentialer og fasorer Det komplekse planet Kartesisk og polar form Komplekse eksponentiale signaler Roterende fasor Addisjon av fasorer Eksempel med stemmegaffel Komplekse tall kan representeres på flere måter, vi skal definere tallet z både på kartesisk og polar form. Komplekse tall involverer den imaginære enheten j (eller i), definert som slik at i = j = 1 i 2 = j 2 = 1 Vi skal se at komplekse tall er analogt til vektorer i to dimensjoner (planet). INSTITUTT FOR INFORMATIKK 1 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 2 Kartesisk (rektangulær) form Det komplekse tallet z skrives som z = x + jy eller z = (x, y) og er et ordnet par av de reelle tallene x og y, der x = Re{z} og y = {z} Polar form På polar form er z gitt ved magnituden r og argumentet θ Eksakt uttrykk der r og θ er gitt ved z r θ z = r e jθ, r = z og θ = arg z (x,y) x y Re r θ Re hhv. avstand fra origo og vinkel med positiv reell akse INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4

2 Polar til kartesisk x = r cos θ y = r sin θ Eulers formel Eulers formel for det komplekse eksponential e jθ = cos θ + j sin θ Kartesisk til polar r = x 2 + y 2 ( y ) θ = arctan x gjør at z = r e jθ kan skrives z = r cos θ + j r sin θ INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Kompleks eksponentialform Eulers inverse formler Det komplekse signalet z(t) = Ae j(ω0t+φ) er en funksjon av t, der vi har z(t) = A og arg z(t) = ω 0 + φ cos θ = ejθ + e jθ 2 sin θ = ejθ e jθ 2j Signalet kan omskrives til z(t) = A cos(ω 0 t + φ) + ja sin(ω 0 t + φ) Det reelle cosinussignalet kan også skrives på kompleks eksponentialform, ved { } x(t) = Re z(t) = Re {Ae j(ω0+φ)} = A cos(ω 0 t + φ) INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

3 Mer gøy med signaler på kompleks eksponentialform Roterende fasor Ved å definere det komplekse tallet X = Ae jφ A kan signalet z(t) uttrykkes som z(t) = Xe jω0t Vi refererer til X som kompleks amplitude eller som en kompleks fasor. X = z(0) A Re Alternativt kan z(t) skrives som z(t) = Ae jθ(t) der θ(t) = ω 0 t + φ Vi ser på X, e jω0t og produktet z(t) som vektorer i det komplekse planet. Hva skjer med signalvektoren z(t) etterhvert som tiden går? INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 10 Vi har z(t) = Xe jω0t, der X = Ae jφ z(1) = X exp(j ω) A Etterhvert som tiden går (t øker) vil fasoren X ligge fast tuppen av e jω0t bevege seg rundt enhetssirkelen z(0) = X A Re magnituden holde seg konstant z(t) = z(t) z (t) = A ω > 0 Den tidsavhengige e jω0t vil rotere fasoren X, slik at tuppen av vektoren z(t) beveger seg rundt en sirkel med radius A. Derfor kalles et signal på kompleks eksponentialform også for en roterende fasor. ω 0 < 0 gir rotasjon med klokken, fordi ω 0 t minker når t øker ω 0 > 0 gir rotasjon mot klokken, fordi ω 0 t øker når t øker INSTITUTT FOR INFORMATIKK 11 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 12

4 Fasoraddisjon N reelle signaler, med samme frekvens ω 0, adderes til summen x(t) x(t) = A k cos(ω 0 t + φ k ) En utregningsmetode involverer de komplekse fasorene til hvert av signalene, gitt ved X k = A k e jφk for k [1, N] Vi summerer de komplekse fasorene, reell og imaginær del hver for seg X = Ae jφ = = X k Re{X k } + j {X k } V.h.a. det komplekse signalet z(t) = Xe jω0t = Ae jω0t+φ finner vi den reelle summen x(t) = Re{z(t)} = A cos(ω 0 t + φ) INSTITUTT FOR INFORMATIKK 13 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 14 Stemmegaffelen Hookes lov for et elastisk materiale er F = kx, der k er materialets elastisitetskonstant, x er hvor langt benet på gaffelen flytter seg fra normalposisjonen og F er kraften som trekker det tilbake. Newtons annen lov F = ma sier at en kraft F som virker på et legeme med masse m vil gi det en akselerasjon a i kraftens retning, der magnituden a er invers proporsjonal med massen. Kreftene må til enhver tid balansere hverandre, slik at Vi vet at ma(t) = m d2 x(t) dt 2 = kx(t) d 2 cos(ω 0 t) dt 2 = ω 2 0 cos(ω 0t) og kan derfor gjette på som en løsning. x(t) = cos(ω 0 t) langs en akse i 2D vektorrom INSTITUTT FOR INFORMATIKK 15 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 16

5 Vi setter inn for x(t) og får m d2 x(t) dt 2 = k x(t) m ω 2 0 cos(ω 0t) = k cos(ω 0 t) Likheten krever at m ω 2 0 = k = ω k 0 = ± m så en løsning til differentialligningen er ( ) k x(t) = cos m t INSTITUTT FOR INFORMATIKK 17